Eutaktická hvězda - Eutactic star - Wikipedia

Eutaktická hvězda skládající se z 5 párů vektorů v trojrozměrném prostoru (n = 3, s = 5)

v Euklidovská geometrie, a eutaktická hvězda je geometrický útvar v Euklidovský prostor. Hvězda je postava skládající se z libovolného počtu protilehlých párů vektory (nebo zbraně) vycházející z centrálního původu. Hvězda je eutaktická, pokud je ortogonální projekce plus a minus sada standardních bazických vektorů (tj. vrcholy a křížový mnohostěn ) z prostoru vyšší dimenze do a podprostor. Takovým hvězdám se říkalo „eutactic“ - což znamená „dobře situovaný“ nebo „dobře uspořádaný“ Schläfli (1901, str. 134) protože, pro obyčejného skalární násobek, jejich vektory jsou projekcemi an ortonormální základ.^[1]

Definice

Eutaktická hvězda v letadle (n = 2, s = 4)

A hvězda je zde definována jako sada 2s vektory A = ±A₁, ..., ±A_s vycházející z konkrétního původu v euklidovském prostoru dimenze n ≤ s. Hvězda je eutaktická, pokud A_i jsou projekce do n rozměry sady vzájemně kolmý stejné vektory b₁, ..., b_s vydávající z určitého původu v euklidovštině s-rozměrný prostor.^[2] Konfigurace 2s vektory v s-rozměrný prostor B = ±b₁, ... , ±b_s je známý jako přejít. Vzhledem k těmto definicím je eutaktická hvězda výstižně hvězdou vytvořenou ortogonální projekcí kříže.

Ekvivalentní definice, poprvé zmíněna Schläfli,^[3] stanoví, že hvězda je eutaktická, je-li konstanta ζ existuje takový, že

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {s} ( mathbf {a} _ {k} cdot mathbf {v}) ^ {2} = zeta | mathbf {v} | ^ {2 }}$

pro každý vektor proti. Existence takové konstanty vyžaduje, aby součet čtverců ortogonálních projekcí A na linii být stejný ve všech směrech.^[4] Obecně,

${ displaystyle zeta = sum _ {k = 1} ^ {s} | mathbf {a} _ {k} | ^ {2} / n.}$

A normalizováno eutaktická hvězda je promítnutý kříž složený z jednotkové vektory.^[2][5] Eutaktické hvězdy jsou často považovány za n = 3 rozměry z důvodu jejich souvislosti se studiem pravidelný mnohostěn.

Hadwigerova hlavní věta

Nechat T být symetrický lineární transformace definované pro vektory X podle

${ displaystyle T mathbf {x} = součet _ {k = 1} ^ {s} mathbf {a} _ {k} ( mathbf {a} _ {k} cdot mathbf {x}), }$

Kde A_j tvoří jakoukoli sbírku s vektory v n-rozměrný euklidovský prostor. Hadwiger Hlavní věta uvádí, že vektory ±A₁, ..., ±A_s tvoří eutaktickou hvězdu kdyby a jen kdyby existuje konstanta ζ takhle TX = ζX pro každého X.^[2][6] Vektory vytvářejí normalizovanou eutaktickou hvězdu přesně tehdy T je operátor identity - když ζ = 1.

Rovněž je hvězda normalizována eutakticky tehdy a jen tehdy, když matice A = [A₁ ... A_s], jehož sloupce jsou vektory A_k, má ortonormální řádky. Důkaz lze dát v jednom směru vyplněním řádků této matice do ortonormální základ z ${ displaystyle mathbb {R} ^ {s}}$, a ve druhé ortogonálně vyčnívající na n-dimenzionální podprostor překlenutý prvním n Kartézské vektory souřadnic.

Hadwigerova věta implikuje rovnocennost Schläfliho ustanovení a geometrické definice eutaktické hvězdy polarizační identita. Navíc Schläfliho identita i Hadwigerova věta dávají stejnou hodnotu konstantyζ.

Aplikace

Eutaktické hvězdy jsou užitečné hlavně kvůli jejich vztahu s geometrií polytopes a skupiny z ortogonální transformace. Schläfli brzy ukázal, že vektory ze středu jakéhokoli pravidelného mnohostěnů k jeho vrcholům tvoří eutaktickou hvězdu. Brauer a Coxeter prokázali následující zevšeobecnění:^[7]

Hvězda je eutaktická, pokud je sama transformována nějakou neredukovatelnou skupinou ortogonálních transformací, která působí přechodně na páry protilehlých vektorů.

Neredukovatelná skupina zde znamená skupinu, která nezanechává žádný netriviální vlastní subprostorový invariant (viz neredukovatelné zastoupení ). Protože množina teoretického spojení dvou eutaktických hvězd je sama eutaktická (důsledek Hadwigerova hlavní věta ) lze vyvodit závěr, že obecně:^[4]

Hvězda je eutaktická, pokud je sama transformována nějakou neredukovatelnou skupinou ortogonálních transformací.

Eutaktické hvězdy mohou být použity k ověření eutaxie jakékoli formy obecně. Podle H. S. M. Coxeter: "Forma je eutaktická právě tehdy, jsou-li její minimální vektory paralelní na vektory eutaktické hvězdy. “^[4]

Viz také

• Eutaktická mříž
• Pevný rám^[8]

Reference

• Schläfli, Ludwig (1901) [1852], Graf, J. H. (ed.), Theorie der vielfachen Kontinuität, Republished by Cornell University Library historic math monographs 2010 (in German), Zürich, Basel: Georg & Co., ISBN  978-1-4297-0481-6