Dynamická substruktura - Dynamic substructuring

tento článek je sirotek, jako žádné další články odkaz na to. Prosím zavést odkazy na tuto stránku z související články; zkuste Najít odkaz nástroj pro návrhy. (Červen 2016)

Dynamická substruktura (DS) je inženýrství nástroj zvyklý na Modelka a analyzovat the dynamika z mechanické systémy prostřednictvím svých komponent nebo spodních konstrukcí. Pomocí přístupu dynamické substruktury je možné samostatně analyzovat dynamické chování substruktur a později vypočítat sestavenou dynamiku pomocí vazebných postupů. Dynamická substruktura má oproti analýze plně sestaveného systému několik výhod:

• Substruktury lze modelovat v doméně, která je nejvhodnější, např. experimentálně získané substruktury lze kombinovat s numerické modely.
• Velké a / nebo složité systémy lze optimalizovat na úrovni spodní stavby.
• Numerické výpočetní zatížení lze snížit, protože řešení několika substruktur je výpočetně méně náročné než řešení jednoho velkého systému.
• Substrukturní modely různých vývojových skupin lze sdílet a kombinovat bez odhalení detailů modelování.

Dynamická substruktura je speciálně přizpůsobena simulaci mechanické vibrace, což má dopad na mnoho aspektů produktu, jako je zvuk / akustika, únava / trvanlivost, pohodlí a bezpečnost. Dynamická substruktura je také použitelná v jakékoli škále velikost a frekvence. Jedná se tedy o široce používané paradigma v průmyslových aplikacích od automobilový průmysl a letecké inženýrství navrhnout větrné turbíny a high-tech přesnost stroje.

Dějiny

Dvě úrovně rozkladu domény v dynamické substruktuře.

Kořeny dynamické substruktury lze nalézt v oblasti dekompozice domény. V roce 1890 matematik Hermann Schwarz přišel s iteračním postupem pro doménový rozklad, který umožňuje řešení pro kontinuální spojené subdomény. Mnoho analytických modelů spojených kontinuálních subdomén však nemá uzavřená řešení, což vedlo k diskretizace a aproximační techniky, jako je Ritzova metoda^[1] (kterému se někdy říká Raleigh-Ritzova metoda kvůli podobnosti mezi Ritzovou formulací a Raleighův poměr ) metoda hraničních prvků (BEM) a Metoda konečných prvků (FEM). Tyto metody lze považovat za techniky rozkladu domény „první úrovně“.

Metoda konečných prvků se ukázala jako nejúčinnější metoda a vynález mikroprocesoru umožnil snadno vyřešit velké množství fyzikálních problémů.^[2] Aby bylo možné analyzovat ještě větší a složitější problémy, byly vynalezeny metody pro optimalizaci účinnosti diskretizovaných výpočtů. Prvním krokem bylo nahrazení přímých řešitelů iterativními řešiči, jako je metoda sdruženého gradientu.^[3] Nedostatek robustnosti a pomalá konvergence těchto řešičů z nich na začátku neudělala zajímavou alternativu. Povstání paralelní výpočty v 80. letech však vyvolala jejich popularitu. Složité problémy lze nyní vyřešit rozdělením problému na subdomény, každou zpracovanou samostatným procesorem, a iterativním řešením propojení rozhraní. To lze považovat za rozklad domény druhé úrovně, jak je znázorněno na obrázku.

Efektivitu dynamického modelování lze ještě zvýšit zvýšením složitosti jednotlivých subdomén. Tato redukce subdomén (nebo spodní stavby v kontextu strukturální dynamiky) je realizován reprezentací substruktur pomocí jejich obecných reakcí. Vyjádření samostatných substruktur pomocí jejich obecné odezvy namísto jejich podrobné diskretizace vedlo k takzvané metodě dynamické substruktury. Tento redukční krok také umožnil nahradit matematický popis domén experimentálně získanými informacemi. Tento redukční krok je také vizualizován redukční šipkou na obrázku.

První metody dynamické substruktury byly vyvinuty v šedesátých letech minulého století a byly běžněji známé pod syntézou názvu komponentního režimu (CMS). Výhody dynamické substruktury byly rychle objeveny vědeckou a inženýrskou komunitou a stala se důležitým výzkumným tématem v oblasti strukturální dynamika a vibrace. Následoval hlavní vývoj, jehož výsledkem bylo klasická Craig-Bamptonova metoda.^[4]

Kvůli vylepšení v senzor a zpracování signálu V 80. letech se technologie substruktury také staly atraktivní pro EU experimentální společenství. Byly vytvořeny metody zabývající se strukturální dynamickou modifikací, ve kterých byly přímo aplikovány vazebné techniky na měření funkce frekvenční odezvy (FRF). Široká popularita metody byla získána, když Jetmundsen et al. formuloval klasickou metodu substruktury založené na frekvenci (FBS),^[5] který položil základy pro frekvenční dynamickou substrukturu. V roce 2006 zavedli systematickou notaci De Klerk et al.^[6] za účelem zjednodušení složité a komplikované notace, která byla použita dříve. Zjednodušení bylo provedeno pomocí dvou Booleovský matice, které zpracovávají veškeré „vedení účetnictví“ spojené s montáží spodních konstrukcí^[7]

Domény

Pět domén obvykle používaných pro dynamickou substrukturu.

Na dynamickou substrukturu lze nejlépe pohlížet jako na sadu nástrojů nezávislou na doméně pro sestavování modelů komponent, spíše než na vlastní metodu modelování. Obecně lze dynamickou substrukturu použít pro všechny domény, které jsou vhodné pro simulaci více vstupů / více výstupů chování.^[7] Pět domén, které jsou vhodné pro substrukturu, je:

• Fyzická doména
• Modální doména
• Frekvenční doména
• Časová doména
• Doména stavového prostoru

The fyzická doména se týká metod, které jsou založeny na (linearizovaných) maticích hmot, tlumení a tuhosti, obvykle získaných z numerického modelování MKP. Populární řešení pro řešení přidruženého systému diferenciálních rovnic druhého řádu jsou časová integrace schémata Newmark ^[8] a schéma Hilbert-Hughes-Taylor.^[9] The modální doména se týká technik syntézy komponentních režimů (CMS), jako je metoda Craig-Bampton, Rubin a McNeal. Tyto metody poskytují efektivní základy modální redukce a techniky montáže pro numerické modely ve fyzické doméně. The frekvenční doména je více populárně známý jako Frequency Based Substructuring (FBS). Na základě klasické formulace Jetmundsena et al.^[5] a přeformulování De Klerka a kol.,^[9] stala se nejběžněji používanou doménou pro substrukturu kvůli snadnosti vyjádření diferenciálních rovnic dynamického systému (pomocí Funkce frekvenční odezvy, FRF) a pohodlí implementace experimentálně získaných modelů. The časová doména odkazuje na nedávno navržený koncept Impulse Based Substructuring (IBS),^[10] který vyjadřuje chování dynamického systému pomocí sady Funkce reakce na impuls (IRF). Doména stavového prostoru nakonec odkazuje na metody navržené Sjövallem a kol.^[11] které zaměstnávají identifikace systému společné techniky teorie řízení.

Přehled řídících rovnic pěti výše uvedených domén je uveden v tabulce níže.

Dynamické rovnice pro pět domén

Doména	Dynamická rovnice	Dodatečné informace
Fyzická doména	${ displaystyle mathbf {f} (t) = mathbf {M { ddot {u}}} (t) + mathbf {C { dot {u}}} (t) + mathbf {Ku} ( t)}$	${ displaystyle mathbf {M}, mathbf {C}, mathbf {K}}$ představují lineární (ised) hmotu, matici tlumení a tuhosti systému.
Modální doména	${ displaystyle mathbf {f_ {m}} (t) = mathbf {M_ {m} { ddot { boldsymbol { eta}}}} (t) + mathbf {C_ {m}} { boldsymbol { dot { eta}}} (t) + mathbf {K_ {m}} { boldsymbol { eta}} (t)}$	${ displaystyle mathbf {M} _ {m}, mathbf {C} _ {m}, mathbf {K} _ {m}}$ představují matici modálně snížené hmotnosti, tlumení a tuhosti; ${ displaystyle { boldsymbol { eta}}}$ je sada modálních amplitud.
Frekvenční doména	${ displaystyle { begin {zarovnaný} mathbf {f} ( omega) = mathbf {Z} ( omega) mathbf {u} ( omega) mathbf {u} ( omega) = mathbf {Y} ( omega) mathbf {f} ( omega) end {zarovnáno}}}$	${ displaystyle mathbf {Z} ( omega)}$ je impedance FRF matice; ${ displaystyle mathbf {Y} ( omega)}$ je přijetí FRF matice.
Časová doména	${ displaystyle mathbf {u} (t) = mathbf {Y} (t) * mathbf {f} (t)}$	${ displaystyle mathbf {Y} (t)}$ je IRF matice.
Doména stavového prostoru	${ displaystyle { begin {cases} mathbf { dot {x}} (t) = mathbf {Ax} (t) + mathbf {Bv} (t) mathbf {y} (t) = mathbf {Cx} (t) + mathbf {Dv} (t) konec {případů}}}$	${ displaystyle mathbf {A}, mathbf {B}, mathbf {C}, mathbf {D}}$ jsou státní prostor matice; ${ displaystyle mathbf {x}}$, ${ displaystyle mathbf {v}}$ a ${ displaystyle mathbf {y}}$ představují stavový, vstupní a výstupní vektor.

Protože dynamická substruktura je sada nástrojů nezávislá na doméně, je použitelná pro dynamické rovnice všech domén. Aby bylo možné v konkrétní doméně vytvořit sestavu substruktury, je třeba implementovat dvě podmínky rozhraní. To je vysvětleno dále, následováno několika běžnými technikami substruktury.

Podmínky rozhraní

K vytvoření substrukturní vazby / oddělení v každé z výše uvedených domén by měly být splněny dvě podmínky:

• Kompatibilita souřadnic, tj. Spojovací uzly dvou substruktur by měly mít stejné rozhraní přemístění.
• Silová rovnováha, tj. Rozhraní síly mezi spojovacími uzly mají stejnou velikost a protilehlé znaménko.

Jedná se o dvě základní podmínky, které udržují substruktury pohromadě, a proto umožňují konstrukci sestavy více komponent. Podmínky jsou srovnatelné s Kirchhoff zákony pro elektrické obvody, v takovém případě platí podobné podmínky pro proudy a napětí přes / nad elektrickými součástmi v síti; viz také Mechanicko-elektrické analogie.

Konektivita spodní stavby

Sestava dvou substruktur A a B, spojených DoF ${ displaystyle mathbf {u} _ {2}}$ a síly rozhraní ${ displaystyle mathbf {g} _ {2}}$ spojovacích uzlů.

Zvažte dvě spodní konstrukce A a B, jak je znázorněno na obrázku. Tyto dvě substruktury obsahují celkem šest uzlů; posuny uzlů jsou popsány sadou Stupně svobody (DoF). DoF šesti uzlů jsou rozděleny takto:

1. DoF vnitřních uzlů spodní stavby A;
2. DoF spojovacích uzlů substruktur A a B, tj. DoF rozhraní;
3. DoF vnitřních uzlů spodní stavby B.

Všimněte si, že označení 1, 2 a 3 označuje funkce spíše než celková částka uzlů / DoF. Pojďme definovat sady DoF pro dvě substruktury A a B ve zřetězené formě. Posuny a aplikované síly jsou reprezentovány množinami ${ displaystyle mathbf {u}}$ a ${ displaystyle mathbf {f}}$. Pro účely substruktury sada sil rozhraní ${ displaystyle mathbf {g}}$ je představen, který obsahuje pouze nenulové položky v DoF rozhraní:

${ displaystyle mathbf {u} triangleq { begin {bmatrix} mathbf {u} _ {1} ^ {A} mathbf {u} _ {2} ^ {A} mathbf {u } _ {2} ^ {B} mathbf {u} _ {3} ^ {B} end {bmatrix}} quad mathbf {f} triangleq { begin {bmatrix} mathbf { f} _ {1} ^ {A} mathbf {f} _ {2} ^ {A} mathbf {f} _ {2} ^ {B} mathbf {f} _ {3 } ^ {B} end {bmatrix}} quad mathbf {g} triangleq { begin {bmatrix} mathbf {0} mathbf {g} _ {2} ^ {A} mathbf {g} _ {2} ^ {B} mathbf {0} end {bmatrix}} quad mathbf {u}, mathbf {f}, mathbf {g} in mathbb {R} ^ {n}}$

Vztah mezi dynamickými posuny ${ displaystyle mathbf {u}}$ a aplikované síly ${ displaystyle mathbf {f}}$ nespojené úlohy se řídí konkrétní dynamickou rovnicí, jak je uvedeno v tabulce výše. Odpojené pohybové rovnice jsou rozšířeny o další pojmy / rovnice pro kompatibilitu a rovnováhu, jak je popsáno dále.

Kompatibilita

The podmínka kompatibility vyžaduje, aby DoF rozhraní měly stejné znaménko a hodnotu na obou stranách rozhraní: ${ displaystyle mathbf {u} _ {2} ^ {A} = mathbf {u} _ {2} ^ {B}}$. Tuto podmínku lze vyjádřit pomocí tzv podepsaný Booleovský matice,^[6] označeno ${ displaystyle mathbf {B}}$ . Pro daný příklad to lze vyjádřit jako:

${ displaystyle mathbf {B} mathbf {u} = mathbf {0} quad Rightarrow quad mathbf {u} _ {2} ^ {B} - mathbf {u} _ {2} ^ { A} = mathbf {0} quad Rightarrow quad mathbf {B} triangleq { begin {bmatrix} mathbf {0} & - mathbf {I} & mathbf {I} & mathbf {0 } end {bmatrix}}}$

V některých případech jsou uzly rozhraní substruktur nevyhovující, např. když jsou dvě spodní konstrukce propojeny samostatně. V takových případech není logická matice ${ displaystyle mathbf {B}}$ je třeba použít k vynucení slabé kompatibility rozhraní.^[12][13]

Druhou formou, ve které lze vyjádřit podmínku kompatibility, je nahrazení souřadnic sadou zobecněných souřadnic ${ displaystyle mathbf {q}}$. Sada ${ displaystyle mathbf {q}}$ obsahuje jedinečné souřadnice, které zůstanou po sestavení substruktur Každá odpovídající dvojice DoF rozhraní je popsána jedinou zobecněnou souřadnicí, což znamená, že je automaticky vynucena podmínka kompatibility. Vyjadřování ${ displaystyle mathbf {u}}$ použitím ${ displaystyle mathbf {q}}$ dává:

${ displaystyle mathbf {u} = mathbf {L} mathbf {q} quad Rightarrow quad { begin {cases} mathbf {u} _ {1} ^ {A} = mathbf {q} _ {1} mathbf {u} _ {2} ^ {A} = mathbf {q} _ {2} mathbf {u} _ {2} ^ {B} = mathbf {q} _ {2} mathbf {u} _ {3} ^ {B} = mathbf {q} _ {3} konec {případů}} quad Rightarrow quad mathbf {L} triangleq { begin {bmatrix} mathbf {I} & mathbf {0} & mathbf {0} mathbf {0} & mathbf {I} & mathbf {0} mathbf {0} & mathbf {I} & mathbf {0} mathbf {0} & mathbf {0} & mathbf {I} end {bmatrix}}}$

Matice ${ displaystyle mathbf {L}}$ se označuje jako Booleovská lokalizační matice. Užitečný vztah mezi maticí ${ displaystyle mathbf {B}}$ a ${ displaystyle mathbf {L}}$ mohou být vystaveny upozorněním, že kompatibilita by měla platit pro jakoukoli sadu fyzických souřadnic ${ displaystyle mathbf {u}}$ vyjádřeno ${ displaystyle mathbf {q}}$. Opravdu, střídání ${ displaystyle mathbf {u} = mathbf {Lq}}$ v rovnici ${ displaystyle mathbf {Bu} = mathbf {0}}$:

${ displaystyle mathbf {Bu} = mathbf {B} mathbf {L} mathbf {q} = mathbf {0} quad forall mathbf {q}}$

Proto ${ displaystyle mathbf {L}}$ představuje prázdný prostor z ${ displaystyle mathbf {B}}$:

${ displaystyle { begin {cases} mathbf {L} = { text {null}} ( mathbf {B}) mathbf {B} ^ {T} = { text {null}} ( mathbf {L} ^ {T}) end {cases}}}$

To v praxi znamená, že je třeba pouze definovat ${ displaystyle mathbf {B}}$ nebo ${ displaystyle mathbf {L}}$; druhá logická matice se počítá pomocí vlastnosti nullspace.

Rovnováha

Druhou podmínkou, kterou je třeba splnit pro montáž spodní stavby, je silová rovnováha pro přizpůsobení sil rozhraní ${ displaystyle mathbf {g}}$. Pro aktuální příklad lze tuto podmínku zapsat jako ${ displaystyle mathbf {g} _ {2} ^ {A} = - mathbf {g} _ {2} ^ {B}}$. Podobně jako v případě rovnice kompatibility lze podmínku silové rovnováhy vyjádřit pomocí booleovské matice. Využívá se transpozice booleovské lokalizační matice ${ displaystyle mathbf {L}}$ který byl zaveden pro zápis kompatibility:

${ displaystyle mathbf {L} ^ {T} mathbf {g} = mathbf {0} quad Rightarrow quad { begin {cases} mathbf {g} _ {1} ^ {A} = mathbf {0} mathbf {g} _ {2} ^ {A} + mathbf {g} _ {2} ^ {B} = mathbf {0} mathbf {g} _ {3} ^ {B} = mathbf {0} end {cases}}}$

Rovnice pro ${ displaystyle mathbf {g} _ {1}}$ a ${ displaystyle mathbf {g} _ {3}}$ stav, že síly rozhraní na vnitřních uzlech jsou nulové, proto nejsou přítomné. Rovnice pro ${ displaystyle mathbf {g} _ {2}}$ správně stanoví silovou rovnováhu mezi odpovídající dvojicí DoF rozhraní podle Newtonův třetí zákon.

Druhým zápisem, ve kterém lze vyjádřit rovnovážnou podmínku, je zavedení množiny Lagrangeovy multiplikátory ${ displaystyle { boldsymbol { lambda}}}$. Substituce těchto Lagrangeových multiplikátorů je možná jako ${ displaystyle mathbf {g} _ {2} ^ {A}}$ a ${ displaystyle mathbf {g} _ {2} ^ {B}}$ liší se pouze znaménkem, nikoli hodnotou. Opětovné použití podepsané booleovské matice ${ displaystyle mathbf {B}}$:

${ displaystyle mathbf {g} = - mathbf {B} ^ {T} { boldsymbol { lambda}} quad Rightarrow quad { begin {cases} mathbf {g} _ {1} ^ { A} = mathbf {0} mathbf {g} _ {2} ^ {A} = { boldsymbol { lambda}} mathbf {g} _ {2} ^ {B} = - { boldsymbol { lambda}} mathbf {g} _ {3} ^ {B} = mathbf {0} konec {případů}}}$

Sada ${ displaystyle { boldsymbol { lambda}}}$ definuje intenzitu sil rozhraní ${ displaystyle mathbf {g} _ {2}}$. Každý Lagrangeův multiplikátor představuje velikost dvou odpovídajících sil rozhraní v sestavě. Definováním sil rozhraní ${ displaystyle mathbf {g}}$ pomocí Lagrangeových multiplikátorů ${ displaystyle { boldsymbol { lambda}}}$, rovnováha sil je automaticky splněna. To lze vidět nahrazením ${ displaystyle mathbf {g} = - mathbf {B ^ {T}} { boldsymbol { lambda}}}$ do první rovnovážné rovnice:

${ displaystyle mathbf {L} ^ {T} mathbf {g} = - mathbf {L} ^ {T} mathbf {B} ^ {T} { boldsymbol { lambda}} = mathbf {0 } quad forall mathbf { mathbf {g}}}$

Opět se zde používá vlastnost nullspace booleovských matic, jmenovitě: ${ displaystyle mathbf {L ^ {T}} mathbf {B ^ {T}} = mathbf {0}}$.

Tyto dvě podmínky, jak jsou uvedeny výše, lze použít k vytvoření vazby / oddělení v nesčetných doménách, a jsou tedy nezávislé na proměnných, jako je čas, frekvence, režim atd. Jsou prezentovány některé implementace podmínek rozhraní pro nejběžnější domény substrukturování níže.

Substruktura ve fyzické doméně

Fyzická doména je doména, která má nejpřímější fyzickou interpretaci. Pro každého oddělený linearizováno dynamický systém jeden je schopen napsat rovnováhu mezi externě působícími silami a vnitřními silami pocházejícími z vnitřní setrvačnosti, viskózního tlumení a pružnosti. Tento vztah se řídí jedním z nejzákladnějších vzorců v strukturální vibrace:

${ displaystyle mathbf {M} mathbf { ddot {u}} (t) + mathbf {C} mathbf { dot {u}} (t) + mathbf {K} mathbf {u} ( t) = mathbf {f} (t)}$

${ displaystyle mathbf {M}, mathbf {C}, mathbf {K}}$ představují Hmotnost, tlumení a ztuhlost matice systému. Tyto matice se často získávají z modelování konečných prvků (FEM) a označují se jako numerický model struktury. Dále ${ displaystyle mathbf {u}}$ představuje DoF a ${ displaystyle mathbf {f}}$ vektor síly, které jsou závislé na čase ${ displaystyle (t)}$. Tato závislost je v následujících rovnicích vynechána, aby se zlepšila čitelnost.

Spojení ve fyzické doméně

Spojení ${ displaystyle n}$ substruktury ve fyzické doméně nejprve vyžadují psaní nespojených pohybových rovnic ${ displaystyle n}$ spodní konstrukce v blokové diagonální formě:

${ displaystyle mathbf {M} triangleq { text {diag}} ( mathbf {M} ^ {(1)}, dots, mathbf {M} ^ {(n)}) = { begin { bmatrix} mathbf {M} ^ {(1)} &. &. . & ddots &. . &. & mathbf {M} ^ {(n)} end {bmatrix}} }$

${ displaystyle mathbf {C} triangleq { text {diag}} ( mathbf {C} ^ {(1)}, dots, mathbf {C} ^ {(n)}) quad mathbf { K} triangleq { text {diag}} ( mathbf {K} ^ {(1)}, dots, mathbf {K} ^ {(n)})}$

${ displaystyle mathbf {u} triangleq { begin {bmatrix} mathbf {u} ^ {(1)} vdots mathbf {u} ^ {(n)} end {bmatrix}} , quad mathbf {f} triangleq { begin {bmatrix} mathbf {f} ^ {(1)} vdots mathbf {f} ^ {(n)} end {bmatrix}} , quad mathbf {g} triangleq { begin {bmatrix} mathbf {g} ^ {(1)} vdots mathbf {g} ^ {(n)} end {bmatrix}} }$

Dále lze rozlišit dva přístupy k sestavení: primární a duální montáž.

Prvotní shromáždění

Pro prvotní montáž jedinečná sada stupňů volnosti ${ displaystyle mathbf {q}}$ je definován za účelem zajištění kompatibility, ${ displaystyle mathbf {u} = mathbf {Lq}}$. Dále je přidána druhá rovnice pro vynucení rovnováhy sil rozhraní. To má za následek následující spojené dynamické rovnovážné rovnice:

${ displaystyle { begin {cases} mathbf {ML { ddot {q}} + CL { dot {q}} + KLq = f + g} mathbf {L ^ {T} g = 0} end {případy}}}$

Přednásobení první rovnice ${ displaystyle mathbf {L} ^ {T}}$ a všímat si toho ${ displaystyle mathbf {L ^ {T} g} = mathbf {0}}$, prvotní sestava redukuje na:

${ displaystyle mathbf {{ tilde {M}} { ddot {q}} + { tilde {C}} { dot {q}} + { tilde {K}} q = L ^ {T} f} quad { begin {cases} mathbf {{ tilde {M}} = L ^ {T} ML} mathbf {{ tilde {C}} = L ^ {T} CL} mathbf {{ tilde {K}} = L ^ {T} KL} end {případy}}}$

Primárně sestavené systémové matice lze použít pro přechodovou simulaci podle libovolného standardu algoritmus krokování času. Všimněte si, že prvotní technika montáže je analogická s montáží super-prvky v metody konečných prvků.

Dvojitá montáž

Ve formulaci dvojí sestavy je zachována globální sada DoF a sestava je vytvořena a priori splňující rovnovážnou podmínku ${ displaystyle mathbf {g = -B ^ {T} { boldsymbol { lambda}}}}$. Lagrangeovy multiplikátory opět představují síly rozhraní spojující DoF na rozhraní. Jelikož se jedná o neznámé, jsou přesunuty na levou stranu rovnice. Aby byla zajištěna kompatibilita, je do systému přidána druhá rovnice, která nyní pracuje s posuny:

${ displaystyle { begin {cases} mathbf {M { ddot {u}} + C { dot {u}} + Ku + B ^ {T} { boldsymbol { lambda}} = f} mathbf {Bu = 0} end {cases}}}$

Dvojitě sestavený systém lze napsat v maticové formě jako:

${ displaystyle mathbf { begin {bmatrix} mathbf {M} & mathbf {0} mathbf {0} & mathbf {0} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} mathbf { ddot {u}} { boldsymbol { lambda}} end {bmatrix}} + { begin {bmatrix} mathbf {C} & mathbf {0} mathbf {0} & mathbf {0} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} mathbf { dot {u}} { boldsymbol { lambda}} end {bmatrix}} + { begin {bmatrix} mathbf { K} & mathbf {B} ^ {T} mathbf {B} & mathbf {0} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} mathbf {u} { boldsymbol { lambda }} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} mathbf {f} mathbf {0} end {bmatrix}}}$

Tento dvojitě sestavený systém lze také použít v přechodové simulaci pomocí standardního algoritmu krokování času.^[9]

Substruktura ve frekvenční doméně

Aby bylo možné zapsat rovnice pro frekvenční substrukturu (FBS), je třeba nejprve dát do frekvenční oblasti dynamickou rovnováhu. Počínaje dynamickou rovnováhou ve fyzické oblasti:

${ displaystyle mathbf {M} mathbf { ddot {u}} (t) + mathbf {C} mathbf { dot {u}} (t) + mathbf {K} mathbf {u} ( t) = mathbf {f} (t)}$

Užívání Fourierova transformace této rovnice dává dynamickou rovnováhu ve frekvenční oblasti:

${ displaystyle mathbf {Z} ( omega) mathbf {u} ( omega) = mathbf {f} ( omega) quad { text {s}} quad mathbf {Z} ( omega ) = { bigr [} - omega ^ {2} mathbf {M} + j omega mathbf {C} + mathbf {K} { bigr]}}$

Matice ${ displaystyle mathbf {Z} ( omega)}$ se označuje jako dynamická matice tuhosti. Tato matice se skládá z frekvenčně závislých funkcí s komplexní hodnotou, které popisují sílu potřebnou ke generování harmonického posunu jednotky při určitém DoF. Inverzní funkce matice ${ displaystyle mathbf {Z} ( omega)}$ je definován jako ${ displaystyle mathbf {Y} ( omega) triangleq ( mathbf {Z} ( omega)) ^ {- 1}}$ a poskytuje intuitivnější zápis o přijetí:

${ displaystyle mathbf {u} ( omega) = mathbf {Y} ( omega) mathbf {f} ( omega)}$

Matice vnímání ${ displaystyle mathbf {Y} ( omega)}$ obsahuje funkce frekvenční odezvy (FRF) struktury, které popisují reakci na posunutí na jednotku vstupní síly. Další varianty recepční matice jsou matice mobility a akcelerace, které popisují rychlostní a akcelerační odezvu. Prvky dynamické tuhosti (nebo impedance obecně) a vnímavost (nebo vstup obecně) matice jsou definovány takto:

${ displaystyle { begin {aligned} { text {Impedance:}} quad Z_ {ij} ( omega) = { frac {f_ {i} ( omega)} {u_ {j} ( omega) }} quad u_ {k neq j} = 0 { text {Admitance:}} quad Y_ {ij} ( omega) = { frac {u_ {i} ( omega)} {f_ { j} ( omega)}} quad f_ {k neq j} = 0 end {zarovnáno}}}$

Vazba ve frekvenční doméně

Aby bylo možné spojit dvě substruktury ve frekvenční doméně, používají se přijímací a impedanční matice obou substruktur. Pomocí definice substruktur A a B, jak byla zavedena dříve, jsou definovány následující matice impedance a přijetí (všimněte si, že frekvenční závislost ${ displaystyle ( omega)}$ je vynechán z podmínek pro zlepšení čitelnosti):

${ displaystyle { begin {array} {ll} mathbf {Z} ^ {A} triangleq { begin {bmatrix} mathbf {Z} _ {11} ^ {A} & mathbf {Z} _ { 12} ^ {A} mathbf {Z} _ {21} ^ {A} & mathbf {Z} _ {22} ^ {A} end {bmatrix}} & mathbf {Z} ^ {B} triangleq { begin {bmatrix} mathbf {Z} _ {22} ^ {B} & mathbf {Z} _ {23} ^ {B} mathbf {Z} _ {32} ^ {B} & mathbf {Z} _ {33} ^ {B} end {bmatrix}} [18pt] mathbf {Y} ^ {A} triangleq { begin {bmatrix} mathbf { Y} _ {11} ^ {A} & mathbf {Y} _ {12} ^ {A} mathbf {Y} _ {21} ^ {A} & mathbf {Y} _ {22} ^ {A} end {bmatrix}} & mathbf {Y} ^ {B} triangleq { begin {bmatrix} mathbf {Y} _ {22} ^ {B} & mathbf {Y} _ { 23} ^ {B} mathbf {Y} _ {32} ^ {B} & mathbf {Y} _ {33} ^ {B} end {bmatrix}} end {pole}}}$

Dvě přijímací a impedanční matice lze umístit do blokové diagonální podoby, aby se sladily s globální sadou DoF ${ displaystyle mathbf {u}}$:

${ displaystyle { begin {seřazeno} mathbf {Z} triangleq & { begin {bmatrix} mathbf {Z} ^ {A} & mathbf {0} mathbf {0} & mathbf {Z } ^ {B} end {bmatrix}} triangleq { begin {bmatrix} mathbf {Z} _ {11} ^ {A} & mathbf {Z} _ {12} ^ {A} & mathbf { 0} & mathbf {0} mathbf {Z} _ {21} ^ {A} & mathbf {Z} _ {22} ^ {A} & mathbf {0} & mathbf {0} mathbf {0} & mathbf {0} & mathbf {Z} _ {22} ^ {B} & mathbf {Z} _ {23} ^ {B} mathbf {0} & mathbf {0} & mathbf {Z} _ {32} ^ {B} & mathbf {Z} _ {33} ^ {B} end {bmatrix}} [6pt] mathbf {Y} triangleq & { begin {bmatrix} mathbf {Y} ^ {A} & mathbf {0} mathbf {0} & mathbf {Y} ^ {B} end {bmatrix}} triangleq { začít {bmatrix} mathbf {Y} _ {11} ^ {A} & mathbf {Y} _ {12} ^ {A} & mathbf {0} & mathbf {0} mathbf {Y} _ {21} ^ {A} & mathbf {Y} _ {22} ^ {A} & mathbf {0} & mathbf {0} mathbf {0} & mathbf {0} & mathbf {Y} _ {22} ^ {B} & mathbf {Y} _ {23} ^ {B} mathbf {0} & mathbf {0} & mathbf {Y} _ {32} ^ { B} & mathbf {Y} _ {33} ^ {B} end {bmatrix}} end {aligned}}}$

Off-diagonální nulové podmínky ukazují, že v tomto bodě není mezi dvěma substrukturami žádná vazba. K vytvoření této spojky lze použít primární nebo dvojitou montážní metodu. Obě metody montáže využívají dynamické rovnice, jak bylo definováno dříve:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} mathbf {Z} mathbf {u} & = mathbf {f} + mathbf {g} mathbf {u} & = mathbf {Y} ( mathbf { f} + mathbf {g}) end {zarovnáno}}}$

V těchto rovnicích ${ displaystyle mathbf {g}}$ se opět používá k definování sady sil rozhraní, které dosud nejsou známy.

Prvotní shromáždění

Abychom získali prvotní soustavu rovnic, jedinečnou sadu souřadnic ${ displaystyle mathbf {q}}$ je definováno: ${ displaystyle mathbf {u} = mathbf {Lq}}$. Podle definice vhodné booleovské lokalizační matice ${ displaystyle mathbf {L}}$, zůstává jedinečná sada DoF, u kterých je a priori splněna podmínka kompatibility (podmínka kompatibility). Abychom uspokojili rovnovážný stav k pohybovým rovnicím se přidá druhá rovnice:

${ displaystyle { begin {cases} mathbf {Z} mathbf {L} mathbf {q} = mathbf {f} + mathbf {g} mathbf {L} ^ {T} mathbf { g} = mathbf {0} end {cases}}}$

Přednásobení první rovnice pomocí ${ displaystyle mathbf {L} ^ {T}}$ získá notu sestavených pohybových rovnic pro zobecněné souřadnice ${ displaystyle mathbf {q}}$:

${ displaystyle mathbf { tilde {Z}} mathbf {q} = mathbf { tilde {f}} quad { text {with}} quad { begin {cases} mathbf { tilde { Z}} = mathbf {L} ^ {T} mathbf {Z} mathbf {L} mathbf { tilde {f}} = mathbf {L} ^ {T} mathbf {f} konec {případů}}}$

Tento výsledek lze přepsat do přijímací formy jako:

${ displaystyle mathbf {q} = mathbf { tilde {Y}} mathbf { tilde {f}} quad { text {with}} quad mathbf { tilde {Y}} = ( mathbf { tilde {Z}}) ^ {- 1}}$

Tento poslední výsledek poskytuje přístup k zobecněným odpovědím v důsledku zevšeobecněných aplikovaných sil ${ displaystyle mathbf { tilde {f}}}$, a to převrácením původně sestavené impedanční matice.

Postup prvotní montáže je zajímavý hlavně tehdy, když má člověk přístup k dynamice ve formě impedance, např. z modelování konečných prvků. Když má člověk přístup pouze k dynamice notace přijetí,^[14] duální formulace je vhodnějším přístupem.

Duální montáž

Dvojitě sestavený systém začíná systémem napsaným v přijímací notaci. U duálně sestaveného systému je podmínka rovnováhy sil a priori splněna dosazením Lagrangeových multiplikátorů ${ displaystyle { boldsymbol { lambda}}}$ pro síly rozhraní: ${ displaystyle mathbf {g} = - mathbf {B} ^ {T} { boldsymbol { lambda}}}$. Podmínka kompatibility je vynucena přidáním další rovnice:

${ displaystyle { begin {cases} mathbf {u} = mathbf {Y} ( mathbf {f} - mathbf {B} ^ {T} { boldsymbol { lambda}}) mathbf { B} mathbf {u} = mathbf {0} end {cases}}}$

Dosazením prvního řádku do druhého a řešením pro ${ displaystyle { boldsymbol { lambda}}}$ dává:

${ displaystyle { boldsymbol { lambda}} = ( mathbf {B} mathbf {Y} mathbf {B} ^ {T}) ^ {- 1} mathbf {B} mathbf {Y} mathbf {f}}$

Termín ${ displaystyle mathbf {B} mathbf {Y} mathbf {f}}$ představuje nekompatibilitu způsobenou nespojenými odezvami spodních konstrukcí na aplikované síly ${ displaystyle mathbf {f}}$. Vynásobením nekompatibility s tuhostí kombinovaného rozhraní, tj. ${ displaystyle ( mathbf {B} mathbf {Y} mathbf {B} ^ {T}) ^ {- 1}}$, síly ${ displaystyle { boldsymbol { lambda}}}$ které udržují pohromadě spodní konstrukce. Spojená odezva se získá dosazením vypočtené ${ displaystyle { boldsymbol { lambda}}}$ zpět do původní rovnice:

${ displaystyle { begin {aligned} & mathbf {u} = mathbf {Y} mathbf {f} - mathbf {Y} mathbf {B} ^ {T} ( mathbf {BYB ^ {T} }) ^ {- 1} mathbf {BYf} [3pt] & mathbf {u} = mathbf { tilde {Y}} mathbf {f} quad { text {s:}} quad mathbf { tilde {Y}} = { big (} mathbf {I} - mathbf {Y} mathbf {B} ^ {T} ( mathbf {BYB ^ {T}}) ^ {- 1 } mathbf {B} { big)} mathbf {Y} end {zarovnáno}}}$

Tato metoda spojování se označuje jako metoda Lagrangeova multiplikátoru s frekvenční substrukturou (LM-FBS).^[6] Metoda LM-FBS umožňuje rychlé a snadné systematické sestavování libovolného počtu spodních konstrukcí. Všimněte si, že výsledek ${ displaystyle mathbf { tilde {Y}}}$ je teoreticky to samé, co bylo získáno výše použitím primitivní sestavy.

Oddělení ve frekvenční doméně

Oddělení spodní stavby B od sestavy AB

Kromě propojení spodních konstrukcí je také možné oddělit spodní konstrukce od sestav.^[15][16][17] Při použití znaménka plus jako operátora spojování substruktury lze proceduru spojování jednoduše popsat jako AB = A + B. Použitím podobné notace lze oddělení spojit jako AB - B = A. K odstranění substruktur, které byly přidáno pro účely měření, např opravit strukturu. Podobně jako u vazby existuje pro oddělení postupy primární a duální formulace.

Prvotní demontáž

V důsledku prvotní vazby lze impedanční matici sestaveného systému zapsat takto:

${ displaystyle mathbf {Z} ^ {AB} = { begin {bmatrix} mathbf {Z} _ {11} ^ {AB} & mathbf {Z} _ {12} ^ {AB} & mathbf { Z} _ {13} ^ {AB} mathbf {Z} _ {21} ^ {AB} & mathbf {Z} _ {22} ^ {AB} & mathbf {Z} _ {23} ^ {AB} mathbf {Z} _ {31} ^ {AB} & mathbf {Z} _ {32} ^ {AB} & mathbf {Z} _ {33} ^ {AB} end {bmatrix }} = { begin {bmatrix} mathbf {Z} _ {11} ^ {A} & mathbf {Z} _ {12} ^ {A} & mathbf {0} mathbf {Z} _ {21} ^ {A} & mathbf {Z} _ {22} ^ {A} + mathbf {Z} _ {22} ^ {B} & mathbf {Z} _ {23} ^ {B} mathbf {0} & mathbf {Z} _ {32} ^ {B} & mathbf {Z} _ {33} ^ {B} end {bmatrix}}}$

Při použití tohoto vztahu by pro oddělení substruktury B od sestavy AB stačila následující triviální operace odčítání:

${ displaystyle { begin {bmatrix} mathbf {Z} _ {11} ^ {A} & mathbf {Z} _ {12} ^ {A} & mathbf {0} mathbf {Z} _ {21} ^ {A} & mathbf {Z} _ {22} ^ {A} + mathbf {Z} _ {22} ^ {B} & mathbf {Z} _ {23} ^ {B} mathbf {0} & mathbf {Z} _ {32} ^ {B} & mathbf {Z} _ {33} ^ {B} end {bmatrix}} - { begin {bmatrix} mathbf { 0} & mathbf {0} & mathbf {0} mathbf {0} & mathbf {Z} _ {22} ^ {B} & mathbf {Z} _ {23} ^ {B} mathbf {0} & mathbf {Z} _ {32} ^ {B} & mathbf {Z} _ {33} ^ {B} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} mathbf { Z} _ {11} ^ {A} & mathbf {Z} _ {12} ^ {A} & mathbf {0} mathbf {Z} _ {21} ^ {A} & mathbf {Z } _ {22} ^ {A} & mathbf {0} mathbf {0} & mathbf {0} & mathbf {0} end {bmatrix}}}$

Umístěním impedance AB a B do blokově diagonální formy se znaménkem mínus pro impedanci B, aby se zohlednila operace odčítání, lze nyní k provedení procedur oddělování primitiv použít stejnou rovnici, která byla použita pro primární spojení.

${ displaystyle mathbf {Z} triangleq { begin {bmatrix} mathbf {Z} ^ {AB} & mathbf {0} mathbf {0} & - mathbf {Z} ^ {B} konec {bmatrix}} quad Rightarrow quad mathbf { tilde {Z}} = mathbf {L} ^ {T} mathbf {Z} mathbf {L}}$

s:

${ displaystyle mathbf {L} = { begin {bmatrix} mathbf {I} & mathbf {0} & mathbf {0} mathbf {0} & mathbf {I} & mathbf {0 } mathbf {0} & mathbf {0} & mathbf {I} mathbf {0} & mathbf {I} & mathbf {0} mathbf {0} & mathbf { 0} & mathbf {I} end {bmatrix}}}$

Prvotní demontáž lze tedy chápat jako sestavu struktury AB se zápornou impedancí spodní stavby B. Omezení původní demontáže spočívá v tom, že všechna DoF spodní stavby, která má být oddělena, musí být v sestaveném stavu přesně znázorněna. Pro situace numerického oddělení by to nemělo představovat žádné problémy, v experimentálních případech to však může být problematické. A solution to this problem can be found in the dual disassembly.

Dual disassembly

Similar to the dual assembly, the dual disassembly approaches the decoupling problem using the admittance matrices. Decoupling in the dual domain means finding a force that ensures compatibility, yet acts in the opposite direction. This newly found force would then counteract the force that is applied to the assembly due to the dynamics of substructure B. Writing this out in equations of motion:

${displaystyle {egin{cases}mathbf {u} ^{AB}=mathbf {Y} ^{AB}mathbf {f} +mathbf {Y} ^{AB}mathbf {g} mathbf {u} ^{B}=-mathbf {Y} ^{B}mathbf {g} end{cases}}}$

In order to write the dynamics of both systems in one equation, using the LM-FBS assembly notation, the following matrices are defined:

${displaystyle {egin{aligned}mathbf {Y} riangleq &{egin{bmatrix}mathbf {Y} ^{AB}&mathbf {0} mathbf {0} &-mathbf {Y} ^{B}end{bmatrix}}[3pt]mathbf {u} =&{egin{bmatrix}mathbf {u} _{1}^{AB}mathbf {u} _{2}^{AB}mathbf {u} _{3}^{AB}mathbf {u} _{2}^{B}mathbf {u} _{3}^{B}end{bmatrix}};quad mathbf {f} riangleq {egin{bmatrix}mathbf {f} _{1}^{AB}mathbf {f} _{2}^{AB}mathbf {0} mathbf {0} mathbf {0} end{bmatrix}};quad mathbf {g} riangleq {egin{bmatrix}mathbf {0} mathbf {g} _{2}^{AB}mathbf {0} mathbf {g} _{2}^{B}mathbf {0} end{bmatrix}}end{aligned}}}$

In order to enforce compatibility, a similar approach is used as for the assembly task. Definování a ${ displaystyle mathbf {B}}$-matrix to enforce compatibility:

${displaystyle mathbf {B} ={egin{bmatrix}mathbf {0} &-mathbf {I} &mathbf {0} &mathbf {I} &mathbf {0} end{bmatrix}}}$

Using this notation, the disassembly procedure can be performed using exactly the same equation as was used for the dual assembly:

${displaystyle {egin{cases}mathbf {u} =mathbf {Y} (mathbf {f} -mathbf {B} ^{T}{oldsymbol {lambda }})mathbf {B} mathbf {u} =mathbf {0} end{cases}}}$

This means that coupling and decoupling procedures using LM-FBS require identical steps, the only difference being the manner in which the global admittance matrix is defined. Indeed, the substructures to couple appear with a plus sign, whereas decoupled structures carry a minus sign:

${displaystyle {egin{aligned}{ ext{coupling}}quad mathbf {Y} & riangleq {egin{bmatrix}mathbf {Y} _{A}&mathbf {0} mathbf {0} &mathbf {Y} _{B}end{bmatrix}}{ ext{decoupling}}quad mathbf {Y} & riangleq {egin{bmatrix}mathbf {Y} _{AB}&mathbf {0} mathbf {0} &-mathbf {Y} _{B}end{bmatrix}}end{aligned}}}$

More advanced decoupling techniques use the fact that internal points of substructure B appear in both the admittances of AB and B, hence can be used to enhance the decoupling process. Such techniques are described in.^[16][17]

Viz také

Reference