Model s pevnými efekty - Fixed effects model

v statistika, a model s pevnými efekty je statistický model ve kterém je model parametry jsou pevná nebo nenáhodná množství. To je v rozporu s modely náhodných efektů a smíšené modely ve kterém jsou všechny nebo některé parametry modelu náhodné proměnné. V mnoha aplikacích včetně ekonometrie^[1] a biostatistika^[2]^[3]^[4]^[5] model s pevnými efekty označuje a regresní model ve kterém jsou skupinové prostředky fixní (nenáhodné) na rozdíl od modelu náhodných efektů, ve kterém jsou skupinové prostředky náhodným vzorkem z populace.^[6] Obecně lze data seskupit podle několika pozorovaných faktorů. Skupinové prostředky lze modelovat jako pevné nebo náhodné efekty pro každé seskupení. V modelu fixních efektů je každá skupina průměrem fixní množství specifické pro skupinu.

v data panelu tam, kde pro stejný předmět existují podélná pozorování, představují stálé účinky prostředky specifické pro daný předmět. v panelová analýza dat termín odhad pevných efektů (také známý jako v odhadci) se používá k označení odhadce pro koeficienty v regresním modelu včetně těchto fixních efektů (jeden časově invariantní zachycení pro každý subjekt).

Kvalitativní popis

Takové modely pomáhají při ovládání vynechaná odchylka proměnné kvůli nepozorované heterogenitě, když je tato heterogenita v průběhu času konstantní. Tuto heterogenitu lze z dat odstranit diferencováním, například odečtením průměru na úrovni skupiny v čase, nebo odebráním první rozdíl který odstraní kdykoli invariantní komponenty modelu.

O konkrétním konkrétním účinku existují dva společné předpoklady: předpoklad náhodných efektů a předpoklad pevných efektů. The náhodné efekty Předpokládá se, že efekty specifické pro jednotlivce nekorelují s nezávislými proměnnými. Předpoklad fixního efektu je, že efekty specifické pro jednotlivce korelují s nezávislými proměnnými. Pokud platí předpoklad náhodných efektů, odhadce náhodných efektů je více účinný než odhad pevných efektů. Pokud však tento předpoklad neplatí, odhadce náhodných účinků není konzistentní. The Durbin – Wu – Hausmanův test se často používá k rozlišení mezi modely pevných a náhodných efektů.^[7]^[8]

Formální model a předpoklady

Zvažte lineární nepozorovaný model efektů pro ${displaystyle N}$ pozorování a ${displaystyle T}$ časová období:

{displaystyle y_ {it} = X_ {it} mathbf {eta} + alpha _ {i} + u_ {it}}

pro

{displaystyle t = 1, tečky, T}

a

{displaystyle i = 1, tečky, N}

Kde:

${displaystyle y_ {it}}$ je závislá proměnná pozorovaná u jednotlivce ${displaystyle i}$ v čase ${displaystyle t}$ .
${displaystyle X_ {it}}$ je časová varianta ${displaystyle 1 imes k}$ (počet nezávislých proměnných) vektor regresoru.
${displaystyle eta}$ je ${displaystyle k imes 1}$ matice parametrů.
${displaystyle alpha _ {i}}$ je nepozorovaný individuální časově invariantní efekt. Například vrozená schopnost jednotlivců nebo historické a institucionální faktory pro země.
${displaystyle u_ {it}}$ je chybový termín.

Na rozdíl od ${displaystyle X_ {it}}$ , ${displaystyle alpha _ {i}}$ nelze přímo pozorovat.

Na rozdíl od model náhodných efektů kde nepozorovaně ${displaystyle alpha _ {i}}$ je nezávislý na ${displaystyle X_ {it}}$ pro všechny ${displaystyle t = 1, ..., T}$ umožňuje model s pevnými efekty (FE) ${displaystyle alpha _ {i}}$ korelovat s regresorovou maticí ${displaystyle X_ {it}}$ . Přísná exogenita s ohledem na výraz idiosynkratické chyby ${displaystyle u_ {it}}$ je stále vyžadováno.

Statistický odhad

Opravený odhad efektů

Od té doby ${displaystyle alpha _ {i}}$ není pozorovatelný, nemůže být přímo kontrolované pro. Model FE vylučuje ${displaystyle alpha _ {i}}$ ponížením proměnných pomocí v rámci proměna:

{displaystyle y_ {it} - {overline {y}} _ {i} = left (X_ {it} - {overline {X}} _ {i} ight) eta + left (alpha _ {i} - {overline { alpha}} _ {i} ight) + left (u_ {it} - {overline {u}} _ {i} ight) znamená {ddot {y}} _ {it} = {ddot {X}} _ {it } eta + {ddot {u}} _ {it}}

kde ${displaystyle {overline {y}} _ {i} = {frac {1} {T}} součet limitů _ {t = 1} ^ {T} y_ {it}}$ , ${displaystyle {overline {X}} _ {i} = {frac {1} {T}} součet limitů _ {t = 1} ^ {T} X_ {it}}$ , a ${displaystyle {overline {u}} _ {i} = {frac {1} {T}} limity součtu _ {t = 1} ^ {T} u_ {it}}$ .

Od té doby ${displaystyle alpha _ {i}}$ je konstantní, ${displaystyle {overline {alpha _ {i}}} = alpha _ {i}}$ a tím je účinek eliminován. Odhad FE ${displaystyle {hat {eta}} _ {FE}}$ se pak získá pomocí OLS regrese ${displaystyle {ddot {y}}}$ na ${displaystyle {ddot {X}}}$ .

Nejméně tři alternativy k v rámci transformace existují s variacemi.

Jedním z nich je přidání fiktivní proměnné pro každého jednotlivce ${displaystyle i> 1}$ (vynechání prvního jedince kvůli multicollinearity ). Toto je numericky, ale ne výpočetně, ekvivalentní modelu s pevným efektem a funguje pouze v případě, že součet počtu sérií a počtu globálních parametrů je menší než počet pozorování.^[9] Přístup fiktivní proměnné je obzvláště náročný s ohledem na využití paměti počítače a nedoporučuje se pro problémy větší, než je dostupná paměť RAM a použitá kompilace programu.

Druhou alternativou je použití přístupu postupných opakování k místním a globálním odhadům.^[10] Tento přístup je velmi vhodný pro systémy s nízkou pamětí, na kterých je výpočetně mnohem efektivnější než přístup s fiktivními proměnnými.

Třetím přístupem je vnořený odhad, při kterém je místní odhad pro jednotlivé řady naprogramován jako součást definice modelu.^[11] Tento přístup je výpočetně a paměťově nejefektivnější, vyžaduje však zdatné programátorské dovednosti a přístup k programovacímu kódu modelu; lze jej ale naprogramovat i v SAS.^[12]^[13]

Nakonec lze každou z výše uvedených alternativ vylepšit, pokud je odhad specifický pro řadu lineární (v rámci nelineárního modelu), přičemž v takovém případě lze přímé lineární řešení pro jednotlivé řady naprogramovat jako součást definice nelineárního modelu.^[14]

Odhad prvního rozdílu

Alternativou k vnitřní transformaci je první rozdíl transformace, která vytváří jiný odhad. Pro ${displaystyle t = 2, dots, T}$ :

{displaystyle y_ {it} -y_ {i, t-1} = left (X_ {it} -X_ {i, t-1} ight) eta + left (alpha _ {i} -alpha _ {i} ight) + left (u_ {it} -u_ {i, t-1} ight) znamená Delta y_ {it} = Delta X_ {it} eta + Delta u_ {it}.}

Odhad FD ${displaystyle {hat {eta}} _ {FD}}$ se pak získá pomocí OLS regrese ${displaystyle Delta y_ {it}}$ na ${displaystyle Delta X_ {it}}$ .

Když ${displaystyle T = 2}$ , jsou první odhady rozdílu a fixních efektů numericky ekvivalentní. Pro ${displaystyle T> 2}$ , nejsou. Pokud chyba podmínky ${displaystyle u_ {it}}$ jsou homoskedastic bez č sériová korelace, odhad pevných efektů je více účinný než první odhadovač rozdílu. Li ${displaystyle u_ {it}}$ následuje a náhodná procházka, první odhad rozdílu je však efektivnější.^[15]

Rovnost pevných efektů a odhady prvního rozdílu, když T = 2

Pro speciální případ dvou období ( ${displaystyle T = 2}$ ), odhad pevných efektů (FE) a odhad prvního rozdílu (FD) jsou numericky ekvivalentní. Je tomu tak proto, že odhadce FE účinně „zdvojnásobí datovou sadu“ použitou v odhadu FD. Chcete-li to vidět, zjistěte, že odhad pevných efektů je: ${displaystyle {FE} _ {T = 2} = left [(x_ {i1} - {ar {x}} _ {i}) (x_ {i1} - {ar {x}} _ {i}) '+ (x_ {i2} - {ar {x}} _ {i}) (x_ {i2} - {ar {x}} _ {i}) 'ight] ^ {- 1} vlevo [(x_ {i1} - {ar {x}} _ {i}) (y_ {i1} - {ar {y}} _ {i}) + (x_ {i2} - {ar {x}} _ {i}) (y_ {i2 } - {ar {y}} _ {i}) ight]}$

Protože každý ${displaystyle (x_ {i1} - {ar {x}} _ {i})}$ lze přepsat jako ${displaystyle (x_ {i1} - {dfrac {x_ {i1} + x_ {i2}} {2}}) = {dfrac {x_ {i1} -x_ {i2}} {2}}}$ , přepíšeme řádek jako:

${displaystyle {FE} _ {T = 2} = vlevo [součet _ {i = 1} ^ {N} {dfrac {x_ {i1} -x_ {i2}} {2}} {dfrac {x_ {i1} - x_ {i2}} {2}} '+ {dfrac {x_ {i2} -x_ {i1}} {2}} {dfrac {x_ {i2} -x_ {i1}} {2}}' ight] ^ { -1} vlevo [součet _ {i = 1} ^ {N} {dfrac {x_ {i1} -x_ {i2}} {2}} {dfrac {y_ {i1} -y_ {i2}} {2}} + {dfrac {x_ {i2} -x_ {i1}} {2}} {dfrac {y_ {i2} -y_ {i1}} {2}} vpravo]}$

{displaystyle = left [sum _ {i = 1} ^ {N} 2 {dfrac {x_ {i2} -x_ {i1}} {2}} {dfrac {x_ {i2} -x_ {i1}} {2} } 'ight] ^ {- 1} vlevo [součet _ {i = 1} ^ {N} 2 {dfrac {x_ {i2} -x_ {i1}} {2}} {dfrac {y_ {i2} -y_ { i1}} {2}} hned]}

{displaystyle = 2left [součet _ {i = 1} ^ {N} (x_ {i2} -x_ {i1}) (x_ {i2} -x_ {i1}) 'ight] ^ {- 1} vlevo [součet _ {i = 1} ^ {N} {frac {1} {2}} (x_ {i2} -x_ {i1}) (y_ {i2} -y_ {i1}) ight]}

{displaystyle = left [sum _ {i = 1} ^ {N} (x_ {i2} -x_ {i1}) (x_ {i2} -x_ {i1}) 'ight] ^ {- 1} součet _ {i = 1} ^ {N} (x_ {i2} -x_ {i1}) (y_ {i2} -y_ {i1}) = {FD} _ {T = 2}}

Chamberlainova metoda

Gary Chamberlain Nahrazuje metoda, zevšeobecnění odhadu ${displaystyle alpha _ {i}}$ s jeho lineární projekce na vysvětlující proměnné. Psaní lineární projekce jako:

{displaystyle alpha _ {i} = lambda _ {0} + X_ {i1} lambda _ {1} + X_ {i2} lambda _ {2} + tečky + X_ {iT} lambda _ {T} + e_ {i} }

výsledkem je následující rovnice:

{displaystyle y_ {it} = lambda _ {0} + X_ {i1} lambda _ {1} + X_ {i2} lambda _ {2} + tečky + X_ {it} (lambda _ {t} + mathbf {eta} ) + tečky + X_ {iT} lambda _ {T} + e_ {i} + u_ {it}}

což lze odhadnout na minimální odhad vzdálenosti.^[16]

Hausman-Taylorova metoda

Potřebujete mít více než jednoho časově variantního regresora ( ${displaystyle X}$ ) a časově invariantní regresor ( ${displaystyle Z}$ ) a alespoň jeden ${displaystyle X}$ a jeden ${displaystyle Z}$ které nesouvisí s ${displaystyle alpha _ {i}}$ .

Rozdělte ${displaystyle X}$ a ${displaystyle Z}$ proměnné takové, že ${displaystyle {egin {array} {c} X = [{underset {TN imes K1} {X_ {1it}}} vdots {underset {TN imes K2} {X_ {2it}}}] Z = [{underset { TN imes G1} {Z_ {1it}}} vdots {podmnožina {TN imes G2} {Z_ {2it}}}] konec {pole}}}$ kde ${displaystyle X_ {1}}$ a ${displaystyle Z_ {1}}$ nesouvisí s ${displaystyle alpha _ {i}}$ . Potřeba ${displaystyle K1> G2}$ .

Odhad ${displaystyle gamma}$ přes OLS zapnuto ${displaystyle {widehat {di}} = Z_ {i} gamma + varphi _ {it}}$ použitím ${displaystyle X_ {1}}$ a ${displaystyle Z_ {1}}$ protože nástroje poskytují konzistentní odhad.

Zobecnění s nejistotou vstupu

Pokud existuje nejistota vstupu pro ${displaystyle y}$ data, ${zobrazovací styl delta y}$ , pak ${displaystyle chi ^ {2}}$ hodnota, spíše než součet čtverců zbytků, by měla být minimalizována.^[17] Toho lze přímo dosáhnout pomocí pravidel substituce:

{displaystyle {frac {y_ {it}} {delta y_ {it}}} = mathbf {eta} {frac {X_ {it}} {delta y_ {it}}} + alfa _ {i} {frac {1} {delta y_ {it}}} + {frac {u_ {it}} {delta y_ {it}}}}

,

pak hodnoty a směrodatné odchylky pro ${displaystyle mathbf {eta}}$ a ${displaystyle alpha _ {i}}$ lze určit klasicky obyčejné nejmenší čtverce analýza a variance-kovarianční matice.

Testování pevných efektů (FE) vs. náhodných efektů (RE)

Můžeme otestovat, zda je vhodný model s pevnými nebo náhodnými efekty, pomocí a Durbin – Wu – Hausmanův test.

{displaystyle H_ {0}}

:

{displaystyle alpha _ {i} perp X_ {it}, Z_ {i}}

{displaystyle H_ {a}}

:

{displaystyle alpha _ {i} ot perp X_ {it}, Z_ {i}}

Li ${displaystyle H_ {0}}$ je pravda, obojí ${displaystyle {widehat {eta}} _ {RE}}$ a ${displaystyle {widehat {eta}} _ {FE}}$ jsou konzistentní, ale pouze ${displaystyle {widehat {eta}} _ {RE}}$ je efektivní. Li ${displaystyle H_ {a}}$ je pravda, ${displaystyle {widehat {eta}} _ {FE}}$ je konzistentní a ${displaystyle {widehat {eta}} _ {RE}}$ není.

{displaystyle {widehat {Q}} =}

{displaystyle {widehat {eta}} _ {RE} - {widehat {eta}} _ {FE}}

{displaystyle {widehat {HT}} = T {widehat {Q}} ^ {prime} [Var ({widehat {eta}} _ {FE}) - Var ({widehat {eta}} _ {RE})] ^ {-1} {widehat {Q}} sim chi _ {K} ^ {2}}

kde

{displaystyle K = dim (Q)}

Hausmanův test je testem specifikací, takže velká statistika testu může naznačovat, že tam může být chyby v proměnných (EIV) nebo náš model není specifikován. Pokud je předpoklad FE pravdivý, měli bychom to zjistit ${displaystyle {widehat {eta}} _ {LD} přibližně {widehat {eta}} _ {FD} přibližně {widehat {eta}} _ {FE}}$ .

Jednoduchá heuristika je, že pokud ${displaystyle leftvert {widehat {eta}} _ {LD} ightvert> leftvert {widehat {eta}} _ {FE} ightvert> leftvert {widehat {eta}} _ {FD} ightvert}$ může být EIV.

Viz také

Poissonův model s pevným účinkem

Poznámky

^ Greene, W.H., 2011. Ekonometrická analýza, 7. vydání, Prentice Hall
^ Diggle, Peter J .; Heagerty, Patrick; Liang, Kung-Yee; Zeger, Scott L. (2002). Analýza podélných údajů (2. vyd.). Oxford University Press. 169–171. ISBN 0-19-852484-6.
^ Fitzmaurice, Garrett M .; Laird, Nan M .; Ware, James H. (2004). Aplikovaná podélná analýza. Hoboken: John Wiley & Sons. 326–328. ISBN 0-471-21487-6.
^ Laird, Nan M .; Ware, James H. (1982). "Modely náhodných efektů pro podélná data". Biometrie. 38 (4): 963–974. JSTOR 2529876.
^ Gardiner, Joseph C .; Luo, Zhehui; Roman, Lee Anne (2009). "Opravené efekty, náhodné efekty a GEE: Jaké jsou rozdíly?". Statistika v medicíně. 28: 221–239. doi:10.1002 / sim.3478.
^ Ramsey, F., Schafer, D., 2002. Statistický detektiv: Kurz v metodách analýzy dat, 2. vyd. Duxbury Press
^ Cameron, A. Colin; Trivedi, Pravin K. (2005). Mikroekonomie: Metody a aplikace. Cambridge University Press. s. 717–19.
^ Nerlove, Marc (2005). Eseje v panelové datové ekonometrii. Cambridge University Press. s. 36–39.
^ Garcia, Oscar. (1983). "Stochastický model diferenciální rovnice pro výškový růst lesních porostů". Biometrie: 1059–1072.
^ Tait, David; Cieszewski, Chris J .; Bella, Imre E. (1986). "Dynamika porostu borovice polní". Umět. J. Pro. Res. 18: 1255–1260.
^ Strub, Mike; Cieszewski, Chris J. (2006). "Vlastnosti invariance základního věku dvou technik pro odhad parametrů modelů indexů stránek". Forest Science. 52 (2): 182–186.
^ Strub, Mike; Cieszewski, Chris J. (2003). „Přizpůsobení parametrů globálního indexu webů, když je s indexem webů spiknutí nebo stromů zacházeno jako s lokálním obtěžujícím parametrem In: Burkhart HA, editor. Proceedings of the Symposium on Statistics and Information Technology in Forestry; 2002 September 8–12; Blacksburg, Virginia: Virginia Polytechnic Institut a státní univerzita “: 97–107. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
^ Cieszewski, Chris J .; Harrison, Mike; Martin, Stacey W. (2000). „Praktické metody pro odhad neobjektivních parametrů v samoreferenčních modelech růstu a výnosu“ (PDF). Technická zpráva PMRC. 2000 (7): 12.
^ Schnute, Jon; McKinnell, Skip (1984). "Biologicky smysluplný přístup k povrchové analýze odezvy". Umět. J. Fish. Aquat. Sci. 41: 936–953.
^ Wooldridge, Jeffrey M. (2001). Ekonometrická analýza dat průřezu a panelu. MIT Stiskněte. str.279 –291. ISBN 978-0-262-23219-7.
^ Chamberlain, Gary (1984). "Kapitola 22 Data panelu". 2: 1247–1318. doi:10.1016 / S1573-4412 (84) 02014-6. ISSN 1573-4412. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
^ Ren, Bin; Dong, Ruobing; Esposito, Thomas M .; Pueyo, Laurent; Debes, John H .; Poteet, Charles A .; Choquet, Élodie; Benisty, Myriam; Chiang, Eugene; Grady, Carol A .; Hines, Dean C .; Schneider, Glenn; Soummer, Rémi (2018). „Desetiletí obrazů disků MWC 758: Kde jsou planety poháněné spirálním ramenem?“. The Astrophysical Journal Letters. 857: L9. arXiv:1803.06776. Bibcode:2018ApJ ... 857L ... 9R. doi:10.3847 / 2041-8213 / aab7f5.

Reference

Christensen, Ronald (2002). Rovinné odpovědi na složité otázky: Teorie lineárních modelů (Třetí vydání.). New York: Springer. ISBN 0-387-95361-2.
Gujarati, Damodar N .; Porter, Dawn C. (2009). "Panelové modely regrese dat". Základní ekonometrie (Páté mezinárodní vydání). Boston: McGraw-Hill. str. 591–616. ISBN 978-007-127625-2.
Hsiao, Cheng (2003). „Modely s pevnými efekty“. Analýza dat panelu (2. vyd.). New York: Cambridge University Press. str. 95–103. ISBN 0-521-52271-4.
Wooldridge, Jeffrey M. (2013). "Odhad pevných efektů". Úvodní ekonometrie: moderní přístup (Páté mezinárodní vydání). Mason, OH: Jihozápadní. 466–474. ISBN 978-1-111-53439-4.

externí odkazy

[1] Greene, W.H., 2011. Ekonometrická analýza, 7. vydání, Prentice Hall

[2] Diggle, Peter J .; Heagerty, Patrick; Liang, Kung-Yee; Zeger, Scott L. (2002). Analýza podélných údajů (2. vyd.). Oxford University Press. 169–171. ISBN 0-19-852484-6.

[3] Fitzmaurice, Garrett M .; Laird, Nan M .; Ware, James H. (2004). Aplikovaná podélná analýza. Hoboken: John Wiley & Sons. 326–328. ISBN 0-471-21487-6.

[4] Laird, Nan M .; Ware, James H. (1982). "Modely náhodných efektů pro podélná data". Biometrie. 38 (4): 963–974. JSTOR 2529876.

[5] Gardiner, Joseph C .; Luo, Zhehui; Roman, Lee Anne (2009). "Opravené efekty, náhodné efekty a GEE: Jaké jsou rozdíly?". Statistika v medicíně. 28: 221–239. doi:10.1002 / sim.3478.

[6] Ramsey, F., Schafer, D., 2002. Statistický detektiv: Kurz v metodách analýzy dat, 2. vyd. Duxbury Press

[7] Cameron, A. Colin; Trivedi, Pravin K. (2005). Mikroekonomie: Metody a aplikace. Cambridge University Press. s. 717–19.

[8] Nerlove, Marc (2005). Eseje v panelové datové ekonometrii. Cambridge University Press. s. 36–39.

[9] Garcia, Oscar. (1983). "Stochastický model diferenciální rovnice pro výškový růst lesních porostů". Biometrie: 1059–1072.

[10] Tait, David; Cieszewski, Chris J .; Bella, Imre E. (1986). "Dynamika porostu borovice polní". Umět. J. Pro. Res. 18: 1255–1260.

[11] Strub, Mike; Cieszewski, Chris J. (2006). "Vlastnosti invariance základního věku dvou technik pro odhad parametrů modelů indexů stránek". Forest Science. 52 (2): 182–186.

[12] Strub, Mike; Cieszewski, Chris J. (2003). „Přizpůsobení parametrů globálního indexu webů, když je s indexem webů spiknutí nebo stromů zacházeno jako s lokálním obtěžujícím parametrem In: Burkhart HA, editor. Proceedings of the Symposium on Statistics and Information Technology in Forestry; 2002 September 8–12; Blacksburg, Virginia: Virginia Polytechnic Institut a státní univerzita “: 97–107. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[13] Cieszewski, Chris J .; Harrison, Mike; Martin, Stacey W. (2000). „Praktické metody pro odhad neobjektivních parametrů v samoreferenčních modelech růstu a výnosu“ (PDF). Technická zpráva PMRC. 2000 (7): 12.

[14] Schnute, Jon; McKinnell, Skip (1984). "Biologicky smysluplný přístup k povrchové analýze odezvy". Umět. J. Fish. Aquat. Sci. 41: 936–953.

[15] Wooldridge, Jeffrey M. (2001). Ekonometrická analýza dat průřezu a panelu. MIT Stiskněte. str.279 –291. ISBN 978-0-262-23219-7.

[Chamberlain1984-16] Chamberlain, Gary (1984). "Kapitola 22 Data panelu". 2: 1247–1318. doi:10.1016 / S1573-4412 (84) 02014-6. ISSN 1573-4412. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[ren18-17] Ren, Bin; Dong, Ruobing; Esposito, Thomas M .; Pueyo, Laurent; Debes, John H .; Poteet, Charles A .; Choquet, Élodie; Benisty, Myriam; Chiang, Eugene; Grady, Carol A .; Hines, Dean C .; Schneider, Glenn; Soummer, Rémi (2018). „Desetiletí obrazů disků MWC 758: Kde jsou planety poháněné spirálním ramenem?“. The Astrophysical Journal Letters. 857: L9. arXiv:1803.06776. Bibcode:2018ApJ ... 857L ... 9R. doi:10.3847 / 2041-8213 / aab7f5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]