Drude model - Drude model

Elektrony modelu Drude (zde zobrazené modře) se neustále odrážejí mezi těžšími, stacionárními krystalovými ionty (zobrazené červeně).

The Drude model z elektrické vedení byl navržen v roce 1900^[1]^[2] podle Paul Drude vysvětlit transportní vlastnosti elektrony v materiálech (zejména kovech). Model, který je aplikací kinetická teorie, předpokládá, že s mikroskopickým chováním elektronů v pevné látce lze zacházet klasicky a vypadá podobně jako a pinball stroj s mořem neustále chvějících se elektronů, které se odrážejí a znovu odrážejí od těžších, relativně nepohyblivých kladných iontů.

Dva nejvýznamnější výsledky modelu Drude jsou elektronická pohybová rovnice,

{ displaystyle { frac {d} {dt}} langle mathbf {p} (t) rangle = q left ( mathbf {E} + { frac { langle mathbf {p} (t) rangle times mathbf {B}} {m}} right) - { frac { langle mathbf {p} (t) rangle} { tau}},}

a lineární vztah mezi proudová hustota $J$ a elektrické pole $E$ ,

{ displaystyle mathbf {J} = left ({ frac {nq ^ {2} tau} {m}} right) mathbf {E}.}

Tady $t$ je čas, ⟨str⟩ Je průměrná hybnost na elektron a $q, n, m$ , a $τ$ jsou náboj elektronů, hustota čísel, hmotnost a znamená volný čas mezi iontovými srážkami (tj. střední čas, který elektron prošel od poslední srážky). Druhý výraz je obzvláště důležitý, protože vysvětluje semikvantitativně, proč Ohmův zákon, jeden z nejvíce všudypřítomných vztahů v celém elektromagnetismu, by měl platit.^{[poznámka 1]}^[3]^[4]

Model byl rozšířen v roce 1905 o Hendrik Antoon Lorentz (a proto je také známý jako Drude – Lorentzův model)^{[Citace je zapotřebí ]} dát vztah mezi tepelná vodivost a elektrická vodivost kovů (viz Lorenzovo číslo ), a je a klasický Modelka. Později byl v roce 1933 doplněn výsledky kvantové teorie Arnold Sommerfeld a Hans Bethe, vedoucí k Drude – Sommerfeldův model.

Dějiny

Německý fyzik Paul Drude navrhl svůj model v roce 1900, kdy nebylo jasné, zda existují atomy, a nebylo jasné, jaké atomy jsou v mikroskopickém měřítku.^[5] První přímý důkaz atomů prostřednictvím výpočtu Číslo Avogadro z mikroskopického modelu je způsobeno Albert Einstein, první moderní model atomové struktury se datuje do roku 1904 a Rutherfordův model Drude začíná objevem elektronů v roce 1897 J.J. Thomson a předpokládá jako zjednodušující model pevných látek, že převážná část pevné látky je složena z kladně nabitých rozptylových center a moře elektronů tyto rozptylovací centra ponoří, aby byla celková pevná látka z hlediska náboje neutrální.^{[poznámka 2]}

Z moderního hlediska se to odráží v valenční elektron model, kde se moře elektronů skládá pouze z valenčních elektronů,^[6] a ne úplná sada elektronů dostupných v pevné látce a rozptylová centra jsou vnitřní skořápky pevně vázaných elektronů k jádru. Rozptylová centra měla kladný náboj ekvivalentní náboji valenční číslo atomů.^{[Poznámka 3]}Tato podobnost se přidala k některým chybám výpočtu v článku Drude a nakonec poskytla rozumnou kvalitativní teorii pevných látek schopnou v určitých případech dělat dobré předpovědi a v jiných dávat úplně špatné výsledky. Kdykoli se lidé pokusili podat více podstaty a podrobností o povaze rozptylových center, mechanice rozptylu a smyslu délky rozptylu, všechny tyto pokusy skončily neúspěchy.^{[poznámka 4]}

Rozptylové délky vypočítané v modelu Drude jsou řádově 10 až 100 meziatomových vzdáleností a také jim nelze poskytnout správná mikroskopická vysvětlení. V moderní terminologii existují experimenty, ve kterých mohou elektrony cestovat metry v tělese stejným způsobem, jako by cestovaly ve volném prostoru, a to ukazuje, jak čistě klasický model nemůže fungovat.^[7]

Rozptyl Drude není rozptyl elektron-elektron, který je v moderní teorii pouze sekundárním jevem, ani jaderný rozptyl daných elektronů nemůže být nanejvýš absorbován jádry. Model zůstává na mikroskopických mechanismech trochu ztlumený, moderně se tomu říká „primární rozptylový mechanismus“, kde může být základní jev odlišný případ od případu.^{[poznámka 5]}

Tento model poskytuje lepší předpovědi pro kovy, zejména pokud jde o vodivost,^{[poznámka 6]} a někdy se jí říká Drudeova teorie kovů. Je to proto, že kovy mají v zásadě lepší aproximaci k model volných elektronů, tj. kovy nemají komplex pásové struktury, elektrony se chovají v podstatě jako volné částice a kde, v případě kovů, efektivní číslo de-lokalizovaných elektronů je v podstatě stejné jako valenční číslo.^{[poznámka 7]}

Stejná teorie Drude, navzdory nesrovnalostem, které zmátly většinu fyziků té doby, byla hlavní, která byla přijata k vysvětlení pevných látek až do zavedení v roce 1927 Model Drude-Sommerfeld.

Několik dalších náznaků správných přísad moderní teorie pevných látek bylo dáno následujícím:

The Einstein pevný model a Debye model, což naznačuje, že kvantové chování výměny energie v integrálních jednotkách nebo kvant byla základní složkou úplné teorie, zejména s ohledem na konkrétní rozjížďky kde selhala teorie Drude.
V některých případech, konkrétně v Hallově efektu, teorie vytvářela správné předpovědi, pokud místo negativního náboje pro elektrony byl použit pozitivní. To je nyní interpretováno jako díry (tj. Kvazi-částice, které se chovají jako nosiče pozitivního náboje), ale v době Drude to bylo docela nejasné, proč tomu tak bylo.^{[poznámka 8]}

Drude použit Statistiky Maxwell – Boltzmann pro plyn elektronů a pro odvození modelu, který byl v té době jediný dostupný. Nahrazením statistik správnými Statistiky Fermi Dirac, Sommerfeld výrazně zlepšila předpovědi modelu, i když stále má a poloklasické teorie, která nedokázala předpovědět všechny výsledky moderní kvantové teorie pevných látek.^{[poznámka 9]}

V dnešní době Drude a Sommerfeld modely jsou stále významné pro pochopení kvalitativního chování pevných látek a pro získání prvního kvalitativního pochopení konkrétního experimentálního uspořádání.^{[poznámka 10]} Toto je obecná metoda v fyzika pevných látek, kde je typické postupně zvyšovat složitost modelů a poskytovat tak stále přesnější předpovědi. Je méně běžné používat plnohodnotné kvantová teorie pole od prvních principů, vzhledem ke složitosti způsobené velkým počtem částic a interakcí a malou přidanou hodnotou zapojené extra matematiky (s přihlédnutím k přírůstkovému zvýšení numerické přesnosti předpovědí).^[8]

Předpoklady

Drude použil kinetická teorie plynů aplikován na plyn elektronů pohybujících se na pevném pozadí "ionty "; to je v rozporu s obvyklým způsobem použití teorie plynů jako neutrálního zředěného plynu bez pozadí hustota čísel elektronového plynu
${ displaystyle n = { frac {N _ { text {A}} Z rho _ { text {m}}} {A}},}$

kde Z je efektivní počet delokalizovaných elektronů na iont, pro který Drude použil valenční číslo, A je číslo atomové hmotnosti,

{ displaystyle rho _ { text {m}}}

je množství koncentrace látky "iontů" a N_A je Avogadro konstantní.

Vzhledem k průměrnému objemu dostupnému na elektron jako kouli:

{ displaystyle { frac {V} {N}} = { frac {1} {n}} = { frac {4} {3}} pi r _ { rm {s}} ^ {3}. }

Množství

{ displaystyle r _ { text {s}}}

je parametr, který popisuje hustotu elektronů a je často řádově 2 nebo 3krát větší než Bohrův poloměr, pro alkalické kovy pohybuje se od 3 do 6 a u některých sloučenin kovů to může být až 10.

Hustoty jsou řádově stokrát typické pro klasický plyn. Navzdory tomu Drude použil kinetickou teorii zředěného plynu, přičemž kromě kolizí ignoroval interakce elektron-elektron a elektron-ion.^{[poznámka 11]}

Model Drude považuje kov za vytvořený ze souboru kladně nabitých iontů, z nichž byla oddělena řada „volných elektronů“. Mohou být považovány za valenční elektrony atomů, které se delokalizovaly v důsledku elektrického pole ostatních atomů.^{[poznámka 12]}
Model Drude zanedbává interakci na dálku mezi elektronem a ionty nebo mezi elektrony; tomu se říká aproximace nezávislého elektronu.^{[poznámka 12]}
Elektrony se pohybují v přímkách mezi jednou srážkou a druhou; tomu se říká aproximace volných elektronů.^{[poznámka 12]}
Jediná interakce volného elektronu s jeho prostředím byla považována za kolizi s jádrem neproniknutelných iontů.^{[poznámka 12]}
Průměrná doba mezi následnými srážkami takového elektronu je $τ$ , s bez paměti Poissonovo rozdělení. Povaha kolizního partnera elektronu nezáleží na výpočtech a závěrech modelu Drude.^{[poznámka 12]}
Po kolizní události je distribuce rychlosti a směru elektronu určena pouze místní teplotou a je nezávislá na rychlosti elektronu před kolizní událostí.^{[poznámka 12]} Elektron je považován za okamžitě po kolizi v rovnováze s místní teplotou.

Odstranění nebo zdokonalení každého z těchto předpokladů poskytuje propracovanější modely, které mohou přesněji popsat různá tělesa:

Zlepšení hypotézy Statistiky Maxwell – Boltzmann s Statistiky Fermi – Dirac vede k Drude – Sommerfeldův model.
Zlepšení hypotézy Maxwellovy – Boltzmannovy statistiky pomocí Statistiky Bose – Einstein vede k úvahám o specifickém teple celočíselných spinových atomů^[9] a do Kondenzát Bose – Einstein.
Valenční pásový elektron v polovodiči je stále v podstatě volný elektron v ohraničeném energetickém rozsahu (tj. Pouze „vzácná“ kolize s vysokou energií, která implikuje změnu pásma, by se chovala jinak); nezávislá aproximace elektronů je v podstatě stále platná (tj. žádný rozptyl elektron-elektron), kde místo toho hypotéza o lokalizaci událostí rozptylu klesá (laicky řečeno, elektron je a rozptyluje se všude).^[10]

Matematické zpracování

DC pole

Nejjednodušší analýza modelu Drude předpokládá, že elektrické pole $E$ je rovnoměrné i konstantní a že tepelná rychlost elektronů je dostatečně vysoká na to, aby akumulovaly pouze nekonečně malé množství hybnosti $d str$ mezi srážkami, ke kterým dochází v průměru každou $τ$ sekundy.^{[poznámka 1]}

Pak elektron izolovaný v čase $t$ budou v průměru cestovat časem $τ$ od jeho poslední srážky a následně bude mít nashromážděnou hybnost

{ displaystyle Delta langle mathbf {p} rangle = q mathbf {E} tau.}

Během své poslední srážky bude tento elektron stejně pravděpodobný, že se odrazí dopředu i dozadu, takže všechny předchozí příspěvky k hybnosti elektronu mohou být ignorovány, což povede k výrazu

{ displaystyle langle mathbf {p} rangle = q mathbf {E} tau.}

Nahrazení vztahů

{ displaystyle langle mathbf {p} rangle = m langle mathbf {v} rangle,}

{ displaystyle mathbf {J} = nq langle mathbf {v} rangle,}

vede k formulaci výše uvedeného Ohmova zákona:

{ displaystyle mathbf {J} = left ({ frac {nq ^ {2} tau} {m}} right) mathbf {E}.}

Časově proměnná analýza

Drudná odezva hustoty proudu na střídavé elektrické pole.

Dynamika může být také popsána zavedením účinné tažné síly. V čase $t = t 0 + dt$ hybnost elektronu bude:

{ displaystyle mathbf {p} (t_ {0} + dt) = (1 - { frac {dt} { tau}}) [ mathbf {p} (t_ {0}) + mathbf {f} (t) dt + O (dt ^ {2})] + { frac {dt} { tau}} ( mathbf {g} (t_ {0}) + mathbf {f} (t) dt + O (dt ^ {2}))}

kde ${ displaystyle mathbf {f} (t)}$ lze interpretovat jako obecnou sílu (např. Lorentzova síla ) na nosiči nebo konkrétněji na elektronu. ${ displaystyle mathbf {g} (t_ {0})}$ je hybnost nosiče s náhodným směrem po srážce (tj. s hybností ${ displaystyle langle mathbf {g} (t_ {0}) rangle = 0}$ ) a s absolutní kinetickou energií

{ displaystyle { frac { langle | mathbf {g} (t_ {0}) | rangle ^ {2}} {2m}} = { frac {3} {2}} KT}

.

V průměru zlomek ${ displaystyle 1 - { frac {dt} { tau}}}$ elektronů další srážku nezažije, druhá část, která měla srážku v průměru, vyjde v náhodném směru a přispěje k celkové hybnosti pouze na faktor ${ displaystyle { frac {dt} { tau}} mathbf {f} (t) dt}$ což je druhého řádu.^{[poznámka 13]}

S trochou algebry a klesajícími řádovými podmínkami ${ displaystyle dt ^ {2}}$ , výsledkem je obecná diferenciální rovnice

{ displaystyle { frac {d} {dt}} mathbf {p} (t) = mathbf {f} (t) - { frac { mathbf {p} (t)} { tau}}}

Druhý člen je ve skutečnosti zvláštní tažná síla nebo tlumicí člen kvůli účinkům Drude.

Konstantní elektrické pole

V čase $t = t 0 + dt$ průměrná hybnost elektronu bude

{ displaystyle langle mathbf {p} (t_ {0} + dt) rangle = left (1 - { frac {dt} { tau}} right) left ( langle mathbf {p} (t_ {0}) rangle + q mathbf {E} , dt right),}

a pak

{ displaystyle { frac {d} {dt}} langle mathbf {p} (t) rangle = q mathbf {E} - { frac { langle mathbf {p} (t) rangle} { tau}},}

kde $⟨ str ⟩$ označuje průměrnou hybnost a $q$ náboj elektronů. Toto, což je nehomogenní diferenciální rovnice, lze vyřešit, abychom získali obecné řešení

{ displaystyle langle mathbf {p} (t) rangle = q tau mathbf {E} (1-e ^ {- t / tau}) + langle mathbf {p (0)} rangle e ^ {- t / tau}}

pro $str (t)$ . The ustálený stav řešení, $d ⟨ str ⟩ / dt = 0$ , je tedy

{ displaystyle langle mathbf {p} rangle = q tau mathbf {E}.}

Jak je uvedeno výše, průměrná hybnost může souviset s průměrnou rychlostí a to zase může souviset s hustotou proudu,

{ displaystyle langle mathbf {p} rangle = m langle mathbf {v} rangle,}

{ displaystyle mathbf {J} = nq langle mathbf {v} rangle,}

a materiál lze prokázat, že splňuje Ohmův zákon ${ displaystyle mathbf {J} = sigma _ {0} mathbf {E}}$ s DC -vodivost $σ 0$ :

{ displaystyle sigma _ {0} = { frac {nq ^ {2} tau} {m}}}

AC pole

Komplexní vodivost pro různé frekvence za předpokladu, že

τ = 10 -5

a to

σ 0 = 1

.

Model Drude může také předpovídat proud jako reakci na časově závislé elektrické pole s úhlovou frekvencí $ω$ . Komplexní vodivost je

{ displaystyle sigma ( omega) = { frac { sigma _ {0}} {1-i omega tau}} = { frac { sigma _ {0}} {1+ omega ^ { 2} tau ^ {2}}} + i omega tau { frac { sigma _ {0}} {1+ omega ^ {2} tau ^ {2}}}.}

Zde se předpokládá, že:

{ displaystyle E (t) = Re left (E_ {0} e ^ {i omega t} right);}

{ displaystyle J (t) = Re left ( sigma ( omega) E_ {0} e ^ {i omega t} right).}

Ve strojírenství $i$ je obecně nahrazeno $- i$ (nebo $-j$ ) ve všech rovnicích, což odráží fázový rozdíl s ohledem na původ, spíše než zpoždění v časovém bodu pozorování.

Důkaz pomocí pohybové rovnice^{[poznámka 14]}

Dáno

{ displaystyle mathbf {p} (t) = Re left ( mathbf {p} ( omega) e ^ {- i omega t} right)}

{ displaystyle mathbf {E} (t) = Re left ( mathbf {E} ( omega) e ^ {- i omega t} right)}

A výše uvedená pohybová rovnice

{ displaystyle { frac {d} {dt}} mathbf {p} (t) = - e mathbf {E} - { frac { mathbf {p} (t)} { tau}}}

střídání

{ displaystyle -i omega mathbf {p} ( omega) = - e mathbf {E} ( omega) - { frac { mathbf {p} ( omega)} { tau}}}

Dáno

{ displaystyle mathbf {j} = -ne { frac { mathbf {p}} {m}}}

{ displaystyle mathbf {j} (t) = Re left ( mathbf {j} ( omega) e ^ {- i omega t} right)}

{ displaystyle mathbf {j} ( omega) = - ne { frac { mathbf {p} ( omega)} {m}} = { frac {(ne ^ {2} / m) mathbf { E} ( omega)} {1 / tau -i omega}}}

definování komplexní vodivosti z:

{ displaystyle mathbf {j} ( omega) = sigma ( omega) mathbf {E} ( omega)}

My máme:

{ displaystyle sigma ( omega) = { frac { sigma _ {0}} {1-i omega tau}}; sigma _ {0} = { frac {ne ^ {2} tau } {m}}}

Imaginární část naznačuje, že proud zaostává za elektrickým polem. To se děje proto, že elektrony potřebují zhruba čas $τ$ zrychlit v reakci na změnu elektrického pole. Zde je model Drude aplikován na elektrony; lze jej použít jak na elektrony, tak na díry; tj. nosiče kladného náboje v polovodičích. Křivky pro $σ (ω)$ jsou zobrazeny v grafu.

Pokud sinusoidně se měnící elektrické pole s frekvencí ${ displaystyle omega}$ se aplikuje na pevnou látku, negativně nabité elektrony se chovají jako plazma, která má tendenci se pohybovat na určitou vzdálenost X kromě pozitivně nabitého pozadí. Výsledkem je, že vzorek je polarizován a na opačných površích vzorku bude nadměrný náboj.

The dielektrická konstanta vzorku je vyjádřeno jako

{ displaystyle varepsilon = { frac {D} { varepsilon _ {0} E}} = 1 + { frac {P} { varepsilon _ {0} E}}}

kde ${ displaystyle D}$ je elektrický výtlak a ${ displaystyle P}$ je hustota polarizace.

Hustota polarizace je zapsána jako

{ displaystyle P (t) = Re doleva (P_ {0} e ^ {i omega t} doprava)}

a hustota polarizace s n elektronová hustota je

{ displaystyle P = -nex}

Po malé algebře lze vztah mezi hustotou polarizace a elektrickým polem vyjádřit jako

{ displaystyle P = - { frac {ne ^ {2}} {m omega ^ {2}}} E}

Frekvenčně závislá dielektrická funkce tělesa je

{ displaystyle varepsilon ( omega) = 1 - { frac {ne ^ {2}} { varepsilon _ {0} m omega ^ {2}}}}

Důkaz pomocí Maxwellových rovnic^{[poznámka 15]}

Vzhledem k aproximacím pro ${ displaystyle sigma ( omega)}$ zahrnuto výše

nepředpokládali jsme žádné elektromagnetické pole: toto je vždy menší o faktor v / c vzhledem k dalšímu Lorentzovu členu ${ displaystyle - { frac {e mathbf {p}} {mc}} times mathbf {B}}$ v pohybové rovnici
předpokládali jsme prostorově jednotné pole: to platí, pokud pole výrazně nekmitá napříč několika středními volnými dráhami elektronů. To obvykle není tento případ: střední volná cesta je řádově Armstrongova, odpovídající vlnové délce typické pro rentgenové paprsky.

Vzhledem k Maxwellovým rovnicím bez zdrojů (s nimiž se zachází samostatně v rámci plazmové oscilace )

{ displaystyle nabla cdot mathbf {E} = 0; nabla cdot mathbf {B} = 0}

{ displaystyle nabla times mathbf {E} = - { frac {1} {c}} { frac { částečné mathbf {B}} { částečné t}}; nabla times mathbf { B} = { frac {4 pi} {c}} mathbf {j} + { frac {1} {c}} { frac { částečné mathbf {E}} { částečné t}}}

pak

{ displaystyle nabla times nabla times mathbf {E} = - nabla ^ {2} mathbf {E} = { frac {i omega} {c}} nabla times mathbf {B } = { frac {i omega} {c}} vlevo ({ frac {4 pi sigma} {c}} mathbf {E} - { frac {i omega} {c}} mathbf {E} vpravo)}

nebo

{ displaystyle nabla ^ {2} mathbf {E} = { frac { omega ^ {2}} {c ^ {2}}} vlevo (1 + { frac {4 pi i sigma} { omega}} right) mathbf {E}}

což je rovnice elektromagnetického vlnění pro spojité homogenní médium s dielektrickou konstantou ${ displaystyle epsilon ( omega)}$ ve formě helmoltz

{ displaystyle - nabla ^ {2} mathbf {E} = { frac { omega ^ {2}} {c ^ {2}}} epsilon ( omega) mathbf {E}}

kde je index lomu ${ displaystyle n ( omega) = { sqrt { epsilon ( omega)}}}$ a fázová rychlost je ${ displaystyle v_ {p} = { frac {c} {n ( omega)}}}$ proto je komplexní dielektrická konstanta

{ displaystyle epsilon ( omega) = left (1 + { frac {4 pi i sigma} { omega}} right)}

což v případě ${ displaystyle omega tau >> 1}$ lze aproximovat na:

{ displaystyle epsilon ( omega) = left (1 - { frac { omega _ { rm {p}} ^ {2}} { omega ^ {2}}} right); omega _ { rm {p}} ^ {2} = { frac {4 pi ne ^ {2}} {m}}}

Na rezonanční frekvenci ${ displaystyle omega _ { rm {p}}}$ , nazvaný frekvence plazmy, dielektrická funkce mění znaménko z negativního na pozitivní a skutečná část dielektrické funkce klesá na nulu.

{ displaystyle omega _ { rm {p}} = { sqrt { frac {ne ^ {2}} { varepsilon _ {0} m}}}}

Frekvence plazmy představuje a plazmová oscilace rezonance nebo plasmon. Frekvence plazmy může být použita jako přímá míra druhé odmocniny hustoty valenčních elektronů v pevné látce. Pozorované hodnoty jsou v rozumné shodě s touto teoretickou predikcí pro velké množství materiálů.^[11] Pod frekvencí plazmy je dielektrická funkce záporná a pole nemůže proniknout vzorkem. Světlo s úhlovou frekvencí pod plazmovou frekvencí se zcela odráží. Nad frekvencí plazmy mohou světelné vlny proniknout do vzorku, typickým příkladem jsou alkalické kovy, které se stávají průhlednými v rozsahu ultrafialový záření. ^{[poznámka 16]}

Tepelná vodivost kovů

Jeden z nejpozoruhodnějších úspěchů modelu Drude je způsoben předpovědí Wiedemann-Franzův zákon to bylo způsobeno řadou okolností a chyb v článku Drude. Drude konkrétně předpověděl hodnotu Lorenzova čísla:

{ displaystyle { frac {k} { sigma T}} = { frac {3} {2}} vlevo ({ frac {k _ { rm {B}}} {e}} vpravo) ^ {2} = 2,22 krát 10 ^ {- 8} { text {W}} Omega / { text {K}} ^ {2}}

kde se skutečné hodnoty většinou pohybují v rozmezí 2 až 3 pro pokojové teploty mezi 0 a 100 stupni Celsia.^{[poznámka 17]}

Důkaz společně s chybami Drude^{[poznámka 15]}

Nejprve mohou pevné látky vést teplo dané pohybem nosiče náboje a vzhledem k pohybu atomů nebo iontů podle modelu Drude. Vodiče mají nosiče bezplatných nábojů, jmenovitě elektrony, kde izolátory v zásadě nemají, ionty jsou přítomny v obou. Vzhledem k dobré vodivosti elektřiny a tepla z kovů, nikoli z polovodičů, bude vodivost dána nosiči náboje.

Hustotu tepelného proudu definujeme jako tok za jednotku času tepelné energie napříč jednotkovou oblastí kolmou na tok

{ displaystyle mathbf {j} _ {q} = - k nabla mathbf {E}}

kde k je tepelná vodivost Vzhledem k jednorozměrnému modelu závisí energie elektronů na teplotě v místě srážky ${ displaystyle epsilon (T [x '])}$ Pokud si představíme teplotní gradient, kde teplota klesá v kladném směru x, je průměrná rychlost elektronů nulová, ale elektrony přicházející z vyšší velikosti energie budou mít poslední srážku v průměru v ${ displaystyle x-v tau}$ a přijít s energiemi ${ displaystyle varepsilon (T [x-v tau])}$ ty, které přicházejí z nižší velikosti energie, přijdou s energiemi ${ displaystyle varepsilon (T [x + v tau])}$ .

Celkový tok (polovina zleva a polovina zprava) je dána vztahem

{ displaystyle mathbf {j} _ {q} = { frac {1} {2}} nv [ varepsilon (T [x-v tau]) - varepsilon (T [x + v tau])]}

a tedy v limitu střední volné cesty ${ displaystyle l = v tau}$ to je malé množství ${ displaystyle [ varepsilon (T [x-v tau]) - varepsilon (T [x + v tau])] / 2v tau}$ redukuje na derivaci přes x.

A proto

{ displaystyle mathbf {j} _ {q} = nv ^ {2} tau { frac {d varepsilon} {dT}} (- { frac {dT} {dx}})}

Rozšiřování na 3 stupně volnosti ${ displaystyle langle v_ {x} ^ {2} rangle = { frac {1} {3}} langle v ^ {2} rangle}$ a dané ${ displaystyle n { frac {d varepsilon} {dT}} = { frac {N} {V}} { frac {d varepsilon} {dT}} = { frac {1} {V}} { frac {dE} {dT}} = c_ {v}}$

{ displaystyle mathbf {j} _ {q} = { frac {1} {3}} v ^ {2} tau c_ {v} (- nabla T)}

nebo s tepelnou vodivostí

{ displaystyle k = { frac {1} {3}} v ^ {2} tau c_ {v}}

Zde nebudeme brát v úvahu, že rychlost v je také závislá na teplotách, a proto na poloze to významně nepřispěje. Rovněž nebudeme přesně definovat, co je energie přenášená specifickou skupinou elektronů. Potápění vodivostí ${ displaystyle sigma = { frac {ne ^ {2} tau} {m}}}$ a proto se zbavit ${ displaystyle tau}$

{ displaystyle { frac {k} { sigma}} = { frac {1 / 3c_ {v} mv ^ {2}} {ne ^ {2}}}}

Nyní zde drude představil dvě chyby, konkrétně použil klasický vzorec statistické mechaniky ${ displaystyle c_ {v} = { frac {3} {2}} nk _ { rm {B}}}$ což je nadhodnocení faktorem 100 a průměrná energie stále z klasické mechaniky ${ displaystyle { frac {1} {2}} mv ^ {2} = { frac {3} {2}} k _ { rm {B}} T}$ což je podceňování faktoru 100, konkrétně nosiče náboje se pohybují mnohem rychleji než atomy a než si Drude dokázal představit.

Celkově zůstává:

{ displaystyle { frac {k} { sigma T}} = { frac {3} {2}} vlevo ({ frac {k _ { rm {B}}} {e}} vpravo) ^ {2} = 1,11 krát 10 ^ {- 8} { text {W}} Omega / { text {K}} ^ {2}}

To je polovina výsledku Drude výše, vzhledem k tomu, že Drude kvůli podcenění také podcenil vodivost o dvojnásobek. ${ displaystyle tau}$ faktorem 2.

To bylo způsobeno skutečností, že Drude odhadl čas mezi poslední a další srážkou (což je ve skutečnosti

{ displaystyle 2 tau}

) jako střední čas mezi dvěma srážkami (což je místo

{ displaystyle tau}

) pro Poissonovo rozdělení.^{[poznámka 18]}

Termopower

Obecný teplotní gradient při zapnutí v tenké liště spustí proud elektronů směrem ke straně s nižší teplotou, za předpokladu, že se experimenty provádějí způsobem otevřeného obvodu, bude se tento proud akumulovat na této straně a generovat elektrické pole působící proti elektrickému proudu. Toto pole se nazývá termoelektrické pole:

{ displaystyle mathbf {E} = Q nabla T}

a Q se nazývá termopower. Odhady Drude jsou faktorem 100 nízkým vzhledem k přímé závislosti na specifickém teple.

{ displaystyle Q = - { frac {c_ {v}} {3ne}} = - { frac {k _ { rm {B}}} {2e}} = 0,43 krát 10 ^ {- 4} { text {V}} / { text {K}}}

kde typické termočlánky při pokojové teplotě jsou stokrát menší než řád mikrovoltů.^{[poznámka 19]}

Důkaz společně s chybami Drude^{[poznámka 20]}

Z jednoduchého jednorozměrného modelu

{ displaystyle v_ {Q} = { frac {1} {2}} [v (xv tau) -v (x + v tau)] = - v tau { frac {dv} {dx}} = - tau { frac {d} {dx}} vlevo ({ frac {v ^ {2}} {2}} vpravo)}

Rozšiřování na 3 stupně volnosti ${ displaystyle langle v_ {x} ^ {2} rangle = { frac {1} {3}} langle v ^ {2} rangle}$

{ displaystyle mathbf {v_ {Q}} = - { frac { tau} {6}} { frac {dv ^ {2}} {dT}} ( nabla T)}

Střední rychlost způsobená elektrickým polem (vzhledem k pohybové rovnici výše v rovnováze)

{ displaystyle mathbf {v_ {E}} = - { frac {e mathbf {E} tau} {m}}}

Chcete-li mít celkový aktuální null ${ displaystyle mathbf {v_ {E}} + mathbf {v_ {Q}} = 0}$ my máme

{ displaystyle Q = - { frac {1} {3e}} { frac {d} {dT}} left ({ frac {mv ^ {2}} {2}} right) = - { frac {c_ {v}} {3ne}}}

A jako obvykle v případě Drude ${ displaystyle c_ {v} = { frac {3} {2}} nk _ { rm {B}}}$

{ displaystyle Q = - { frac {k _ { rm {B}}} {2e}} = 0,43 krát 10 ^ {- 4} { text {V}} / { text {K}}}

kde typické termočlánky při pokojové teplotě jsou stokrát menší než řád mikrovoltů.^{[poznámka 19]}

Drzá reakce v reálných materiálech

Charakteristické chování Drude kovu v časové nebo frekvenční doméně, tj. Exponenciální relaxace s časovou konstantou $τ$ nebo frekvenční závislost pro $σ (ω)$ výše se nazývá Drudeova odpověď. U běžného jednoduchého skutečného kovu (např. Sodík, stříbro nebo zlato při pokojové teplotě) se takové chování experimentálně nenachází, protože charakteristická frekvence $τ -1$ je v infračerveném kmitočtovém rozsahu, kde jsou další funkce, které nejsou uvažovány v modelu Drude (např struktura pásma ) Hrát důležitou roli.^[12] Ale u některých dalších materiálů s kovovými vlastnostmi byla nalezena vodivost závislá na frekvenci, která úzce navazuje na jednoduchou předpověď Drude pro $σ (ω)$ . Jedná se o materiály, u nichž je rychlost relaxace $τ -1$ je na mnohem nižších frekvencích.^[12] To je jistý případ dopovaný polovodič monokrystaly,^[13] vysoká mobilita dvourozměrné elektronové plyny,^[14] a těžké fermionové kovy.^[15]

Přesnost modelu

Historicky vzorec Drude byl nejprve odvozen omezeným způsobem, a to za předpokladu, že nosiče náboje tvoří a klasický ideální plyn. Arnold Sommerfeld považován za kvantovou teorii a rozšířil teorii na model volných elektronů, kam následují dopravci Distribuce Fermi – Dirac. Předpovězená vodivost je stejná jako v modelu Drude, protože nezávisí na formě elektronického rozdělení rychlosti.

Model Drude poskytuje velmi dobré vysvětlení DC a AC vodivosti v kovech Hallův efekt a magnetorezistence^{[poznámka 13]} v kovech blízkých pokojové teplotě. Model také částečně vysvětluje Wiedemann – Franzův zákon z roku 1853. Velmi však nadhodnocuje elektronické tepelné kapacity kovů. Ve skutečnosti mají kovy a izolátory zhruba stejnou tepelnou kapacitu při pokojové teplotě.

Model lze také použít na kladné (díry) nosiče náboje.

Ve svém původním článku udělal Drude chybu a odhadl Lorenzovo číslo Wiedemannova – Franzova zákona na dvojnásobek toho, co by klasicky mělo být, takže se zdá, že ve shodě s experimentální hodnotou pro konkrétní teplo je stokrát menší než klasická předpověď, ale tento faktor se ruší střední elektronickou rychlostí, která je asi stokrát větší než Drudeův výpočet.^{[poznámka 21]}

Viz také

Citace

^ ^A ^b Ashcroft & Mermin 1976, s. 6–7
^ Ashcroft & Mermin 1976, s. 2–3
^ Ashcroft & Mermin 1976, str. 3 strana poznámka 4 a obr. 1.1
^ Ashcroft & Mermin 1976, str. 3 strana poznámka 7 a obr. 1.2
^ Ashcroft & Mermin 1976, s. 3, strana 6
^ Ashcroft & Mermin 1976, s. 8, tabulka 1.2
^ Ashcroft & Mermin 1976, s. 5 tabulka 1.1
^ Ashcroft & Mermin 1976, str. 15 tabulka 1.4
^ Ashcroft & Mermin 1976, s. 4
^ Ashcroft & Mermin 1976, s. 2
^ Ashcroft & Mermin 1976, s. 4
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F Ashcroft & Mermin 1976, s. 2–6
^ ^A ^b Ashcroft & Mermin 1976, str. 11
^ Ashcroft & Mermin 1976, s. 16
^ ^A ^b Ashcroft & Mermin 1976, s. 17
^ Ashcroft & Mermin 1976, str. 18 tabulka 1.5
^ Ashcroft & Mermin 1976, s. 18 tabulka 1.6
^ Ashcroft & Mermin 1976, s. 25 prob 1
^ ^A ^b Ashcroft & Mermin 1976, s. 25
^ Ashcroft & Mermin 1976, s. 24
^ Ashcroft & Mermin 1976, str. 23

Reference

^ Drude, Paul (1900). „Zur Elektronentheorie der Metalle“. Annalen der Physik. 306 (3): 566–613. Bibcode:1900AnP ... 306..566D. doi:10.1002 / a19003060312.^{[mrtvý odkaz ]}
^ Drude, Paul (1900). „Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Galvanomagnetische und thermomagnetische Effecte“. Annalen der Physik. 308 (11): 369–402. Bibcode:1900AnP ... 308..369D. doi:10.1002 / a19003081102.^{[mrtvý odkaz ]}
^ Edward M. Purcell (1965). Elektřina a magnetismus. McGraw-Hill. str.117–122. ISBN 978-0-07-004908-6.
^ David J. Griffiths (1999). Úvod do elektrodynamiky. Prentice-Hall. str.289. ISBN 978-0-13-805326-0.
^ „Niels bohr Nobel Lecture“ (PDF).
^ Springer, ed. (2009). ""Zdarma "Elektrony v pevných látkách". Volné elektrony v pevné látce. str. 135–158. doi:10.1007/978-3-540-93804-0_6. ISBN 978-3-540-93803-3.
^ „Detail nepružných středních volných cest v rozsahu kinetické energie pod 250 eV, pro Ag, Al, GaAs, NA, PMMA a Si“. obr. 3.5.
^ „Fyzika pevných látek, Lecture 3: The Drude Theory and Sommerfeld Free Electron“.
^ Einstein (1924). Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse (ed.). „Kvantová teorie ideálního monatomického plynu“: 261–267. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
^ „Fyzika pevných látek, přednáška 17: Dynamika elektronů v pásmech“.
^ C. Kittel (1953–1976). Úvod do fyziky pevných látek. Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-49024-1.
^ ^A ^b M. Dressel; M. Scheffler (2006). "Ověření odpovědi Drude". Annalen der Physik. 15 (7–8): 535–544. Bibcode:2006AnP ... 518..535D. doi:10.1002 / andp.200510198.
^ M. van Exter; D. Grischkowsky (1990). "Nosná dynamika elektronů a děr v mírně dopovaném křemíku" (PDF). Fyzický přehled B. 41 (17): 12140–12149. Bibcode:1990PhRvB..4112140V. doi:10.1103 / PhysRevB.41.12140. hdl:11244/19898. PMID 9993669.
^ P. J. Burke; I. B. Spielman; J. P. Eisenstein; L. N. Pfeiffer; K. W. West (2000). „Vysokofrekvenční vodivost vysoce pohyblivého dvourozměrného elektronového plynu“ (PDF). Aplikovaná fyzikální písmena. 76 (6): 745–747. Bibcode:2000ApPhL..76..745B. doi:10.1063/1.125881.
^ M. Scheffler; M. Dressel; M. Jourdan; H. Adrian (2005). "Extrémně pomalá Drudeova relaxace korelovaných elektronů". Příroda. 438 (7071): 1135–1137. Bibcode:2005 Natur.438.1135S. doi:10.1038 / nature04232. PMID 16372004. S2CID 4391917.

Všeobecné

Ashcroft, Neil; Mermin, N. David (1976). Fyzika pevných látek. New York: Holt, Rinehart a Winston. ISBN 978-0-03-083993-1.

externí odkazy

Heaney, Michael B (2003). „Elektrická vodivost a odpor“. V Webster, John G. (ed.). Elektrické měření, zpracování signálu a displeje. CRC Press. ISBN 9780203009406.

[:0-3] A ^b Ashcroft & Mermin 1976, s. 6–7

[:8-7] Ashcroft & Mermin 1976, s. 2–3

[:9-9] Ashcroft & Mermin 1976, str. 3 strana poznámka 4 a obr. 1.1

[:10-10] Ashcroft & Mermin 1976, str. 3 strana poznámka 7 a obr. 1.2

[:11-12] Ashcroft & Mermin 1976, s. 3, strana 6

[:12-13] Ashcroft & Mermin 1976, s. 8, tabulka 1.2

[:13-14] Ashcroft & Mermin 1976, s. 5 tabulka 1.1

[:14-15] Ashcroft & Mermin 1976, str. 15 tabulka 1.4

[:15-16] Ashcroft & Mermin 1976, s. 4

[:7-17] Ashcroft & Mermin 1976, s. 2

[:5-19] Ashcroft & Mermin 1976, s. 4

[:1-20] A ^b ^C ^d ^E ^F Ashcroft & Mermin 1976, s. 2–6

[:2-23] A ^b Ashcroft & Mermin 1976, str. 11

[:16-24] Ashcroft & Mermin 1976, s. 16

[:17-25] A ^b Ashcroft & Mermin 1976, s. 17

[:18-27] Ashcroft & Mermin 1976, str. 18 tabulka 1.5

[:19-28] Ashcroft & Mermin 1976, s. 18 tabulka 1.6

[:20-29] Ashcroft & Mermin 1976, s. 25 prob 1

[:22-30] A ^b Ashcroft & Mermin 1976, s. 25

[:21-31] Ashcroft & Mermin 1976, s. 24

[36] Ashcroft & Mermin 1976, str. 23

[1] Drude, Paul (1900). „Zur Elektronentheorie der Metalle“. Annalen der Physik. 306 (3): 566–613. Bibcode:1900AnP ... 306..566D. doi:10.1002 / a19003060312.^{[mrtvý odkaz ]}

[2] Drude, Paul (1900). „Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Galvanomagnetische und thermomagnetische Effecte“. Annalen der Physik. 308 (11): 369–402. Bibcode:1900AnP ... 308..369D. doi:10.1002 / a19003081102.^{[mrtvý odkaz ]}

[4] Edward M. Purcell (1965). Elektřina a magnetismus. McGraw-Hill. str.117–122. ISBN 978-0-07-004908-6.

[5] David J. Griffiths (1999). Úvod do elektrodynamiky. Prentice-Hall. str.289. ISBN 978-0-13-805326-0.

[6] „Niels bohr Nobel Lecture“ (PDF).

[8] Springer, ed. (2009). ""Zdarma "Elektrony v pevných látkách". Volné elektrony v pevné látce. str. 135–158. doi:10.1007/978-3-540-93804-0_6. ISBN 978-3-540-93803-3.

[11] „Detail nepružných středních volných cest v rozsahu kinetické energie pod 250 eV, pro Ag, Al, GaAs, NA, PMMA a Si“. obr. 3.5.

[18] „Fyzika pevných látek, Lecture 3: The Drude Theory and Sommerfeld Free Electron“.

[einstein24-21] Einstein (1924). Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse (ed.). „Kvantová teorie ideálního monatomického plynu“: 261–267. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[22] „Fyzika pevných látek, přednáška 17: Dynamika elektronů v pásmech“.

[Kittel2-26] C. Kittel (1953–1976). Úvod do fyziky pevných látek. Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-49024-1.

[Dressel-32] A ^b M. Dressel; M. Scheffler (2006). "Ověření odpovědi Drude". Annalen der Physik. 15 (7–8): 535–544. Bibcode:2006AnP ... 518..535D. doi:10.1002 / andp.200510198.

[33] M. van Exter; D. Grischkowsky (1990). "Nosná dynamika elektronů a děr v mírně dopovaném křemíku" (PDF). Fyzický přehled B. 41 (17): 12140–12149. Bibcode:1990PhRvB..4112140V. doi:10.1103 / PhysRevB.41.12140. hdl:11244/19898. PMID 9993669.

[34] P. J. Burke; I. B. Spielman; J. P. Eisenstein; L. N. Pfeiffer; K. W. West (2000). „Vysokofrekvenční vodivost vysoce pohyblivého dvourozměrného elektronového plynu“ (PDF). Aplikovaná fyzikální písmena. 76 (6): 745–747. Bibcode:2000ApPhL..76..745B. doi:10.1063/1.125881.

[35] M. Scheffler; M. Dressel; M. Jourdan; H. Adrian (2005). "Extrémně pomalá Drudeova relaxace korelovaných elektronů". Příroda. 438 (7071): 1135–1137. Bibcode:2005 Natur.438.1135S. doi:10.1038 / nature04232. PMID 16372004. S2CID 4391917.

[1]

[2]

[poznámka 1]

[3]

[4]

[5]

[poznámka 2]

[6]

[Poznámka 3]

[poznámka 4]

[7]

[poznámka 5]

[poznámka 6]

[poznámka 7]

[poznámka 8]

[poznámka 9]

[poznámka 10]

[8]

[poznámka 11]

[poznámka 12]

[9]

[10]

[poznámka 13]

[poznámka 14]

[poznámka 15]

[11]

[poznámka 16]

[poznámka 17]

[poznámka 18]

[poznámka 19]

[poznámka 20]

[12]

[13]

[14]

[15]

[poznámka 21]

Atomové modely
Jednotlivé atomy	Daltonův model (Model kulečníkové koule) Thomsonův model (Model švestkového pudingu) Lewisův model (Model krychlového atomu) Nagaoka model (Saturnský model) Rutherfordův model (Planetární model) Bohrův model (Rutherford – Bohrův model) Bohr – Sommerfeldův model (Rafinovaný Bohrův model) Gryzińského model (Model s volným pádem) Schrodingerův model (Elektronový cloudový model) Dirac-Gordonův model (Relativistický atomový model)
Atomy v pevné látky	Einstein pevný Debye model Drude model Volný elektronový model Model téměř volného elektronu Struktura pásma Teorie funkční hustoty
Atomy v tekutiny	Ideální plyn Van der Waalsův plyn Newtonovská tekutina Kondenzát Bose – Einstein
Vědci	Felix Bloch Niels Bohr Satyendra Nath Bose John Dalton Peter Debye Paul Dirac Paul Drude Albert Einstein Walter Gordon Michał Gryziński Irving Langmuir Gilbert N. Lewis Hantaro Nagaoka Isaac Newton Ernest Rutherford Erwin Schrödinger Arnold Sommerfeld J. J. Thomson Johannes Diderik van der Waals
Kniha: Atomové modely Kategorie: Atomy Portál: Fyzika / Chemie