Rovnice dynamického fluidního filmu - Dynamic fluid film equations

Příklad dynamických fluidních filmů.

Tekuté filmy, jako např mýdlové filmy, se běžně vyskytují v každodenní praxi. Mýdlový film lze vytvořit ponořením uzavřeného obrysového drátu do mýdlového roztoku, jak je znázorněno na obrázku vpravo. Alternativně a katenoid lze vytvořit ponořením dvou prstenců do mýdlového roztoku a jejich následným oddělením při zachování koaxiální konfigurace.

Stacionární tekuté filmy tvoří povrchy minimální povrchová plocha, vedoucí k Problém náhorní plošiny.

Na druhou stranu, tekuté filmy se zobrazují bohatě dynamický vlastnosti. Mohou procházet obrovskými deformacemi mimo rovnovážnou konfiguraci. Dále zobrazují několik řádů kolísání tloušťky od nanometry na milimetry. Může se tedy současně zobrazit tekutý film nanoměřítku a makro měřítko jevy.

Ve studii o dynamika volných tekutých filmů, jako je mýdlové filmy, je běžné modelovat film jako dvourozměrný rozdělovače. Potom je proměnná tloušťka filmu zachycena dvourozměrnou hustotou .

Dynamika fluidních filmů může být popsána následujícím způsobem systém přesných nelineárních hamiltonovských rovnic které jsou v tomto ohledu úplným analogem Euler je neviditelný rovnice dynamika tekutin. Ve skutečnosti se tyto rovnice redukují na Eulerovy dynamické rovnice pro proudění stacionárně Euklidovské prostory.

Výše uvedené se opírá o formalismus tenzory, včetně konvence součtu a zvyšování a snižování tenzorových indexů.

Plně dynamický systém

Zvažte tenký tekutý film který překlenuje stacionární uzavřenou hranici kontury. Nechat být normální součástí rychlostní pole a být protikladný komponenty projekce tangenciální rychlosti. Nechat být kovarianční povrchová derivace, být kovariantní tenzor zakřivení, být smíšený tenzor zakřivení a být jeho stopa, to je střední zakřivení. Dále nechte vnitřní energie hustota na jednotku hmotnosti funkce takže celkem potenciální energie je dána

Tato volba  :

kde je výsledkem hustoty povrchové energie Laplace klasický model pro povrchové napětí:

kde A je celková plocha mýdlového filmu.

Řídící systém čte

Kde -derivát je centrální operátor, původně kvůli Jacques Hadamard, v Počet pohyblivých povrchů. U komprimovatelných modelů jde o kombinaci je obvykle označován tlakem . Výše uvedený řídící systém byl původně formulován v odkazu 1.

Pro Laplaceovu volbu povrchového napětí systém se stává:

Všimněte si, že na plocho () stacionární () rozdělovače, systém se stane

což je přesně klasická Eulerova rovnice dynamiky tekutin.

Zjednodušený systém

Pokud si nevšimneme tangenciálních složek rychlostního pole, jak se to často děje při studiu tenkého tekutého filmu, dojde k následujícímu zjednodušenému systému pouze se dvěma neznámými: dvojrozměrná hustota a normální rychlost :

Reference

1. Přesné nelineární rovnice pro fluidní filmy a správné úpravy konzervačních vět z klasické hydrodynamiky P. Grinfeld, J. Geom. Sym. Phys. 16. 2009