Věta o řezu a vložení - Cut-insertion theorem

The Věta o řezu a vložení, také známý jako Pellegriniho věta,^[1] je věta o lineární síti, která umožňuje transformaci generické sítě N na jinou síť N ', což usnadňuje analýzu a pro které jsou hlavní vlastnosti zřetelnější.

Prohlášení

Obecná lineární síť N.

Ekvivalentní lineární síť N '.

Realizace třívodičového obvodu pomocí nezávislého zdroje W_r a imitance X_str.

Nechat E, h, u, w, q = q ', a t = t ' být šest libovolných uzlů sítě N a ${ displaystyle S}$ být nezávislým zdrojem napětí nebo proudu připojeným mezi E a h, zatímco ${ displaystyle U}$ je výstupní veličina, buď napětí nebo proud, ve vztahu k větvi s imitance ${ displaystyle X_ {u}}$ , spojeno mezi u a w. Pojďme nyní snížit qq ' připojení a mezi tři uzly vložte třívodičový obvod („TTC“) q a q ' a uzel t = t ' , jako na obrázku b ( ${ displaystyle W_ {r}}$ a ${ displaystyle W_ {p}}$ jsou homogenní veličiny, napětí nebo proudy vzhledem k portům qt a q'q't ' TTC).

Aby byly dvě sítě N a N 'ekvivalentní pro jakoukoli ${ displaystyle S}$ , dvě omezení ${ displaystyle W_ {r} = W_ {p}}$ a ${ displaystyle { bar {W_ {r}}} = { bar {W_ {p}}}}$ , kde nadměrná čára označuje dvojí množství, je třeba splnit.

Výše uvedený tříkoncový obvod lze realizovat například připojením ideálního nezávislého zdroje napětí nebo proudu ${ displaystyle W_ {p}}$ mezi q ' a t ' a imitance ${ displaystyle X_ {p}}$ mezi q a t.

Síťové funkce

S odkazem na síť N 'následující síťové funkce lze definovat:

${ displaystyle A equiv { frac {U} {W_ {p}}} | _ {S = 0} ! ,}$ ; ${ displaystyle beta equiv { frac {W_ {r}} {U}} | _ {S = 0} ! ,}$ ; ${ displaystyle X_ {i} equiv { frac {W_ {p}} { bar {W_ {p}}}} | _ {S = 0} ! ,}$

${ displaystyle gamma equiv { frac {U} {S}} | _ {W_ {p} = 0} ! ,}$ ; ${ displaystyle alpha equiv { frac {W_ {r}} {S}} | _ {W_ {p} = 0} ! ,}$ ; ${ displaystyle rho equiv { frac { bar {W_ {p}}} {S}} | _ {W_ {p} = 0} ! ,}$

ze kterého, využívající Věta o superpozici, získáváme:

${ displaystyle W_ {r} = alpha S + beta AW_ {p}}$

${ displaystyle { bar {W_ {p}}} = rho S + { frac {W_ {p}} {X_ {i}}}}$ .

První omezení ekvivalence sítí je tedy splněno, pokud ${ displaystyle W_ {p} = { frac { alpha} {1- beta A}} S}$ .

Dále

${ displaystyle { bar {W_ {r}}} = { frac {W_ {r}} {X_ {p}}}}$

${ displaystyle { bar {W_ {p}}} = left ({ frac {1} {X_ {i}}} + { frac { rho} { alpha}} (1- beta A) right) W_ {r}}$

proto platí druhé omezení ekvivalence sítí, pokud ${ displaystyle { frac {1} {X_ {p}}} = { frac {1} {X_ {i}}} + { frac { rho} { alpha}} (1- beta A) }$ ^[2]

Funkce přenosu

Pokud vezmeme v úvahu výrazy pro síťové funkce ${ displaystyle gamma}$ a ${ displaystyle A}$ , první omezení ekvivalence sítí, a také se domníváme, že v důsledku principu superpozice ${ displaystyle U = gamma S + AW_ {p}}$ , funkce přenosu ${ displaystyle A_ {f} equiv { frac {U} {S}}}$ darováno

${ displaystyle A_ {f} = { frac { alfa A} {1- beta A}} + gamma}$ .

Pro konkrétní případ a zpětnovazební zesilovač, síťové funkce ${ displaystyle alpha}$ , ${ displaystyle gamma}$ a ${ displaystyle rho}$ vzít v úvahu nonideality takového zesilovače. Zejména:

${ displaystyle alpha}$ bere v úvahu nonidealitu srovnávací sítě na vstupu
${ displaystyle gamma}$ bere v úvahu ne jednosměrnost řetězce zpětné vazby
${ displaystyle rho}$ bere v úvahu ne jednosměrnost amplifikačního řetězce.

Pokud lze zesilovač považovat za ideální, tj. Pokud ${ displaystyle alpha = 1}$ , ${ displaystyle rho = 0}$ a ${ displaystyle gamma = 0}$ , přenosová funkce se redukuje na známý výraz odvozený z klasické teorie zpětné vazby:

${ displaystyle A_ {f} = { frac {A} {1- beta A}}}$ .

Vyhodnocení impedance a tolerance mezi dvěma uzly

Hodnocení impedance (nebo vstup ) mezi dvěma uzly je poněkud jednodušší věta cut-insertion.

Impedance

Cut pro vyhodnocení impedance mezi uzly k = h a j = e = q.

Vložme obecný zdroj ${ displaystyle S}$ mezi uzly j = e = q a k = h mezi kterými chceme vyhodnotit impedanci ${ displaystyle Z}$ . Provedením řezu, jak je znázorněno na obrázku, si všimneme, že imitance ${ displaystyle X_ {p}}$ je v sérii s ${ displaystyle S}$ a proud skrz něj je tedy stejný jako proud poskytovaný ${ displaystyle S}$ . Pokud zvolíme zdroj vstupního napětí ${ displaystyle V_ {s} = S}$ a v důsledku toho proud ${ displaystyle I_ {s} = { bar {S}}}$ a impedance ${ displaystyle Z_ {p} = X_ {p}}$ , můžeme napsat následující vztahy:

${ displaystyle Z = { frac {V_ {s}} {I_ {s}}} = { frac {V_ {s}} {I_ {r}}} = Z_ {p} { frac {V_ {s }} {V_ {r}}} = Z_ {p} { frac {V_ {s}} {V_ {p}}} = Z_ {p} { frac {1- beta A} { alpha}} }$ .

Vezmeme-li v úvahu, že ${ displaystyle alpha = { frac {V_ {r}} {V_ {s}}} | _ {V_ {p} = 0} = { frac {Z_ {p}} {Z_ {p} + Z_ { b}}}}$ , kde ${ displaystyle Z_ {b}}$ je impedance mezi uzly k = h a t pokud je odstraněn ${ displaystyle Z_ {p}}$ a zkratujeme zdroje napětí, získáme impedanci ${ displaystyle Z}$ mezi uzly j a k ve formě:

${ displaystyle Z = left (Z_ {p} + Z_ {b} right) left (1- beta A right)}$

Vstup

Cut pro vyhodnocení impedance mezi uzly k = h = t a j = e = q.

Postupujeme analogicky k případu impedance, ale tentokrát bude řez proveden tak, jak je znázorněno na obrázku vpravo, přičemž si všimneme, že ${ displaystyle S}$ je nyní paralelně s ${ displaystyle X_ {p}}$ . Pokud vezmeme v úvahu zdroj vstupního proudu ${ displaystyle I_ {s} = S}$ (ve výsledku máme napětí ${ displaystyle V_ {s} = { bar {S}}}$ ) a přijetí ${ displaystyle Y_ {p} = X_ {p}}$ , přijetí ${ displaystyle Y}$ mezi uzly j a k lze vypočítat takto:

${ displaystyle Y = { frac {I_ {s}} {V_ {s}}} = { frac {I_ {s}} {V_ {r}}} = Y_ {p} { frac {I_ {s }} {I_ {r}}} = Y_ {p} { frac {I_ {s}} {I_ {p}}} = Y_ {p} { frac {1- beta A} { alpha}} }$ .

Vezmeme-li v úvahu, že ${ displaystyle alpha = { frac {I_ {r}} {I_ {s}}} | _ {I_ {p} = 0} = { frac {Y_ {p}} {Y_ {p} + Y_ { b}}}}$ , kde ${ displaystyle Y_ {b}}$ je vstup mezi uzly k = h a t pokud odstraníme ${ displaystyle Y_ {p}}$ a otevřete aktuální zdroje, získáme vstup ${ displaystyle Y}$ ve formě:

${ displaystyle Y = left (Y_ {p} + Y_ {b} right) left (1- beta A right)}$

Komentáře

Realizace třívodičového obvodu pomocí nezávislého zdroje

{ displaystyle W_ {p}}

a závislý zdroj

{ displaystyle { bar {W_ {p}}}}

.

Implementace TTC s nezávislým zdrojem ${ displaystyle W_ {p}}$ a imitance ${ displaystyle X_ {p}}$ je užitečné a intuitivní pro výpočet impedance mezi dvěma uzly, ale zahrnuje, stejně jako v případě ostatních síťových funkcí, obtížnost výpočtu ${ displaystyle X_ {p}}$ z rovnice ekvivalence. Takovým obtížím se lze vyhnout použitím závislého zdroje ${ displaystyle { bar {W_ {p}}}}$ namísto ${ displaystyle X_ {p}}$ a pomocí Blackmanova vzorce^[3] pro hodnocení ${ displaystyle X}$ . Taková implementace TTC umožňuje najít topologii zpětné vazby i v síti sestávající ze zdroje napětí a dvou impedancí v sérii.

Poznámky

^ Bruno Pellegrini byl prvním absolventem elektronického inženýrství na Univerzita v Pise kde je v současné době emeritní profesor. Je také autorem Elektrokinematická věta, který spojuje rychlost a náboj nosičů pohybujících se uvnitř libovolného objemu s proudy, napětí a energií na jeho povrchu prostřednictvím libovolného irrotačního vektoru.
^ Všimněte si, že pro hodnocení X_str potřebujeme síťové funkce, které zase závisí na X_str. Chcete-li pokračovat ve výpočtech, je proto vhodné provést řez, pro který ρ = 0, takže X_str= X_i.
^ R. B. Blackman, Vliv zpětné vazby na impedanci, Bell System Tech. J. 22, 269 (1943).

Reference

B. Pellegrini, Úvahy o teorii zpětné vazby Alta Frequenza 41, 825 (1972).
B. Pellegrini, Vylepšená teorie zpětné vazby, IEEE Transactions on Circuits and Systems 56, 1949 (2009).

Viz také

[1] Bruno Pellegrini byl prvním absolventem elektronického inženýrství na Univerzita v Pise kde je v současné době emeritní profesor. Je také autorem Elektrokinematická věta, který spojuje rychlost a náboj nosičů pohybujících se uvnitř libovolného objemu s proudy, napětí a energií na jeho povrchu prostřednictvím libovolného irrotačního vektoru.

[2] Všimněte si, že pro hodnocení X_str potřebujeme síťové funkce, které zase závisí na X_str. Chcete-li pokračovat ve výpočtech, je proto vhodné provést řez, pro který ρ = 0, takže X_str= X_i.

[3] R. B. Blackman, Vliv zpětné vazby na impedanci, Bell System Tech. J. 22, 269 (1943).

[1]

[2]

[3]