Eutaktická hvězda - Eutactic star - Wikipedia

Eutaktická hvězda skládající se z 5 párů vektorů v trojrozměrném prostoru (n = 3, s = 5)

v Euklidovská geometrie, a eutaktická hvězda je geometrický útvar v Euklidovský prostor. Hvězda je postava skládající se z libovolného počtu protilehlých párů vektory (nebo zbraně) vycházející z centrálního původu. Hvězda je eutaktická, pokud je ortogonální projekce plus a minus sada standardních bazických vektorů (tj. vrcholy a křížový mnohostěn ) z prostoru vyšší dimenze do a podprostor. Takovým hvězdám se říkalo „eutactic“ - což znamená „dobře situovaný“ nebo „dobře uspořádaný“ Schläfli (1901, str. 134) protože, pro obyčejného skalární násobek, jejich vektory jsou projekcemi an ortonormální základ.[1]

Definice

Eutaktická hvězda v letadle (n = 2, s = 4)

A hvězda je zde definována jako sada 2s vektory A = ±A1, ..., ±As vycházející z konkrétního původu v euklidovském prostoru dimenze n ≤ s. Hvězda je eutaktická, pokud Ai jsou projekce do n rozměry sady vzájemně kolmý stejné vektory b1, ..., bs vydávající z určitého původu v euklidovštině s-rozměrný prostor.[2] Konfigurace 2s vektory v s-rozměrný prostor B = ±b1, ... , ±bs je známý jako přejít. Vzhledem k těmto definicím je eutaktická hvězda výstižně hvězdou vytvořenou ortogonální projekcí kříže.

Ekvivalentní definice, poprvé zmíněna Schläfli,[3] stanoví, že hvězda je eutaktická, je-li konstanta ζ existuje takový, že

pro každý vektor proti. Existence takové konstanty vyžaduje, aby součet čtverců ortogonálních projekcí A na linii být stejný ve všech směrech.[4] Obecně,

A normalizováno eutaktická hvězda je promítnutý kříž složený z jednotkové vektory.[2][5] Eutaktické hvězdy jsou často považovány za n = 3 rozměry z důvodu jejich souvislosti se studiem pravidelný mnohostěn.

Hadwigerova hlavní věta

Nechat T být symetrický lineární transformace definované pro vektory X podle

Kde Aj tvoří jakoukoli sbírku s vektory v n-rozměrný euklidovský prostor. Hadwiger Hlavní věta uvádí, že vektory ±A1, ..., ±As tvoří eutaktickou hvězdu kdyby a jen kdyby existuje konstanta ζ takhle TX = ζX pro každého X.[2][6] Vektory vytvářejí normalizovanou eutaktickou hvězdu přesně tehdy T je operátor identity - když ζ = 1.

Rovněž je hvězda normalizována eutakticky tehdy a jen tehdy, když matice A = [A1 ... As], jehož sloupce jsou vektory Ak, má ortonormální řádky. Důkaz lze dát v jednom směru vyplněním řádků této matice do ortonormální základ z , a ve druhé ortogonálně vyčnívající na n-dimenzionální podprostor překlenutý prvním n Kartézské vektory souřadnic.

Hadwigerova věta implikuje rovnocennost Schläfliho ustanovení a geometrické definice eutaktické hvězdy polarizační identita. Navíc Schläfliho identita i Hadwigerova věta dávají stejnou hodnotu konstantyζ.

Aplikace

Eutaktické hvězdy jsou užitečné hlavně kvůli jejich vztahu s geometrií polytopes a skupiny z ortogonální transformace. Schläfli brzy ukázal, že vektory ze středu jakéhokoli pravidelného mnohostěnů k jeho vrcholům tvoří eutaktickou hvězdu. Brauer a Coxeter prokázali následující zevšeobecnění:[7]

Hvězda je eutaktická, pokud je sama transformována nějakou neredukovatelnou skupinou ortogonálních transformací, která působí přechodně na páry protilehlých vektorů.

Neredukovatelná skupina zde znamená skupinu, která nezanechává žádný netriviální vlastní subprostorový invariant (viz neredukovatelné zastoupení ). Protože množina teoretického spojení dvou eutaktických hvězd je sama eutaktická (důsledek Hadwigerova hlavní věta ) lze vyvodit závěr, že obecně:[4]

Hvězda je eutaktická, pokud je sama transformována nějakou neredukovatelnou skupinou ortogonálních transformací.

Eutaktické hvězdy mohou být použity k ověření eutaxie jakékoli formy obecně. Podle H. S. M. Coxeter: "Forma je eutaktická právě tehdy, jsou-li její minimální vektory paralelní na vektory eutaktické hvězdy. “[4]

Viz také

Reference

  1. ^ D. M. Cvetković; P. Rowlinson; S. Simić (1997). Vlastní prostory grafů. Cambridge University Press. str.151. ISBN  0-521-57352-1.
  2. ^ A b C Coxeter, Harold Scott MacDonald (1973). Pravidelné polytopy. Publikace Courier Dover. str.251. ISBN  0-486-61480-8.
  3. ^ Schläfli, Ludwig (1949). „Theorie der vielfachen Kontinuität“. Shromážděné matematické práce (v němčině). . Birkhäuser Verlag. Zbl  0035.21902.
  4. ^ A b C Coxeter, Harold Scott MacDonald (1951). "Extrémní formy". Kanadský žurnál matematiky. 3: 391–441. doi:10.4153 / CJM-1951-045-8. ISSN  0008-414X. PAN  0044580.
  5. ^ E. W. Weisstein. „Eutactic Star - MathWorld“. Citováno 2009-08-28.
  6. ^ E. W. Weisstein. „Hadwigerova hlavní věta - MathWorld“. Citováno 2009-08-28.
  7. ^ Brauer, R.; Coxeter, Harold Scott MacDonald (1940). „Zobecnění vět o Schönhardtovi a Mehmke na polytopech“. Trans. Roy. Soc. Kanada. Sekta. III. (3). 34: 29–34. PAN  0002869..
  8. ^ „Archivovaná kopie“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 12.01.2014. Citováno 2014-01-11.CS1 maint: archivovaná kopie jako titul (odkaz)