Frobenius potrubí - Frobenius manifold
![]() | tento článek potřebuje další citace pro ověření.Říjen 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
V matematické oblasti diferenciální geometrie, a Frobenius potrubí, představil Dubrovin,[1] je byt Riemannovo potrubí s určitou kompatibilní multiplikativní strukturou na internetu tečný prostor. Koncept zobecňuje pojem Frobenius algebra na tečné svazky.
Frobeniova potrubí se v předmětu vyskytují přirozeně symplektická topologie, konkrétněji kvantová kohomologie. Nejširší definice je v kategorii Riemannian supermanifolds. Zde omezíme diskusi na plynulé (skutečné) varieté. Je také možné omezení na složité potrubí.
Definice
Nechat M být hladký potrubí. An afinní byt struktura zapnuta M je snop TF vektorových prostorů, které se bodově rozprostírají TM tečný svazek a tečná konzola párů jeho částí zmizí.
Jako místní příklad zvažte vektorová pole souřadnic nad grafem M. Rozdělovač připouští afinní plochou strukturu, pokud lze spojit taková vektorová pole pro krycí rodinu grafů.
Nechť je dále dáno a Riemannova metrika G na M. Je kompatibilní s plochou konstrukcí, pokud G(X, Y) je místně konstantní pro všechna plochá vektorová pole X aY.
Riemannovo potrubí připouští kompatibilní afinní rovinnou strukturu tehdy a jen tehdy, je-li tenzor zakřivení zmizí všude.
Rodina komutativní produkty * na TM je ekvivalentní sekci A z S2(T.*M) ⊗ TM přes
Požadujeme navíc nemovitost
Proto složení G#∘A je symetrický 3-tenzor.
Z toho zejména vyplývá, že lineární Frobeniovo potrubí (M, G, *) s konstantním součinem je Frobeniova algebra M.
Dáno (G, TF, A), a místní potenciál Φ je místní hladká funkce taková
pro všechna plochá vektorová pole X, Y, aZ.
A Frobenius potrubí (M, G, *) je nyní ploché Riemannovo potrubí (M, G) se symetrickým 3-tenzorem A který všude připouští místní potenciál a je asociativní.
Základní vlastnosti
Asociativita produktu * je ekvivalentní následující kvadratické PDE v místním potenciálu Φ
kde je naznačena Einsteinova konvence součtu, Φ,A označuje částečnou derivaci funkce Φ souřadnicovým vektorovým polem ∂ / ∂XA o kterých se předpokládá, že jsou ploché. Gef jsou koeficienty inverzní k metrice.
Rovnice se proto nazývá asociativní rovnice nebo Witten – Dijkgraaf – Verlinde – Verlinde (WDVV).
Příklady
Kromě Frobeniovy algebry vycházejí příklady z kvantové kohomologie. Jmenovitě, vzhledem k semipositivu symplektické potrubí (M, ω) pak existuje otevřené sousedství U 0 v sudém kvantová kohomologie QHdokonce(M, ω) s Novikovovým prstenem C takový, že velký kvantový produkt *A pro A v U je analytický. Nyní U společně s křižovatka G = <·, ·> Je (komplexní) Frobeniova rozmanitost.
Druhá velká třída příkladů Frobeniových variet pochází z teorie singularity. Prostor miniversálních deformací izolované singularity má Frobeniovu rozmanitou strukturu. S touto strukturou potrubí Frobenius také souvisí Kyoji Saito primitivní formy.
Reference
- ^ B. Dubrovin: Geometrie 2D topologických teorií polí. In: Springer LNM, 1620 (1996), str. 120–348.
2. Yu.I. Manin, S.A.Merkulov: Poloprostor Frobeniova (super) variet a kvantová kohomologie Pr, Topol. Metody nelineární Analýza 9 (1997), str. 107–161