Důležité důkazy v lineární algebře
v lineární algebra, Moore – Penrose inverzní je matice který splňuje některé, ale ne nutně všechny vlastnosti AN inverzní matice. Tento článek shromažďuje různé důkazy zahrnující Moore-Penroseovu inverzi.
Definice
Nechat být m-podle-n matice nad polem , kde , je buď pole , z reálná čísla nebo pole , z komplexní čísla. Existuje jedinečný n-podle-m matice přes , který splňuje všechna následující čtyři kritéria, známá jako Moore-Penroseovy podmínky:
- ,
- ,
- ,
- .
se nazývá Moore-Penroseova inverze k .[1][2][3][4] Všimněte si toho je také inverzí Moore-Penrose . To znamená, .
Užitečné lemmy
Tyto výsledky jsou použity v níže uvedených důkazech. V následujících lematech A je matice se složitými prvky a n sloupy, B je matice se složitými prvky a n řádky.
Lemma 1: A*A = 0 ⇒ A = 0
Předpoklad říká, že všechny prvky A * A jsou nula. Proto,
- .
Proto všichni rovná 0 tj. .
Lemma 2: A*AB = 0 ⇒ AB = 0
Lemma 3: ABB* = 0 ⇒ AB = 0
To se dokazuje obdobným způsobem jako argument Lemma 2 (nebo jednoduše převzetím Hermitianský konjugát ).
Existence a jedinečnost
Důkaz jedinečnosti
Nechat být maticí nebo . Předpokládejme to a jsou invertory Moore-Penrose z . Dodržujte to
Analogicky z toho usuzujeme . Důkaz je dokončen pozorováním toho
Důkaz existence
Důkaz probíhá postupně.
Matice 1: 1
Pro všechny , definujeme:
Je snadné to vidět je pseudoinverz (interpretováno jako matice 1: 1).
Čtvercové diagonální matice
Nechat být n-podle-n matice skončila s nulami mimo úhlopříčka. Definujeme jako n-podle-n matice skončila s jak je definováno výše. Píšeme jednoduše pro .
Všimněte si toho je také matice s nulami mimo úhlopříčku.
Nyní to ukazujeme je pseudoinverz :
Obecné ne-čtvercové diagonální matice
Nechat být m-podle-n matice skončila s nulami mimo hlavní úhlopříčka, kde m a n jsou nerovné. To znamená, pro některé když a v opačném případě.
Zvažte případ, kdy . Pak můžeme přepsat skládáním kde je čtvercová úhlopříčka m-podle-m matice a je m-by- (n-m) nulová matice. Definujeme jako n-podle-m matice skončila , s pseudoinverze o definované výše a the (n-m)-podle-m nulová matice. Nyní to ukazujeme je pseudoinverz :
- Násobením blokových matic tedy vlastností 1 pro čtvercové úhlopříčné matice prokázáno v předchozí části,.
- Podobně, , tak
- O 1 a vlastnost 3 pro čtvercové úhlopříčné matice, .
- O 2 a vlastnost 4 pro čtvercové diagonální matice,
Existence pro takhle následuje záměnou rolí a v případ a s využitím skutečnosti, že .
Libovolné matice
The rozklad singulární hodnoty věta říká, že existuje faktorizace formy
kde:
- je m-podle-m unitární matice přes .
- je m-podle-n matice skončila s nezápornými reálnými čísly na internetu úhlopříčka a nuly mimo úhlopříčku.
- je n-podle-n unitární matice přes .[5]
Definovat tak jako .
Nyní to ukazujeme je pseudoinverz :
Základní vlastnosti
Důkaz funguje tak, že to ukazuje splňuje čtyři kritéria pro pseudoinverzi . Jelikož se jedná pouze o substituci, není zde zobrazena.
Důkaz tohoto vztahu je uveden jako cvičení 1.18c v.[6]
Totožnosti
A+ = A+ A+* A*
a naznačují to .
A+ = A* A+* A+
a naznačují to .
A = A+* A* A
a naznačují to .
A = A A* A+*
a naznačují to .
A* = A* A A+
Toto je konjugovaná transpozice výše.
A* = A+ A A*
Toto je konjugovaná transpozice výše.
Redukce na případ Hermitian
Výsledky této části ukazují, že výpočet pseudoinverze je v Hermitově případě redukovatelný na jeho konstrukci. Postačí ukázat, že domnělé konstrukce splňují definující kritéria.
A+ = A* (A A*)+
Tento vztah je uveden jako cvičení 18 (d) v,[6] aby čtenář dokázal, „pro každou matici A". Psát si . Dodržujte to
Podobně, to naznačuje tj. .
Dodatečně, tak .
Konečně, to naznačuje .
Proto, .
A+ = (A* A)+A*
To se dokazuje analogickým způsobem jako v předchozím případě, za použití Lemma 2 místo Lemma 3.
produkty
U prvních tří důkazů považujeme výrobky C = AB.
A má ortonormální sloupce
Li má orthonormální sloupce, tj. pak .Psát si . Ukazujeme to splňuje kritéria Moore-Penrose.
- .
Proto, .
B má ortonormální řádky
Li B má ortonormální řádky, tj. pak . Psát si . Ukazujeme to splňuje kritéria Moore-Penrose.
- .
Proto,
A má celé pořadí sloupců a B má celou řadu
Od té doby má celé pořadí sloupců, je invertibilní tak . Podobně od té doby má celou řadu, je invertibilní tak .
Psát si (pomocí redukce na případ Hermitian). Ukazujeme to splňuje kritéria Moore-Penrose.
Proto, .
Konjugujte transpozici
Tady, , a tudíž a . To opravdu ukazujeme splňuje čtyři Moore-Penroseova kritéria.
Proto, . Jinými slovy:
a od té doby
Projektory a podprostory
Definovat a . Dodržujte to . Podobně , a nakonec, a . Tím pádem a jsou operátory ortogonální projekce. Ze vztahů vyplývá ortogonalita a . Zvažte operátora : jakýkoli vektor se rozloží jako
a pro všechny vektory a uspokojující a , my máme
- .
Z toho vyplývá, že a . Podobně, a . Ortogonální komponenty jsou nyní snadno identifikovatelné.
Li patří do rozsahu pak pro některé , a . Naopak, pokud pak aby patří do rozsahu . Z toho vyplývá, že je ortogonální projektor do rozsahu . je pak ortogonální projektor na ortogonální doplněk rozsahu , což se rovná jádro z .
Podobný argument využívající vztah stanoví to je ortogonální projektor do rozsahu a je ortogonální projektor na jádro .
Použití vztahů a z toho vyplývá, že rozsah P se rovná rozsahu , což zase znamená, že rozsah se rovná jádru . Podobně znamená, že rozsah se rovná rozsahu . Proto zjistíme,
Další vlastnosti
Minimalizace nejmenších čtverců
Obecně se zde zobrazuje pro všechny matice že kde . Tato dolní mez nemusí být nulová jako systém nemusí mít řešení (např. když matice A nemá úplnou hodnost nebo je systém předurčen).
Abychom to dokázali, nejprve si všimneme, že (s uvedením složitého případu), s využitím skutečnosti, že splňuje a , my máme
aby ( znamená komplexní konjugát předchozího období v následujícím)
jak tvrdí.
Li je injektivní, tj. jedna ku jedné (což znamená ), pak je vázaného dosaženo jedinečně na .
Řešení minimální normy pro lineární systém
Důkaz výše také ukazuje, že pokud je systém je uspokojivý, tj. má řešení, pak nutně je řešení (nemusí být nutně jedinečné). Ukážeme to tady je nejmenší takové řešení (jeho Euklidovská norma je jednoznačně minimální).
Nejprve si to všimněte pomocí , že a to . Proto za předpokladu, že , my máme
Tím pádem
s rovností právě tehdy , jak se mělo ukázat.
Poznámky
Reference