Bloková matice pseudoinverze - Block matrix pseudoinverse

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Bloková maticová pseudoinverze"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosinec 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a bloková matice pseudoinverze je vzorec pro pseudoinverze a rozdělená matice. To je užitečné pro rozložení nebo aproximaci mnoha parametrů aktualizace algoritmů v zpracování signálu, které vycházejí z nejmenší čtverce metoda.

Derivace

Zvažte sloupcově dělenou matici:

${displaystyle {egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} end {bmatrix}}, quad mathbf {A} in mathbb {R} ^ {m imes n}, quad mathbf {B} in mathbb {R} ^ { m imes p}, quad mgeq n + p.}$

Pokud je výše uvedená matice úplného pořadí, Moore – Penrose inverzní jeho matice a její transpozice jsou

${displaystyle {egin {aligned} {egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} end {bmatrix}} ^ {+} & = left ({egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} end {bmatrix} } ^ {extsf {T}} {egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} end {bmatrix}} ight) ^ {- 1} {egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} end {bmatrix} } ^ {extsf {T}}, {egin {bmatrix} mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {B} ^ {extsf {T}} konec {bmatrix}} ^ {+} & = { egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} konec {bmatrix}} vlevo ({egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} konec {bmatrix}} ^ {extsf {T}} {egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} end {bmatrix}} ight) ^ {- 1} .end {aligned}}}$

Tento výpočet pseudoinverze vyžaduje (n + str) - inverze čtvercové matice a nevyužívá výhody blokové formy.

Chcete-li snížit výpočetní náklady na n- a str- inverze čtvercové matice a zavést paralelismus, zacházet s bloky samostatně, je odvozeno ^[1]

${displaystyle {egin {aligned} {egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} end {bmatrix}} ^ {+} & = {egin {bmatrix} mathbf {P} _ {B} ^ {perp} mathbf { A} vlevo (mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {B} ^ {perp} mathbf {A} ight) ^ {- 1} mathbf {P} _ {A} ^ {perp } mathbf {B} vlevo (mathbf {B} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {A} ^ {perp} mathbf {B} ight) ^ {- 1} konec {bmatrix}} = {egin { bmatrix} left (mathbf {P} _ {B} ^ {perp} mathbf {A} ight) ^ {+} left (mathbf {P} _ {A} ^ {perp} mathbf {B} ight) ^ {+ } end {bmatrix}}, {egin {bmatrix} mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {B} ^ {extsf {T}} end {bmatrix}} ^ {+} & = {egin { bmatrix} mathbf {P} _ {B} ^ {perp} mathbf {A} vlevo (mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {B} ^ {perp} mathbf {A} ight) ^ {-1}, quad mathbf {P} _ {A} ^ {perp} mathbf {B} vlevo (mathbf {B} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {A} ^ {perp} mathbf {B } ight) ^ {- 1} end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} left (mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {B} ^ {perp} ight) ^ {+} & left (mathbf {B} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {A} ^ {perp} ight) ^ {+} konec {bmatrix}}, konec {zarovnáno}}}$

kde ortogonální projekce matice jsou definovány

${displaystyle {egin {aligned} mathbf {P} _ {A} ^ {perp} & = mathbf {I} -mathbf {A} left (mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {A} ight) ^ {-1} mathbf {A} ^ {extsf {T}}, mathbf {P} _ {B} ^ {perp} & = mathbf {I} -mathbf {B} vlevo (mathbf {B} ^ {extsf { T}} mathbf {B} ight) ^ {- 1} mathbf {B} ^ {extsf {T}}. Konec {zarovnáno}}}$

Výše uvedené vzorce nemusí být nutně platné, pokud ${displaystyle {egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} end {bmatrix}}}$ nemá úplnou hodnost - například pokud ${displaystyle mathbf {A} eq 0}$, pak

${displaystyle {egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {A} end {bmatrix}} ^ {+} = {frac {1} {2}} {egin {bmatrix} mathbf {A} ^ {+} mathbf { A} ^ {+} konec {bmatrix}} eq {egin {bmatrix} vlevo (mathbf {P} _ {A} ^ {perp} mathbf {A} ight) ^ {+} vlevo (mathbf {P} _ { A} ^ {perp} mathbf {A} ight) ^ {+} konec {bmatrix}} = 0}$

Aplikace na problémy nejmenších čtverců

Vzhledem ke stejným maticím jako výše považujeme následující problémy nejmenších čtverců, které se objevují jako optimalizace více cílů nebo omezené problémy ve zpracování signálu. Nakonec můžeme na základě následujících výsledků implementovat paralelní algoritmus pro nejmenší čtverce.

Sloupcové dělení na nadměrně určená nejmenší čtverce

Předpokládejme řešení ${displaystyle mathbf {x} = {egin {bmatrix} mathbf {x} _ {1} mathbf {x} _ {2} end {bmatrix}}}$ řeší příliš stanovený systém:

${displaystyle {egin {bmatrix} mathbf {A}, & mathbf {B} end {bmatrix}} {egin {bmatrix} mathbf {x} _ {1} mathbf {x} _ {2} end {bmatrix}} = mathbf {d}, quad mathbf {d} v mathbb {R} ^ {více obrázků 1}.}$

Pomocí pseudoinverze blokové matice máme

${displaystyle mathbf {x} = {egin {bmatrix} mathbf {A}, & mathbf {B} end {bmatrix}} ^ {+}, mathbf {d} = {egin {bmatrix} left (mathbf {P} _ {B } ^ {perp} mathbf {A} ight) ^ {+} left (mathbf {P} _ {A} ^ {perp} mathbf {B} ight) ^ {+} end {bmatrix}} mathbf {d}. }$

Proto máme rozložené řešení:

${displaystyle mathbf {x} _ {1} = left (mathbf {P} _ {B} ^ {perp} mathbf {A} ight) ^ {+}, mathbf {d}, quad mathbf {x} _ {2} = left (mathbf {P} _ {A} ^ {perp} mathbf {B} ight) ^ {+}, mathbf {d}.}$

Řádkové dělení v nedostatečně určených nejmenších čtvercích

Předpokládejme řešení ${displaystyle mathbf {x}}$ řeší nedostatečně stanovený systém:

${displaystyle {egin {bmatrix} mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {B} ^ {extsf {T}} konec {bmatrix}} mathbf {x} = {egin {bmatrix} mathbf {e} mathbf {f} end {bmatrix}}, quad mathbf {e} v mathbb {R} ^ {n imes 1}, quad mathbf {f} v mathbb {R} ^ {p imes 1}.}$

Řešení minimální normy je dáno vztahem

${displaystyle mathbf {x} = {egin {bmatrix} mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {B} ^ {extsf {T}} konec {bmatrix}} ^ {+}, {egin {bmatrix} mathbf {e} mathbf {f} konec {bmatrix}}.}$

Pomocí pseudoinverze blokové matice máme

${displaystyle mathbf {x} = {egin {bmatrix} left (mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {B} ^ {perp} ight) ^ {+} & left (mathbf {B} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {A} ^ {perp} ight) ^ {+} konec {bmatrix}} {egin {bmatrix} mathbf {e} mathbf {f} konec {bmatrix}} = vlevo (mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {B} ^ {perp} ight) ^ {+}, mathbf {e} + vlevo (mathbf {B} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {A} ^ {perp} ight) ^ {+}, mathbf {f}.}$

Komentáře k inverzi matice

Namísto ${displaystyle mathbf {left ({egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} end {bmatrix}} ^ {extsf {T}} {egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} end {bmatrix}} ight )} ^ {- 1}}$, musíme počítat přímo nebo nepřímo^{[Citace je zapotřebí ][původní výzkum? ]}

${displaystyle left (mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {A} ight) ^ {- 1}, levý quad (mathbf {B} ^ {extsf {T}} mathbf {B} ight) ^ {- 1}, čtyřkolka vlevo (mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {B} ^ {perp} mathbf {A} ight) ^ {- 1}, čtyřkolka vlevo (mathbf {B} ^ { extsf {T}} mathbf {P} _ {A} ^ {perp} mathbf {B} ight) ^ {- 1}.}$

V hustém a malém systému můžeme použít rozklad singulární hodnoty, QR rozklad nebo Choleský rozklad nahradit inverzi matice numerickými rutinami. Ve velkém systému můžeme zaměstnat iterační metody jako jsou krylovské podprostorové metody.

S ohledem na paralelní algoritmy, můžeme vypočítat ${displaystyle left (mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {A} ight) ^ {- 1}}$ a ${displaystyle left (mathbf {B} ^ {extsf {T}} mathbf {B} ight) ^ {- 1}}$ paralelně. Poté dokončíme výpočet ${displaystyle left (mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {B} ^ {perp} mathbf {A} ight) ^ {- 1}}$ a ${displaystyle left (mathbf {B} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {A} ^ {perp} mathbf {B} ight) ^ {- 1}}$ také paralelně.

Viz také

• Invertibilní matice # Bloková inverze

Reference

externí odkazy

• Maticová referenční příručka podle Mike Brookes
• Slovník lineární algebry podle John Burkardt
• Matrix Cookbook podle Kaare Brandt Petersen
• Přednáška 8: Řešení nejmenších norem neurčených rovnic podle [1]^{[trvalý mrtvý odkaz ]}tanford.edu/~boyd/ Stephen P. Boyd]