Systém frakčního řádu - Fractional-order system - Wikipedia

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Systém částečných objednávek“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (červen 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V polích dynamické systémy a teorie řízení, a systém částečného řádu je dynamický systém, který lze modelovat pomocí a frakční diferenciální rovnice obsahující deriváty nečíselného řádu.^[1] Říká se, že takové systémy mají zlomková dynamika. Deriváty a integrály dílčích objednávek se používají k popisu objektů, které lze charakterizovat pomocí mocenský zákon nelokálnost,^[2] mocenský zákon závislost na velké vzdálenosti nebo fraktální vlastnosti. Systémy frakčního řádu jsou užitečné při studiu anomálního chování dynamických systémů ve fyzice, elektrochemie, biologie, viskoelasticity a chaotické systémy.^[1]

Definice

Obecný dynamický systém zlomkového řádu lze napsat ve formě^[3]

${ displaystyle H (D ^ { alpha _ {1}, alpha _ {2}, ldots, alpha _ {m}}) (y_ {1}, y_ {2}, ldots, y_ {l }) = G (D ^ { beta _ {1}, beta _ {2}, ldots, beta _ {n}}) (u_ {1}, u_ {2}, ldots, u_ {k })}$

kde ${ displaystyle H}$ a ${ displaystyle G}$ jsou funkce zlomkový derivát operátor ${ displaystyle D}$ objednávek ${ displaystyle alpha _ {1}, alpha _ {2}, ldots, alpha _ {m}}$ a ${ displaystyle beta _ {1}, beta _ {2}, ldots, beta _ {n}}$ a ${ displaystyle y_ {i}}$ a ${ displaystyle u_ {j}}$ jsou funkce času. Běžným zvláštním případem je lineární časově invariantní (LTI) systém v jedné proměnné:

${ displaystyle left ( sum _ {k = 0} ^ {m} a_ {k} D ^ { alpha _ {k}} right) y (t) = left ( sum _ {k = 0 } ^ {n} b_ {k} D ^ { beta _ {k}} vpravo) u (t)}$

Objednávky ${ displaystyle alpha _ {k}}$ a ${ displaystyle beta _ {k}}$ jsou obecně složitá množství, ale dva zajímavé případy jsou, když jsou objednávky přiměřené

${ displaystyle alpha _ {k}, beta _ {k} = k delta, quad delta v R ^ {+}}$

a když jsou také Racionální:

${ displaystyle alpha _ {k}, beta _ {k} = k delta, quad delta = { frac {1} {q}}, q v Z ^ {+}}$

Když ${ displaystyle q = 1}$, jsou derivace celočíselného řádu a systém se stává obyčejná diferenciální rovnice. Zvyšováním specializace tedy mohou být systémy LTI obecného řádu, přiměřeného řádu, racionálního řádu nebo celočíselného řádu.

Funkce přenosu

Použitím a Laplaceova transformace do výše uvedeného systému LTI, přenosová funkce se stává

${ displaystyle G (s) = { frac {Y (s)} {U (s)}} = { frac { sum _ {k = 0} ^ {n} b_ {k} s ^ { beta _ {k}}} { sum _ {k = 0} ^ {m} a_ {k} s ^ { alpha _ {k}}}}}$

Pro obecné objednávky ${ displaystyle alpha _ {k}}$ a ${ displaystyle beta _ {k}}$ toto je neracionální přenosová funkce. Neracionální přenosové funkce nelze zapsat jako expanzi v konečném počtu termínů (např. A binomická expanze by mělo nekonečné množství termínů) a v tomto smyslu lze říci, že systémy s částečnými objednávkami mají potenciál neomezené paměti.^[3]

Motivace ke studiu systémů zlomkového řádu

Exponenciální zákony jsou klasickým přístupem ke studiu dynamiky populačních hustot, ale existuje mnoho systémů, kde dynamika podléhá rychlejším nebo pomalejším než exponenciálním zákonům. V takovém případě může anomální změny dynamiky nejlépe popsat Funkce Mittag-Leffler.^[4]

Anomální difúze je ještě jeden dynamický systém, kde systémy frakčního řádu hrají významnou roli při popisu anomálního toku v procesu difúze.

Viskoelasticita je vlastnost materiálu, ve které materiál vykazuje svoji povahu mezi čistě elastickou a čistou tekutinou. V případě skutečných materiálů je vztah mezi napětím a přetvořením dán vztahem Hookeův zákon a Newtonův zákon oba mají zjevné nevolnosti. Tak G. W. Scott Blair zavedl nový vztah mezi stresem a namáháním daným

${ displaystyle sigma (t) = E {D_ {t} ^ { alfa}} varepsilon (t), quad 0 < alpha <1.}$^{[Citace je zapotřebí ]}

v teorie chaosu, bylo pozorováno, že v. dochází k chaosu dynamické systémy objednávky 3 nebo více. Se zavedením systémů s částečným řádem studují někteří vědci chaos v systému celkového řádu méně než 3.^[5]

Analýza zlomkových diferenciálních rovnic

Zvažte zlomkovou objednávku problém počáteční hodnoty:

${ displaystyle {_ {0} ^ {C} D_ {t} ^ { alpha}} x (t) = f (t, x (t)), quad t v [0, T], quad x (0) = x_ {0}, quad 0 < alpha <1.}$

Existence a jedinečnost

Zde, za podmínky spojitosti funkce f, lze převést výše uvedenou rovnici na odpovídající integrální rovnici.

${ displaystyle x (t) = x_ {0} + {_ {0} ^ {C} D_ {t} ^ {- alpha}} f (t, x (t)) = x_ {0} + { frac {1} { Gamma ( alpha)}} int _ {0} ^ {t} { frac {f (s, x (s)) , ds} {(ts) ^ {1- alfa }}},}$

Lze zkonstruovat prostor řešení a pomocí této rovnice definovat kontinuální sebe-mapu prostoru řešení, poté použít a věta o pevném bodě, získat pevný bod, což je řešení výše uvedené rovnice.

Numerická simulace

Pro numerickou simulaci řešení výše uvedených rovnic navrhl Kai Diethelm frakční lineární vícekrok Adams – Bashforthova metoda nebo kvadraturní metody.^[6]

Viz také

• Akustický útlum
• Differintegral
• Frakční počet
• Zlomková kontrola objednávky
• Integrátor zlomkových objednávek
• Frakční Schrödingerova rovnice
• Frakční kvantová mechanika

Reference

Další čtení

externí odkazy

• Aplikace zlomkového počtu v automatickém řízení a robotice Výukový program o zlomkovém počtu, systémech zlomkového řádu a teorii řízení zlomkového řádu.