Kvádrové dohady - Cuboid conjectures - Wikipedia

Bylo navrženo, aby tento článek byl sloučeny do Eulerova cihla. (Diskutujte) Navrhováno od října 2020.

Tři kvádrové dohady jsou tři matematický tvrzení propozic neredukovatelnost tří univariate polynomy s celé číslo koeficienty v závislosti na několika celočíselných parametrech. Nejsou prokázány ani vyvráceny.

První kvádrový dohad

Kvádrová domněnka 1. U dvou pozitivních coprime celá čísla ${ displaystyle displaystyle a neq u}$ polynom osmého stupně

${ displaystyle P_ {au} (t) = t ^ {8} +6 , (u ^ {2} -a ^ {2}) , t ^ {6} + (a ^ {4} -4 , a ^ {2} , u ^ {2} + u ^ {4}) , t ^ {4} -6 , a ^ {2} , u ^ {2} , (u ^ {2 } -a ^ {2}) , t ^ {2} + u ^ {4} , a ^ {4}}$

(1)

je neredukovatelný nad prsten celých čísel ${ displaystyle displaystyle mathbb {Z}}$.

Druhý dohad kvádr

Kvádrová domněnka 2. Pro libovolná dvě kladná celočíselná čísla ${ displaystyle displaystyle p neq q}$ polynom desátého stupně

${ displaystyle { begin {aligned} Q_ {pq} (t) = {} & t ^ {10} + (2q ^ {2} + p ^ {2}) (3q ^ {2} -2p ^ {2} ) t ^ {8} [4pt] & {} + (q ^ {8} + 10p ^ {2} q ^ {6} + 4p ^ {4} q ^ {4} -14p ^ {6} q ^ {2} + p ^ {8}) t ^ {6} [4pt] & {} - p ^ {2} q ^ {2} (q ^ {8} -14p ^ {2} q ^ { 6} + 4p ^ {4} q ^ {4} + 10p ^ {6} , q ^ {2} + p ^ {8}) t ^ {4} [4pt] & {} - p ^ { 6} , q ^ {6} , (q ^ {2} +2 , p ^ {2}) , (- 2 , q ^ {2} +3 , p ^ {2}) , t ^ {2} [4pt] & {} - q ^ {10} , p ^ {10} end {zarovnáno}}}$

(2)

je neredukovatelný přes kruh celých čísel ${ displaystyle displaystyle mathbb {Z}}$.

Třetí dohad o kvádru

Kvádrová domněnka 3. Pro libovolná tři kladná celočíselná čísla ${ displaystyle displaystyle a}$, ${ displaystyle displaystyle b}$, ${ displaystyle displaystyle u}$ tak, že žádná z podmínek

${ displaystyle { begin {pole} {lcr} { text {1)}} qquad a = b; qquad qquad & { text {3)}} qquad b , u = a ^ {2 }; qquad qquad & { text {5)}} qquad a = u; { text {2)}} qquad a = b = u; qquad qquad & { text {4) }} qquad a , u = b ^ {2}; qquad qquad & { text {6)}} qquad b = u end {pole}}}$

(3)

jsou splněny, polynom dvanáctého stupně

${ displaystyle { begin {aligned} P_ {abu} (t) = {} & t ^ {12} + (6u ^ {2} -2a ^ {2} -2b ^ {2}) t ^ {10} & {} + (u ^ {4} + b ^ {4} + a ^ {4} + 4a ^ {2} u ^ {2} + 4b ^ {2} u ^ {2} -12b ^ {2 } a ^ {2}) t ^ {8} & {} + (6a ^ {4} u ^ {2} + 6u ^ {2} b ^ {4} -8a ^ {2} b ^ {2 } u ^ {2} -2u ^ {4} a ^ {2} -2u ^ {4} b ^ {2} -2a ^ {4} b ^ {2} -2b ^ {4} a ^ {2} ) t ^ {6} & {} + (4u ^ {2} b ^ {4} a ^ {2} + 4a ^ {4} u ^ {2} b ^ {2} -12u ^ {4} a ^ {2} b ^ {2} + u ^ {4} a ^ {4} + u ^ {4} b ^ {4} + a ^ {4} b ^ {4}) t ^ {4} & {} + (6a ^ {4} u ^ {2} b ^ {4} -2u ^ {4} a ^ {4} b ^ {2} -2u ^ {4} a ^ {2} b ^ {4}) t ^ {2} + u ^ {4} a ^ {4} b ^ {4}. End {zarovnáno}}}$

(4)

je neredukovatelný přes kruh celých čísel ${ displaystyle displaystyle mathbb {Z}}$.

Pozadí

Dohady 1, 2 a 3 se vztahují k perfektní kvádr problém.^[1][2] Ačkoli nejsou ekvivalentní problému dokonalých kvádrů, jsou-li všechny tyto tři domněnky platné, neexistují žádné dokonalé kvádry.

Reference