Obecná plochost - Generic flatness

v algebraická geometrie a komutativní algebra věty o obecná plochost a obecná volnost uveďte, že za určitých hypotéz, a snop z moduly na systém je byt nebo volný, uvolnit. Jsou způsobeny Alexander Grothendieck.

Obecná plochost uvádí, že pokud Y je integrální lokálně noetherian schéma, u : X → Y je konečný typ morfismu schémat, a F je koherentní ÓX-module, pak existuje neprázdná otevřená podmnožina U z Y takové, že omezení F na u−1(U) je plochý U.[1]

Protože Y je integrální, U je hustá otevřená podmnožina Y. To lze použít k odvození varianty obecné rovinnosti, která je pravdivá, když základna není integrální.[2] Předpokládejme to S je noetherian schéma, u : X → S je morfismus konečného typu a F je koherentní ÓX modul. Pak existuje oddíl S do místně uzavřených podmnožin S1, ..., Sn s následující vlastností: Dejte každému Si jeho omezená struktura schématu, označená jako Xi the vláknitý výrobek X ×S Sia označit Fi omezení F ⊗ÓS ÓSi; pak každý Fi je plochá.

Obecná volnost

Obecná plochost je důsledkem obecného lematu bezbariérovosti. Obecná volnost uvádí, že pokud A je noetherian integrální doména, B je konečný typ A-algebra a M je konečný typ B-module, pak existuje nenulový prvek F z A takhle MF je zdarma AF-modul.[3] Obecnou volnost lze rozšířit na odstupňovanou situaci: Pokud B je odstupňována podle přirozených čísel, A působí v nule a M je známkou B- tedy modul F lze zvolit tak, aby každá odstupňovaná složka MF je zdarma.[4]

Obecná volnost je prokázána pomocí Grothendieckovy techniky výzdoba. Vidět Noetherovo normalizační lema # Ilustrativní aplikace: obecná volnost pro důkaz verze generické volnosti.

Reference

  1. ^ EGA IV2, Théorème 6.9.1
  2. ^ EGA IV2, Corollaire 6.9.3
  3. ^ EGA IV2, Lemme 6.9.2
  4. ^ Eisenbud, Věta 14.4

Bibliografie

  • Eisenbud, David (1995), Komutativní algebra s pohledem na algebraickou geometrii, Postgraduální texty z matematiky, 150, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94268-1, PAN  1322960
  • Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1965). „Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 24. doi:10.1007 / bf02684322. PAN  0199181.