Elektrokinematická věta - Electrokinematics theorem

tento článek vyžaduje pozornost odborníka na toto téma. Specifický problém je: Musí být integrováno do stávajícího pokrytí fyziky. Při umisťování této značky zvažte přidružení této žádosti s WikiProject. (Prosince 2014)

The elektrokinematická věta^[1][2][3] spojuje rychlost a nabít z dopravci pohyb uvnitř libovolného objemu k proudům, napětím a energii na jeho povrchu prostřednictvím libovolného irrotační vektor. Jelikož jako konkrétní aplikace obsahuje Ramo-Shockleyova věta,^[4][5] elektrokinematická věta je také známá jako Ramo-Shockly-Pellegriniho věta.

Prohlášení

Abychom představili elektrokinematickou větu, vyjmenujme nejprve několik definic: q_j, r_j a proti_j jsou elektrický náboj, poloha a rychlost v daném čase v čase t jnosič nákladu; ${ displaystyle A_ {0}}$, ${ displaystyle E = - nabla A_ {0}}$ a ${ displaystyle varepsilon}$ jsou elektrický potenciál, pole, a permitivita, respektive ${ displaystyle J_ {q}}$, ${ displaystyle J_ {d} = varepsilon částečné E / částečné t}$ a ${ displaystyle J = J_ {q} + J_ {d}}$ jsou vedení, posunutí a v „kvazi-elektrostatickém“ předpokladu celková hustota proudu; ${ displaystyle F = - nabla Phi}$ je libovolný irrotační vektor v libovolném objemu ${ displaystyle Omega}$ uzavřený povrchem S, s tím omezením ${ displaystyle nabla ( varepsilon F) = 0}$. Nyní se pojďme integrovat znovu ${ displaystyle Omega}$ skalární součin vektoru ${ displaystyle F}$ dvěma členy výše uvedené aktuální rovnice. Použitím věty o divergenci, vektorové identity ${ displaystyle a cdot nabla gamma = nabla cdot ( gamma a) - gamma nabla cdot a}$, výše uvedené omezení a skutečnost, že ${ displaystyle nabla cdot J = 0}$, získáme elektrokinematickou větu v první formě

${ displaystyle - int _ {S} Phi J cdot dS = int _ { Omega} J_ {q} cdot Fd ^ {3} r- int _ {S} varepsilon { frac { částečné A_ {0}} { částečné t}} F cdot dS}$ ,

který s přihlédnutím k korpuskulární povaze proudu ${ displaystyle J_ {q} = součet _ {j = 1} ^ {N (t)} q_ {j} delta (r-r_ {j}) v_ {j}}$, kde ${ displaystyle delta (r-r_ {j})}$ je Diracova delta funkce a N (t) je číslo dopravce v ${ displaystyle Omega}$ v době, kdy tse stává

${ displaystyle - int _ {S} Phi J cdot dS = sum _ {j = 1} ^ {N (t)} q_ {j} v_ {j} cdot F (r_ {j}) - int _ {S} varepsilon { frac { částečné A_ {0}} { částečné t}} F cdot dS}$ .

Součást ${ displaystyle A_ {Vk} [r, V_ {k} (t)] = V_ {k} (t) psi _ {k} (r)}$ celkového elektrického potenciálu ${ displaystyle A_ {0} = A_ {Vk} + A_ {qj}}$ je kvůli napětí ${ displaystyle V_ {k} (t)}$ aplikován na kzapnutá elektroda S, na kterých ${ displaystyle psi _ {k} (r) = 1}$ (a s dalšími okrajovými podmínkami ${ displaystyle psi _ {k} (r) = psi _ {k} ( infty) = 0}$ na ostatních elektrodách a pro ${ displaystyle r to infty}$) a každou komponentu ${ displaystyle A_ {qj} [r, r_ {j} (t)]}$ je kvůli jth poplatek dopravce q_j , bytost ${ displaystyle A_ {qj} [r, r_ {j} (t)] = 0}$ pro ${ displaystyle r}$ a ${ displaystyle r_ {j} (t)}$ přes jakoukoli elektrodu a pro ${ displaystyle r to infty}$. Navíc nechte povrch S uzavření svazku ${ displaystyle Omega}$ skládat se z části ${ displaystyle S_ {E} = součet _ {k = 1} ^ {n} S_ {k}}$ krytý n elektrody a nekrytá část ${ displaystyle S_ {R}}$.

Podle výše uvedených definic a okrajových podmínek a podle věta o superpozici, lze druhou rovnici rozdělit na příspěvky

${ displaystyle - int _ {S_ {E}} Phi J_ {q} cdot dS = součet _ {j = 1} ^ {N (t)} q_ {j} v_ {j} cdot F ( r_ {j}) + sum _ {j = 1} ^ {M (t)} int _ {S_ {R}} varepsilon ( Phi { frac { parciální E_ {j}} { parciální t }} - { frac { částečné A_ {qj}} { částečné t}} F) cdot dS}$ ,

${ displaystyle - int _ {S_ {E}} Phi J_ {V} cdot dS = sum _ {k = 1} ^ {n} int _ {S_ {R}} varepsilon Phi { frac { částečné E_ {k}} { částečné t}} cdot dS- sum _ {k = 1} ^ {n} int _ {S} varepsilon { frac { částečné A_ {Vk}} { částečné}} F cdot dS}$,

vzhledem k nosným a respektive k napětí elektrod, ${ displaystyle M (t)}$ je celkový počet dopravců ve vesmíru, uvnitř i venku ${ displaystyle Omega}$, v čase t, ${ displaystyle E_ {j} = - nabla A_ {qj}}$ a ${ displaystyle E_ {k} = - nabla A_ {Vk}}$. Integrály výše uvedených rovnic zohledňují posunovací proud, zejména napříč ${ displaystyle S_ {R}}$.

Proud a kapacita

Jednou ze smysluplnějších aplikací výše uvedených rovnic je výpočet proudu

${ displaystyle i_ {h} equiv - int _ {S_ {h}} J cdot dS = i_ {qh} + i_ {Vh}}$ ,

přes htřetí sledovaná elektroda odpovídající povrchu ${ displaystyle S_ {h}}$, ${ displaystyle i_ {qh}}$ a ${ displaystyle i_ {Vh}}$ je proud způsobený nosnými a napětími elektrod, který se počítá prostřednictvím třetí a čtvrté rovnice.

Otevřete zařízení

Zvažte jako první příklad případ povrchu S která není zcela pokryta elektrodami, tj. ${ displaystyle S_ {R} neq 0}$a nechme si vybrat Dirichletovy okrajové podmínky ${ displaystyle Phi = Phi _ {h} = 1}$ na hsledovaná elektroda a ${ displaystyle Phi _ {h} = 0}$ na ostatních elektrodách, takže z výše uvedených rovnic máme

${ displaystyle i_ {qh} = součet _ {j = 1} ^ {N (t)} q_ {j} v_ {j} cdot F_ {h} (r_ {j}) + součet _ {j = 1} ^ {M (t)} int _ {S_ {R}} varepsilon ( Phi _ {h} { frac { částečné E_ {j}} { částečné t}} - { frac { částečné A_ {qj}} { částečné t}} F_ {h}) cdot dS =}$

${ displaystyle i_ {dh} = součet _ {k = 1} ^ {n} C_ {hk} { frac {dV_ {k}} {dt}}}$ ,

kde ${ displaystyle F = F_ {h} (r_ {j})}$ je relativní k výše uvedeným okrajovým podmínkám a ${ displaystyle C_ {hk}}$ je kapacitní koeficient hdaná elektroda

${ displaystyle C_ {hk} = - ( int _ {S_ {k}} varepsilon F_ {h} cdot dS + int _ {S_ {R}} varepsilon ( Phi _ {h} nabla psi _ {k} + psi _ {k} F_ {h}) cdot dS)}$ .

${ displaystyle V_ {h}}$ je rozdíl napětí mezi hta elektroda a elektroda udržovaná na konstantním napětí (DC), například přímo připojená k zemi nebo prostřednictvím zdroje stejnosměrného napětí. Výše uvedené rovnice platí pro výše uvedené Dirichletovy podmínky pro ${ displaystyle Phi _ {h}}$ a pro jakoukoli jinou volbu okrajových podmínek dne ${ displaystyle S_ {R}}$.

Druhým případem může být případ ${ displaystyle Phi _ {h} = 0}$ také na ${ displaystyle S_ {R}}$ aby se takové rovnice zmenšily na

${ displaystyle i_ {qh} = součet _ {j = 1} ^ {N (t)} q_ {j} v_ {j} cdot F_ {h} (r_ {j}) - součet _ {j = 1} ^ {M (t)} int _ {S_ {R}} varepsilon { frac { částečné A_ {0j}} { částečné t}} F_ {h} cdot dS}$ ,

${ displaystyle C_ {hk} = - ( int _ {S_ {k}} varepsilon F_ {h} cdot dS + int _ {S_ {R}} varepsilon Psi _ {k} F_ {h} cdot dS)}$ .

Jako třetí případ využívající také svévole ${ displaystyle S_ {R}}$ , můžeme si vybrat a Neumannova okrajová podmínka z ${ displaystyle F_ {h}}$ tečna k ${ displaystyle S_ {R}}$ v každém bodě. Pak se stanou rovnice

${ displaystyle i_ {qh} = součet _ {j = 1} ^ {N (t)} q_ {j} v_ {j} cdot F_ {h} (r_ {j}) - součet _ {j = 1} ^ {M (t)} int _ {S_ {R}} varepsilon Phi _ {h} { frac { parciální E_ {j}} { parciální t}} cdot dS}$ ,

${ displaystyle C_ {hk} = - ( int _ {S_ {k}} varepsilon F_ {h} cdot dS + int _ {S_ {R}} varepsilon nabla Psi _ {h} cdot dS )}$ .

Zejména je tento případ užitečný, když je zařízení pravoúhlý rovnoběžnostěn ${ displaystyle S_ {R}}$ a ${ displaystyle S_ {E}}$ boční plocha a základny.

Jako čtvrtou aplikaci předpokládejme ${ displaystyle Phi = 1}$ v celém objemu ${ displaystyle Omega}$, tj., ${ displaystyle F = 0}$ v tom, takže z první rovnice části 1 máme

${ displaystyle sum _ {h = 1} ^ {n} i_ {h} - int _ {S_ {R}} varepsilon ( sum _ {j = 1} ^ {M (t)} { frac { částečné E_ {j}} { částečné t}} + součet _ {k = 1} ^ {n} { frac { částečné E_ {k}} { částečné t}}) cdot dS = 0 }$ ,

které obnovují Kirchhoffův zákon se zahrnutím posunovacího proudu přes povrch ${ displaystyle S_ {R}}$ která není pokryta elektrodami.

Uzavřená zařízení

Pátým případem, historicky významným, je případ elektrod, které zcela uzavírají objem ${ displaystyle Omega}$ zařízení, tj. ${ displaystyle S_ {R} = 0}$ . Ve skutečnosti opět zvolíme Dirichletovy okrajové podmínky ${ displaystyle Phi _ {h} = 1}$ na ${ displaystyle S_ {h}}$ a ${ displaystyle Phi _ {h} = 0}$ na ostatních elektrodách z rovnic pro otevřené zařízení dostaneme vztahy

${ displaystyle i_ {h} = součet _ {j = 1} ^ {N (t)} q_ {j} v_ {j} cdot F_ {h} (r_ {j}) + součet _ {k = 1} ^ {n} C_ {hk} { frac {dV_ {h}} {dt}}}$ ,

s

${ displaystyle C_ {hk} = - int _ {S_ {k}} varepsilon F_ {h} cdot dS}$ ,

čímž se získá Ramo-Shocklyova věta jako konkrétní aplikace elektrokinematické věty, rozšířené z vakuových zařízení na jakoukoli elektrickou součást a materiál.

Jak výše uvedené vztahy platí i tehdy ${ displaystyle F (t)}$ záleží na čase, můžeme mít šedesát aplikací, pokud vybereme jako ${ displaystyle F = F_ {V} = - součet _ {k = 1} ^ {n} V_ {k} (t) nabla psi _ {k} (r)}$ elektrické pole generované napětím elektrod, když není nabitý ${ displaystyle Omega}$. Skutečně, protože první rovnici lze napsat ve formě

${ displaystyle - int _ {S} Phi J cdot dS = int _ { Omega} J cdot Fd ^ {3} r}$ ,

ze kterého máme

${ displaystyle sum _ {h = 1} ^ {n} V_ {h} i_ {h} = int _ { Omega} J cdot F_ {V} d ^ {3} r equiv W}$,

kde ${ displaystyle W}$ odpovídá výkonu vstupujícímu do zařízení ${ displaystyle Omega}$ přes elektrody (obklopující ji). Na druhé straně

${ displaystyle int _ { Omega} (E cdot J_ {q} + E cdot { frac { varepsilon částečné E} { částečné t}}) d ^ {3} r = int _ { Omega} E cdot Jd ^ {3} r equiv { frac {d Xi} {dt}}}$ ,

dává přírůstek vnitřní energie ${ displaystyle Xi}$ v ${ displaystyle Omega}$ za jednotku času ${ displaystyle E = F_ {V} + E_ {q}}$ což je celkové elektrické pole ${ displaystyle F_ {V}}$ je způsoben elektrodami a ${ displaystyle E_ {q} = - nabla psi _ {q} (r, t)}$ je kvůli celé hustotě náboje v ${ displaystyle Omega}$ s ${ displaystyle psi _ {q} (r, t) = 0}$ přes S. Tak to je ${ displaystyle int _ { Omega} E_ {q} cdot Jd ^ {3} r = 0}$, abychom podle těchto rovnic ověřili také energetickou bilanci ${ displaystyle W = d Xi / dt}$ pomocí věty o elektrokinematice. S výše uvedenými vztahy lze rovnováhu rozšířit také na otevřená zařízení s přihlédnutím k posunovacímu proudu napříč ${ displaystyle S_ {R}}$.

Výkyvy

Smysluplným uplatněním výše uvedených výsledků je také výpočet fluktuací proudu ${ displaystyle i_ {h} = i_ {qh}}$ když je napětí elektrod konstantní, protože je to užitečné pro vyhodnocení zařízení hluk. Za tímto účelem můžeme využít první rovnici řezu Otevřete zařízení, protože se týká obecnějšího případu otevřeného zařízení a lze jej omezit na jednodušší vztah. To se děje pro frekvence ${ displaystyle f = omega / (2 pi) ll 1 / (2 pi t_ {j})}$, (${ displaystyle t_ {j}}$ je tranzitní čas jth nosná přes zařízení), protože v čase integrál výše uvedené rovnice Fourierova transformace má být provedeno pro výpočet výkonová spektrální hustota (PSD) hluku, časové deriváty nepřispívají. Ve skutečnosti, podle Fourierovy transformace, je tento výsledek odvozen od integrálů, jako jsou ${ displaystyle int _ {0} ^ {t_ {j}} exp (-j omega t) ( částečné Q / částečné t) dt přibližně Q (t_ {j}) - Q (0)}$ , ve kterém ${ displaystyle Q (t_ {j}) = Q (0) = 0}$. Proto můžeme pro výpočet PSD využít vztahů

${ displaystyle i_ {qh} = součet _ {j = 1} ^ {N (t)} q_ {j} v_ {j} cdot F_ {h} (r_ {j}) = - součet _ {j = 1} ^ {N (t)} q_ {j} { frac {d Phi _ {h} [r_ {j} (t)]} {dt}} = int _ { Omega} J_ {q } cdot Fd ^ {3} r}$

Navíc, jak je možné ukázat,^[6] to se děje také pro ${ Displaystyle f gg 1 / (2 pi t_ {j})}$, například když jtento nosič je uložen po dlouhou dobu ${ displaystyle tau _ {j}}$ v pasti, pokud je délka stínění způsobená jinými nosiči ve srovnání s ${ displaystyle Omega}$ velikost. Všechny výše uvedené úvahy platí pro jakoukoli velikost ${ displaystyle Omega}$Zejména máme smysluplný případ, kdy je zařízení pravým rovnoběžnostěnem nebo válcem s ${ displaystyle S_ {R}}$ jako boční povrch a u jako jednotkový vektor podél své osy se základnami ${ displaystyle S_ {E1}}$ a ${ displaystyle S_ {E2}}$ nachází se na dálku L jako elektrody as ${ displaystyle S_ {E1} rightarrow u rightarrow S_ {E2}}$. Opravdu, výběr ${ displaystyle F_ {h} = F = -u / L}$, z výše uvedené rovnice konečně získáme proud ${ displaystyle i = i_ {1} = i_ {q1} = - i_ {2}}$,

${ displaystyle i = { frac {1} {L}} součet _ {j = 1} ^ {N (t)} q_ {j} v_ {ju} = { frac {1} {L}} int _ { Omega} J_ {qu} d ^ {3} r}$ ,

kde ${ displaystyle v_ {ju}}$ a ${ displaystyle J_ {qu}}$ jsou komponenty ${ displaystyle v}$ a ${ displaystyle J_ {q}}$ podél ${ displaystyle u}$. Výše uvedené rovnice ve své korpuskulární formě jsou zvláště vhodné pro zkoumání transportních a hlukových jevů z mikroskopického hlediska s využitím analytických přístupů i numerických statistických metod, jako je Techniky Monte Carlo. Na druhé straně jsou v kolektivní formě posledních termínů užitečné spojit s obecnou a novou metodou lokální variace spojitých veličin s kolísáním proudu na svorkách zařízení. To se zobrazí v následujících částech.

Hluk

Hluk výstřelu

Pojďme nejprve vyhodnotit PSD ${ displaystyle S_ {S}}$ z hluk výstřelu proudu ${ displaystyle i = i_ {qh}}$ pro zkratované svorky zařízení, tj. když ${ displaystyle V_ {h}}$Jsou konstantní použitím třetího člena první rovnice výše uvedené části. Za tímto účelem využijme Fourierův koeficient

${ displaystyle D ( omega _ {l}) equiv { frac {1} {T ^ {'}}} int _ {- T ^ {'} / 2} ^ {T ^ {'} / 2 } Delta i (t) exp (-j omega _ {l} t) dt}$

a vztah

${ displaystyle S_ {S} ( omega _ {l}) equiv lim _ { Delta f až 0} { frac { left langle D ( omega _ {l}) D ^ {*} ( omega _ {l}) right rangle} { Delta f}} = lim _ {T ^ {'} to infty} (2T ^ {'} left langle D ( omega _ { l}) D ^ {*} ( omega _ {l}) pravý rangle)}$

kde ${ displaystyle omega _ {l} = l (2 pi / T ^ {'})}$, ${ displaystyle l = ..., - 2, -1,1,2, ...}$ ve druhém volebním období a ${ displaystyle l = 1,2, ...}$ ve třetím. Pokud definujeme pomocí ${ displaystyle t_ {bj}}$ a ${ displaystyle (t_ {bj} + t_ {j})}$ začátek a konec j-tého nosného pohybu uvnitř ${ displaystyle Omega}$, máme buď ${ displaystyle Phi _ {h} [r_ {j} (t_ {bj})] = 1}$ a ${ displaystyle Phi _ {h} [r_ {j} (t_ {bj} + t_ {j})] = 0}$ nebo naopak (případ ${ displaystyle Phi _ {h} [r_ {j} (t_ {bj})] = Phi _ {h} [r_ {j} (t_ {bj} + t_ {j})]}$ neposkytují žádný příspěvek), takže z prvních rovnic výše a v této části dostaneme

${ displaystyle D ( omega _ {l}) equiv { frac {q} {T ^ {'}}} ( Delta N ^ {+} - Delta N ^ {-})}$ ,

kde ${ displaystyle N ^ {+} (N ^ {-})}$ je počet dopravců (se stejným poplatkem q), které začínají od (dorazí) sledované elektrody během časového intervalu ${ displaystyle -T ^ {'} / 2, T ^ {'} / 2}$. Konečně pro ${ displaystyle tau _ {c} ll t_ {jmin}}$, ${ displaystyle tau _ {c}}$ jako korelační čas a pro nosiče s pohybem, který je statisticky nezávislý a Poissonův proces my máme ${ displaystyle left langle Delta N ^ {+} Delta N ^ {-} right rangle = 0}$, ${ displaystyle left langle Delta N ^ {+} Delta N ^ {+} right rangle = left langle N ^ {+} right rangle}$ a ${ displaystyle left langle Delta N ^ {-} Delta N ^ {-} right rangle = left langle N ^ {-} right rangle}$ abychom získali

${ displaystyle S_ {S} = 2q (I ^ {+} + I ^ {-})}$ ,

kde ${ displaystyle I ^ {+} (I ^ {-})}$ je průměrný proud v důsledku toho, že nosiče opouštějí (dosahují) elektrodu. Proto jsme obnovit a rozšířit Schottkyho věta^[7] na hluk výstřelu. Například pro ideální pn křižovatku, nebo Schottkyho bariérová dioda, to je ${ displaystyle I ^ {+} = I_ {0} exp (qv / k_ {B} T)}$, ${ displaystyle I ^ {-} = I_ {0}}$, kde ${ displaystyle k_ {B}}$ je Boltzmannova konstanta, T absolutní teplota, proti napětí a ${ displaystyle I = I ^ {+} - I ^ {-}}$ celkový proud. Zejména pro ${ displaystyle v = 0}$ vodivost se stává ${ displaystyle g = (dI / dv) = qI_ {0} / (k_ {B} T)}$ a výše uvedená rovnice dává

${ displaystyle S_ {S} = 4k_ {B} Tg}$ ,

to je tepelný hluk při tepelné rovnováze daný parametrem Nyquistova věta.^[8]Pokud jsou nosné pohyby korelovány, musí být výše uvedená rovnice změněna do formy (pro ${ displaystyle I ^ {+} gg I ^ {-}}$)

${ displaystyle S_ {S} = F_ {a} (2qI)}$ ,

kde ${ displaystyle F_ {a}}$ je tzv Fano faktor to může být jak méně než 1 (například v případě generace nosiče-rekombinace v nonideal pn křižovatky^[9]) a větší než 1 (jako v oblasti záporné rezistence rezonanční tunelové diody v důsledku zesílení interakce elektron-elektron konkrétním tvarem hustoty stavů v jamce.^[2][10])

Tepelný šum

Z korpuskulárního hlediska ještě jednou vyhodnotíme tepelný hluk s funkcí autokorelace ${ Displaystyle left langle i (t) i (t + theta) right rangle}$ z ${ Displaystyle i (t)}$ pomocí druhého členu druhé rovnice sekce Výkyvy, to pro zkratový stav ${ displaystyle V_ {1} = V_ {2} = 0}$ (tj. při tepelné rovnováze), což znamená ${ displaystyle N (t) = { overline {N}}}$se stává

${ displaystyle left langle i (t) i (t + theta) right rangle = { frac {q ^ {2}} {L ^ {2}}} sum _ {j = 1} ^ { overline {N}} left langle v_ {ju} ^ {2} (t) right rangle _ {t} exp (- left | theta right | / tau _ {c}) = { frac {q ^ {2} { overline {N}} k_ {B} T} {L ^ {2} m}} exp (- left | theta right | / tau _ {c}) }$ ,

kde m je účinná hmotnost nosiče a ${ displaystyle tau _ {c} ll tau _ {jmin}}$. Tak jako ${ displaystyle mu = q tau _ {c} / [m (1 + j omega)]}$ a ${ displaystyle G = q mu { overline {N}} / L ^ {2}}$ jsou pohyblivost nosiče a vodivost zařízení z výše uvedené rovnice a Wiener-Khintchineova věta^[11][12] získáme výsledek

${ displaystyle S_ {T} = 4k_ {B} T Re {G (j omega) }}$ ,

získané Nyquistem z druhý princip termodynamiky, tj. pomocí makroskopického přístupu.^[8]

Generační-rekombinační (g-r) šum

Významný příklad použití makroskopického hlediska vyjádřeného třetím členem druhé rovnice řezu Výkyvy je reprezentován hlukem g-r generovaným procesy zachycení-zachycení nosné v defektech zařízení. V případě konstantního napětí a hustoty driftového proudu ${ displaystyle J_ {qu} = q mu n_ {q} E, (E equiv E_ {u})}$, tj. zanedbáním výše uvedených kolísání rychlosti tepelného původu, z uvedené rovnice dostaneme

${ displaystyle i = { frac {1} {L}} int _ { Omega} q mu n_ {q} Ed ^ {3} r}$ ,

ve kterém ${ displaystyle n_ {q}}$ je hustota nosiče a jeho ustálená hodnota je ${ displaystyle { overline {i}} equiv I = q mu n_ {q} EA}$, ${ displaystyle A}$ je plocha průřezu zařízení; dále používáme stejné symboly jak pro průměrovaný čas, tak pro okamžité veličiny. Pojďme nejprve vyhodnotit výkyvy proudu i, že z výše uvedené rovnice jsou

${ displaystyle { frac { Delta i} {I}} = { frac {1} { Omega}} ({ frac {1} {n_ {q}}} int _ { Omega} Delta n_ {q} d ^ {3} r + { frac {1} {E}} int _ { Omega} Delta Ed ^ {3} r + { frac {1} { mu}} int _ { Omega} Delta mu d ^ {3} r)}$ ,

kde pouze fluktuační podmínky jsou časově závislé. Kolísání pohyblivosti může být způsobeno pohybem nebo změnou stavu vad, které zde zanedbáváme. Proto připisujeme původ šumu g-r procesům odchytu a odchytu, které k tomu přispívají ${ displaystyle Delta i}$ prostřednictvím dalších dvou termínů prostřednictvím fluktuace elektronového čísla ${ displaystyle chi = 0,1}$ v energetické úrovni ${ displaystyle varepsilon _ {t}}$ jedné pasti v kanálu nebo v jeho sousedství. Ve skutečnosti kolísání poplatků ${ displaystyle q Delta chi}$ v pasti generuje variace ${ displaystyle n_ {q}}$ a ze dne ${ displaystyle E}$. Variace však ${ displaystyle Delta E}$ nepřispívá k ${ displaystyle Delta i}$ protože to je v u směr, abychom se dostali

${ displaystyle { frac { Delta i} {I}} = { frac {1} { Omega n_ {q}}} int _ { Omega} Delta n_ {q} d ^ {3} r }$ ,

ze kterého získáváme

${ displaystyle { frac { Delta i} {I}} = { frac {1} { Omega n_ {q}}} int _ { delta Omega} Delta n_ {q} reklama ^ {3 } r = - { frac {1} { Omega n_ {q}}} Delta chi}$ ,

kde snížení integračního objemu z ${ displaystyle Omega}$ na mnohem menší ${ displaystyle delta Omega}$ kolem vady je odůvodněno skutečností, že účinky ${ displaystyle Delta n_ {q}}$ a ${ displaystyle Delta E}$ mizí během několika násobků délky promítání, která může být malá (řádově v nanometrech^[7] v grafen^[11]); z Gaussova věta, získáváme také ${ displaystyle int _ { delta Omega} Delta n_ {q} d ^ {3} r = - Delta chi}$ a r.h.s. rovnice. V tom variace ${ displaystyle Delta chi}$ dochází kolem průměrné hodnoty ${ displaystyle { overline { chi}}}$ dané faktorem Fermi-Dirac ${ displaystyle { overline { chi}} equiv phi = {[1+ exp [( varepsilon _ {t} - varepsilon _ {f}) / k_ {B} T] } ^ { -1}}$, ${ displaystyle varepsilon _ {f}}$ být Fermiho úroveň. PSD ${ displaystyle S_ {t}}$ fluktuace ${ displaystyle Delta i}$ díky jediné pasti se pak stane ${ displaystyle S_ {t} / I ^ {2} = [1 / ( Omega n_ {q})] ^ {2} S _ { chi}}$, kde ${ displaystyle S _ { chi} = 4 phi (1- phi) tau / [1 + ( omega tau) ^ {2}]}$ je Lorentzian PSD náhodného telegrafního signálu ${ displaystyle chi}$^[13] a ${ displaystyle tau}$ je doba relaxace pasti. Proto pro hustotu ${ displaystyle n_ {t}}$ stejných a nesouvisejících vad máme celkovou PSD ${ displaystyle S_ {gr}}$ g-r hluku daného

${ displaystyle S_ {gr} = { frac {4I ^ {2} n_ {t} phi (1- phi) tau} { Omega n_ {q} ^ {2} [1 + ( omega tau) ^ {2}]}}}$ .

Blikání

Pokud vady nejsou stejné, pro jakékoli rozdělení ${ displaystyle tau}$ (s výjimkou prudce vyvrcholeného, ​​jako ve výše uvedeném případě g-r hluku), a dokonce i pro velmi malý počet pastí s velkými ${ displaystyle tau}$, celkový PSD ${ displaystyle S_ {f}}$ z i, což odpovídá součtu PSD ${ displaystyle S_ {t}}$ ze všech ${ displaystyle n_ {t} Omega}$ (statisticky nezávislé) pasti zařízení^[14]

${ displaystyle S_ {f} = { frac {n_ {t} B} { Omega n_ {q} ^ {2}}} { frac {I ^ {2}} {f ^ { gamma}}} }$ ,

kde ${ Displaystyle 0,85 < gama <1,15}$ až na frekvenci ${ displaystyle 1/2 pi tau _ {M}}$, ${ displaystyle tau _ {M}}$ být největší ${ displaystyle tau}$ a ${ displaystyle B ( varepsilon _ {f} / k_ {B} T)}$ správný koeficient. Zejména pro unipolární vodivé materiály (např. Pro elektrony jako nosiče) to může být ${ displaystyle n_ {q} propto exp ( varepsilon _ {f} / k_ {B} T)}$ a pro úrovně energie pasti ${ displaystyle varepsilon _ {t}> varepsilon _ {f}}$, z ${ displaystyle S _ { chi} propto phi = exp ( varepsilon _ {f} / k_ {B} T)}$ také máme ${ displaystyle B ( varepsilon _ {f} / k_ {B} T) propto exp ( varepsilon _ {f} / k_ {B} T)}$, takže z výše uvedené rovnice získáme,^[6]

${ displaystyle S_ {f} = { frac { alpha I ^ {2}} {N_ {q} f ^ { gamma}}}}$ ,

kde ${ displaystyle N_ {q}}$ je celkový počet dopravců a ${ displaystyle alpha}$ je parametr, který závisí na materiálu, struktuře a technologii zařízení.

Rozšíření

Elektromagnetické pole

Zobrazená elektrokinetická věta platí v „kvazi elektrostatickém“ stavu, tj. Když lze zanedbávat vektorový potenciál, nebo jinými slovy, když je čtvercová maximální velikost ${ displaystyle omega}$ je mnohem menší než čtvercová minimální vlnová délka elektromagnetického pole v zařízení. Lze jej však rozšířit na elektromagnetické pole v obecné podobě.^[2] V tomto obecném případě pomocí posunovacího proudu po povrchu ${ displaystyle S_ {R}}$ je možné například vyhodnotit vyzařování elektromagnetického pole z antény. Platí to i v případě, že elektrická permitivita a magnetická permeabilita závisí na frekvenci. Navíc pole ${ displaystyle F (r, t) = - nabla Phi}$ jiné než elektrické pole v „kvazi elektrostatických“ podmínkách může být jakékoli jiné fyzikální irrotační pole.

Kvantová mechanika

A konečně, elektrokinetická věta platí v limitu klasické mechaniky, protože vyžaduje simultánní znalost polohy a rychlosti nosné, tj. V důsledku princip nejistoty, když je jeho vlnová funkce v podstatě nenulová v objemu menším než u zařízení. Takovou hranici lze však překonat výpočtem hustoty proudu podle kvantově mechanického vyjádření.^[2][3]

Poznámky

• Bruno Pellegrini je prvním absolventem elektronického inženýrství na univerzitě v Pise, kde je v současné době emeritním profesorem. Je také autorem věta o cut-inzerci, což je základ nové teorie zpětné vazby pro lineární obvody.

Reference

Viz také

• Maxwellovy rovnice
• Transportní jevy