Eulerova cihla - Euler brick - Wikipedia

v matematika, an Eulerova cihla, pojmenoval podle Leonhard Euler, je obdélníkový kvádr jehož hrany a čelní úhlopříčky všechny mají celočíselnou délku. A primitivní Eulerova cihla je Eulerova cihla, jejíž délky hran jsou relativně prime. A perfektní Eulerova cihla je ta, kde nejdelší úhlopříčka je také celé číslo, ale taková cihla dosud nebyla nalezena.

Eulerova cihla s okraji

A, b, C

a čelní úhlopříčky

d, E, F

Definice

Definice Eulerovy cihly v geometrických pojmech je ekvivalentní řešení následujícího systému Diophantine rovnice:

{ displaystyle { begin {cases} a ^ {2} + b ^ {2} = d ^ {2} a ^ {2} + c ^ {2} = e ^ {2} b ^ { 2} + c ^ {2} = f ^ {2} end {cases}}}

kde $A, b, C$ jsou hrany a $d, E, F$ jsou úhlopříčky.

Vlastnosti

Li $(A, b, C)$ je tedy řešením $(ka, kb, kc)$ je také řešením pro všechny $k$ . V důsledku toho řešení v racionální čísla jsou všechny změny měřítka celočíselných řešení. Vzhledem k Eulerově cihle s délkami hran $(A, b, C)$ , trojnásobný $(před naším letopočtem, ac, ab)$ představuje také Eulerovu cihlu.^[1]^{:p. 106}

Alespoň dva okraje Eulerovy cihly jsou dělitelné 3.^[1]^{:p. 106}

Alespoň dva okraje Eulerovy cihly jsou dělitelné 4.^[1]^{:p. 106}

Alespoň jeden okraj Eulerovy cihly je dělitelný 11.^[1]^{:p. 106}

Příklady

Nejmenší Eulerova cihla, kterou objevil Paul Halcke v roce 1719, má hrany $(A, b, C) = (44, 117, 240)$ a čelní úhlopříčky $(d, E, F) = (125, 244, 267)$ .^[2] Některá další malá primitivní řešení, uvedená jako hrany $(A, b, C)$ - čelní úhlopříčky $(d, E, F)$ , jsou níže:

Všech pět primitivních Eulerových cihel s rozměry pod 1000

(	85,	132,	720	) — (	157,	725,	732	)
(	140,	480,	693	) — (	500,	707,	843	)
(	160,	231,	792	) — (	281,	808,	825	)
(	187,	1020,	1584	) — (	1037,	1595,	1884	)
(	195,	748,	6336	) — (	773,	6339,	6380	)
(	240,	252,	275	) — (	348,	365,	373	)
(	429,	880,	2340	) — (	979,	2379,	2500	)
(	495,	4888,	8160	) — (	4913,	8175,	9512	)
(	528,	5796,	6325	) — (	5820,	6347,	8579	)

Generování vzorce

Euler našel nejméně dva parametrická řešení k problému, ale ani jeden neposkytuje všechna řešení.^[3]

U společnosti Sounderson's lze generovat nekonečnost Eulerových cihel^[4] parametrický vzorec. Nechat $(u, proti, w)$ být Pytagorejský trojnásobek (to znamená, $u 2 + proti 2 = w 2$ .) Pak^[1]^:105 okraje

{ displaystyle a = u | 4v ^ {2} -w ^ {2} |, quad b = v | 4u ^ {2} -w ^ {2} |, quad c = 4uvw}

dát obličejové úhlopříčky

{ displaystyle d = w ^ {3}, quad e = u (4v ^ {2} + w ^ {2}), quad f = v (4u ^ {2} + w ^ {2}).}

Existuje mnoho Eulerových cihel, které nejsou parametrizovány výše, například Eulerova cihla s hranami $(A, b, C) = (240, 252, 275)$ a čelní úhlopříčky $(d, E, F) = (348, 365, 373)$ .

Perfektní kvádr

Nevyřešený problém v matematice:

Existuje dokonalý kvádr?

(více nevyřešených úloh z matematiky)

A perfektní kvádr (také nazývaný a perfektní Eulerova cihla, a perfektní krabice) je Eulerova cihla, jejíž úhlopříčka prostoru má také celočíselnou délku. Jinými slovy, následující rovnice je přidána do systému Diophantine rovnice definování Eulerovy cihly:

{ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} = g ^ {2},}

kde $G$ je úhlopříčka prostoru. Od září 2020^{[Aktualizace]}, nebyl nalezen žádný příklad dokonalého kvádru a nikdo neprokázal, že žádný neexistuje.^[5]

Eulerova cihla s okraji

A, b, C

a čelní úhlopříčky

d, E, F

Vyčerpávající počítačové vyhledávání ukazuje, že pokud existuje dokonalý kvádr,

lichá hrana musí být větší než 2,5 × 10¹³,^[5]
nejmenší okraj musí být větší než 5×10¹¹.^[5]

O vlastnostech jsou známa některá fakta, která musí splňovat a primitivní perfektní kvádr, pokud existuje, na základě modulární aritmetika:^[6]

Jedna hrana, dvě čelní úhlopříčky a úhlopříčka těla musí být liché, jedna hrana a zbývající čelní úhlopříčka musí být dělitelné 4 a zbývající hrana musí být dělitelná 16.
Dvě hrany musí mít délku dělitelnou 3 a alespoň jedna z těchto hran musí mít délku dělitelnou 9.
Jedna hrana musí mít délku dělitelnou 5.
Jedna hrana musí mít délku dělitelnou 7.
Jedna hrana musí mít délku dělitelnou 11.
Jedna hrana musí mít délku dělitelnou 19.
Jedna hrana nebo prostorová úhlopříčka musí být dělitelná 13.
Jedna hrana, čelní úhlopříčka nebo prostorová úhlopříčka musí být dělitelná 17.
Jedna hrana, čelní úhlopříčka nebo prostorová úhlopříčka musí být dělitelná 29.
Jedna hrana, čelní úhlopříčka nebo prostorová úhlopříčka musí být dělitelná číslem 37.

Navíc:

Prostorová úhlopříčka není ani a hlavní síla ani a produkt dvou prvočísel.^[7]^{:p. 579}
Prostorová úhlopříčka může obsahovat pouze dělitele prvočísla ≡ 1 (mod 4).^[7]^{:p. 566}^[8]

Téměř dokonalé kvádry

Téměř dokonalý kvádr má 6 ze 7 délek jako racionálních. Takové kvádry lze rozdělit do tří typů, tzv Tělo, Okraj, a Tvář kvádry.^[9]

V případě kvádru Tělo úhlopříčka těla (prostoru) $G$ je iracionální. U hranatého kvádru jedna z hran $A, b, C$ je iracionální. Tvarovaný kvádr má pouze jednu z čelních úhlopříček $d, E, F$ iracionální.

Tělesný kvádr se běžně označuje jako Eulerův kvádr na počest Leonarda Eulera, který hovořil o tomto typu kvádru.^[10] Věděl také o kvádrech tváře a poskytl (104, 153, 672) příklad.^[11] Tři celočíselné délky hran kvádru a tři celočíselné délky úhlopříčky plochého kvádru lze také interpretovat jako délky hran hrany Heronský čtyřstěn to je také a Schläfli orthoscheme. Existuje nekonečně mnoho obličejových kvádrů a nekonečně mnoho heronských orthoschémů.^[12]

Teprve nedávno se dozvěděli komplexní kvádry.

Od září 2017^{[Aktualizace]} Publikoval Randall L. Rathbun^[13] 155 151 nalezených kvádrů s nejmenší celočíselnou hranou méně než 157 000 000 000: 56 575 byly kvádry Euler (tělo), 15 449 hraničních kvádrů se složitou délkou hrany hran, 30 081 hraničních kvádrů a 53 046 tvárových kvádrů.

Nejmenší řešení pro každý typ téměř dokonalých kvádrů, které jsou uvedeny jako hrany, čelní úhlopříčky a prostorová úhlopříčka $(A, b, C, d, E, F, G)$ :

Těleso kvádru: $(44, 117, 240, 125, 244, 267, \sqrt 73225)$
Hranatý kvádr: $(520, 576, \sqrt 618849, 776, 943, 975, 1105)$
Tvarovaný kvádr: $(104, 153, 672, 185, 680, \sqrt 474993, 697)$
Komplexní kvádr těla: $(63i, 60i, 65, 87i, 16, 25, \sqrt -3344)$
Kvádr Complex Edge: $(\sqrt -3344, 60, 63, 16, 25, 87, 65)$
Komplexní kvádr tváře: $(672i, 153i, 697, \sqrt -474993, 185, 680, 104)$

Perfektní rovnoběžnostěn

Perfektní rovnoběžnostěn je rovnoběžnostěn s hranami celočíselné délky, čelními úhlopříčkami a úhlopříčkami těla, ale ne nutně se všemi pravými úhly; dokonalý kvádr je speciální případ dokonalého kvádru. V roce 2009 bylo prokázáno, že existují desítky dokonalých rovnoběžnostěnů,^[14] odpověď na otevřenou otázku Richard Guy. Některé z těchto dokonalých rovnoběžnostěn mají dvě obdélníkové tváře. Nejmenší dokonalý rovnoběžnostěn má hrany 271, 106 a 103; úhlopříčky krátkého obličeje 101, 266 a 255; úhlopříčky dlouhého obličeje 183, 312 a 323; a úhlopříčky těla 374, 300, 278 a 272.

Viz také

Pytagorova čtyřnásobná

Poznámky

^ ^A ^b ^C ^d ^E Wacław Sierpiński, Pythagorovy trojúhelníky, Dover Publications, 2003 (orig. Vyd. 1962).
^ Vize nekonečna: Velké matematické problémy Autor: Ian Stewart, kapitola 17
^ Weisstein, Eric W. „Eulerova cihla“. MathWorld.
^ Knill, Oliver (24. února 2009). „Lov pokladů Perfektní Eulerovy cihly“ (PDF). Matematický stůl. Harvardská Univerzita.
^ ^A ^b ^C Matson, Robert D. "Výsledky počítačového hledání dokonalého kvádru" (PDF). unsolvedproblems.org. Citováno 24. února 2020.
^ M. Kraitchik, On certain Rational Cuboids, Scripta Mathematica, svazek 11 (1945).
^ ^A ^b I. Korec, Dolní hranice pro Perfect Rational Cuboids, Math. Slovaca, 42 (1992), č. 5, s. 565-582.
^ Ronald van Luijk, O dokonalých kvádrech, červen 2000
^ Rathbun R. L., Granlund Т., Celočíselný kvádrový stůl s tělem, hranou a čelem typu řešení // Matematika. Comp., 1994, sv. 62, str. 441-442.
^ Euler, Leonard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, Kayserliche Akademie der Wissenschaften, Petrohrad, 1771
^ Euler, Leonard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, 2, Part II, 236, anglický překlad: Euler, Elements of Algebra, Springer-Verlag 1984
^ „Problém 930“ (PDF)Řešení Crux Mathematicorum, 11 (5): 162–166, květen 1985
^ Rathbun, Randall L. (16. listopadu 2018). "Celočíselný kvádrový stůl". arXiv:1705,05929v3 [math.NT ].
^ Sawyer, Jorge F .; Reiter, Clifford A. (2011). "Dokonalé rovnoběžnostěny existují". Matematika výpočtu. 80 (274): 1037–1040. arXiv:0907.0220. doi:10.1090 / s0025-5718-2010-02400-7..

Reference

Pijavice, Johne (1977). „Racionální kvádr se vrátil“. Americký matematický měsíčník. 84 (7): 518–533. doi:10.2307/2320014. JSTOR 2320014.
Shaffer, Sherrill (1987). "Nezbytné dělitele Perfect Integer Cuboids". Abstrakty Americké matematické společnosti. 8 (6): 440.
Guy, Richard K. (2004). Nevyřešené problémy v teorii čísel. Springer-Verlag. str. 275–283. ISBN 0-387-20860-7.
Kraitchik, M. (1945). "Na určitých racionálních kvádrech". Scripta Mathematica. 11: 317–326.
Roberts, Tim (2010). "Některá omezení týkající se existence dokonalého kvádru". Věstník australské matematické společnosti. 37: 29–31. ISSN 1326-2297.

[Sierpinski-1] A ^b ^C ^d ^E Wacław Sierpiński, Pythagorovy trojúhelníky, Dover Publications, 2003 (orig. Vyd. 1962).

[2] Vize nekonečna: Velké matematické problémy Autor: Ian Stewart, kapitola 17

[3] Weisstein, Eric W. „Eulerova cihla“. MathWorld.

[Sounderson-4] Knill, Oliver (24. února 2009). „Lov pokladů Perfektní Eulerovy cihly“ (PDF). Matematický stůl. Harvardská Univerzita.

[Matson-5] A ^b ^C Matson, Robert D. "Výsledky počítačového hledání dokonalého kvádru" (PDF). unsolvedproblems.org. Citováno 24. února 2020.

[6] M. Kraitchik, On certain Rational Cuboids, Scripta Mathematica, svazek 11 (1945).

[Korec-7] A ^b I. Korec, Dolní hranice pro Perfect Rational Cuboids, Math. Slovaca, 42 (1992), č. 5, s. 565-582.

[8] Ronald van Luijk, O dokonalých kvádrech, červen 2000

[9] Rathbun R. L., Granlund Т., Celočíselný kvádrový stůl s tělem, hranou a čelem typu řešení // Matematika. Comp., 1994, sv. 62, str. 441-442.

[10] Euler, Leonard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, Kayserliche Akademie der Wissenschaften, Petrohrad, 1771

[11] Euler, Leonard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, 2, Part II, 236, anglický překlad: Euler, Elements of Algebra, Springer-Verlag 1984

[12] „Problém 930“ (PDF)Řešení Crux Mathematicorum, 11 (5): 162–166, květen 1985

[13] Rathbun, Randall L. (16. listopadu 2018). "Celočíselný kvádrový stůl". arXiv:1705,05929v3 [math.NT ].

[14] Sawyer, Jorge F .; Reiter, Clifford A. (2011). "Dokonalé rovnoběžnostěny existují". Matematika výpočtu. 80 (274): 1037–1040. arXiv:0907.0220. doi:10.1090 / s0025-5718-2010-02400-7..

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]