Distribuovaný systém parametrů - Distributed parameter system

v teorie řízení, a distribuovaný systém parametrů (na rozdíl od a koncentrovaný systém parametrů ) je Systém jehož státní prostor je nekonečný-dimenzionální. Takové systémy jsou proto také známé jako nekonečně dimenzionální systémy. Typickými příklady jsou systémy popsané v parciální diferenciální rovnice nebo zpožďovací diferenciální rovnice.

Lineární časově neměnné distribuované systémy parametrů

Abstraktní evoluční rovnice

Diskrétní čas

S U, X a Y Hilbertovy prostory a ${displaystyle A,}$ ∈ L(X), ${displaystyle B,}$ ∈ L(U, X), ${displaystyle C,}$ ∈ L(X, Y) a ${displaystyle D,}$ ∈ L(U, Y) následující rozdílové rovnice určit diskrétní čas lineární časově invariantní systém:

{displaystyle x (k + 1) = Sekera (k) + Bu (k),}

{displaystyle y (k) = Cx (k) + Du (k),}

s ${displaystyle x,}$ (stát) posloupnost s hodnotami v X, ${displaystyle u,}$ (vstup nebo ovládací prvek) posloupnost s hodnotami v U a ${displaystyle y,}$ (výstup) posloupnost s hodnotami v Y.

Kontinuální čas

Případ spojitého času je podobný případu diskrétního času, ale nyní se místo diferenciálních rovnic uvažují diferenciální rovnice:

{displaystyle {dot {x}} (t) = Axe (t) + Bu (t),}

,

{displaystyle y (t) = Cx (t) + Du (t),}

.

Přidanou komplikací však nyní je, že k zahrnutí zajímavých fyzikálních příkladů, jako jsou parciální diferenciální rovnice a zpoždění diferenciálních rovnic, do tohoto abstraktního rámce, je třeba vzít v úvahu neomezené operátory. Obvykle A se předpokládá, že vygeneruje a silně spojitá poloskupina na státním prostoru X. Za předpokladu B, C a D být omezenými operátory pak již umožňuje zahrnutí mnoha zajímavých fyzických příkladů,^[1] ale zahrnutí mnoha dalších zajímavých fyzikálních příkladů vynutí neomezenost B a C také.

Příklad: parciální diferenciální rovnice

Parciální diferenciální rovnice s ${displaystyle t> 0}$ a ${displaystyle xi v [0,1]}$ dána

{displaystyle {frac {částečné} {částečné t}} w (t, xi) = - {frac {částečné} {částečné xi}} w (t, xi) + u (t),}

{displaystyle w (0, xi) = w_ {0} (xi),}

{displaystyle w (t, 0) = 0,}

{displaystyle y (t) = int _ {0} ^ {1} w (t, xi), dxi,}

zapadá do výše popsaného rámce rovnice abstraktní evoluce. Vstupní prostor U a výstupní prostor Y jsou oba vybrány jako množina komplexních čísel. Státní prostor X je vybrán být L²(0, 1). Operátor A je definován jako

{displaystyle Ax = -x ', ~~~ D (A) = left {xin X: x {ext {absolutně spojitý}}, x'in L ^ {2} (0,1) {ext {and}} x (0) = 0 večer}.}

Může se to ukázat^[2] že A generuje silně spojité poloskupina na X. Omezené operátory B, C a D jsou definovány jako

{displaystyle Bu = u, ~~~ Cx = int _ {0} ^ {1} x (xi), dxi, ~~~ D = 0.}

Příklad: diferenciální rovnice zpoždění

Diferenční rovnice zpoždění

{displaystyle {dot {w}} (t) = w (t) + w (t- au) + u (t),}

{displaystyle y (t) = w (t),}

zapadá do výše popsaného rámce rovnice abstraktní evoluce. Vstupní prostor U a výstupní prostor Y jsou oba vybrány jako množina komplexních čísel. Státní prostor X je vybrán jako součin komplexních čísel s L²(−τ, 0). Operátor A je definován jako

{displaystyle A {egin {pmatrix} r fend {pmatrix}} = {egin {pmatrix} r + f (- au) f'end {pmatrix}}, ~~~ D (A) = left {{egin { pmatrix} r fend {pmatrix}} v X: f {ext {absolutně kontinuální}}, f'in L ^ {2} ([- au, 0]) {ext {and}} r = f (0) ight }.}

Může se to ukázat^[3] že A generuje silně spojitou poloskupinu na X. Ohraničené operátory B, C a D jsou definovány jako

{displaystyle Bu = {egin {pmatrix} u 0end {pmatrix}}, ~~~ C {egin {pmatrix} r fend {pmatrix}} = r, ~~~ D = 0.}

Přenosové funkce

Stejně jako v případě konečných rozměrů přenosová funkce je definována prostřednictvím Laplaceova transformace (nepřetržitý čas) nebo Z-transformace (diskrétní čas). Zatímco v konečném dimenzionálním případě je přenosová funkce vlastní racionální funkcí, nekonečná dimenze stavového prostoru vede k iracionálním funkcím (které jsou však stále holomorfní ).

Diskrétní čas

V diskrétním čase je přenosová funkce dána z hlediska parametrů stavového prostoru znakem ${displaystyle D + součet _ {k = 0} ^ {infty} CA ^ {k} Bz ^ {k}}$ a je holomorfní na disku se středem v počátku.^[4] V případě 1 /z patří do souboru resolventů A (což je případ na případně menším disku se středem v počátku) přenosová funkce se rovná ${displaystyle D + Cz (I-zA) ^ {- 1} B}$ . Zajímavým faktem je, že jakákoli funkce, která je holomorfní v nule, je přenosovou funkcí nějakého systému diskrétního času.

Kontinuální čas

Li A generuje silně spojitou poloskupinu a B, C a D jsou tedy ohraničené operátory^[5] přenosová funkce je dána z hlediska parametrů stavového prostoru znakem ${displaystyle D + C (sI-A) ^ {- 1} B}$ pro s se skutečnou částí větší než exponenciální růst vázaný na poloskupinu generovanou A. V obecnějších situacích nemusí mít tento vzorec v jeho současné podobě ani smysl, ale vhodné zobecnění tohoto vzorce stále platí.^[6]Pro získání snadného výrazu pro přenosovou funkci je často lepší použít Laplaceovu transformaci v dané diferenciální rovnici, než použít vzorce stavového prostoru, jak je znázorněno níže na příkladech uvedených výše.

Přenosová funkce pro příklad parciální diferenciální rovnice

Nastavení počáteční podmínky ${displaystyle w_ {0}}$ rovná nule a označuje Laplaceovy transformace vzhledem k t velkými písmeny získáme z výše uvedené parciální diferenciální rovnice

{displaystyle sW (s, xi) = - {frac {d} {dxi}} W (s, xi) + U (s),}

{displaystyle W (s, 0) = 0,}

{displaystyle Y (s) = int _ {0} ^ {1} W (s, xi), dxi.}

Toto je nehomogenní lineární diferenciální rovnice s ${displaystyle xi}$ jako proměnná, s jako parametr a počáteční podmínka nula. Řešení je ${displaystyle W (s, xi) = U (s) (1-e ^ {- sxi}) / s}$ . Dosazením do rovnice pro Y a integrace dává ${displaystyle Y (s) = U (s) (e ^ {- s} + s-1) / s ^ {2}}$ takže přenosová funkce je ${displaystyle (e ^ {- s} + s-1) / s ^ {2}}$ .

Přenosová funkce pro příklad diferenciální rovnice zpoždění

Podobně jako v příkladu parciální diferenciální rovnice je přenosová funkce pro příklad rovnice zpoždění^[7] ${displaystyle 1 / (s-1-e ^ {- s})}$ .

Ovladatelnost

V případě nekonečné dimenze existuje několik neekvivalentních definic ovladatelnost které se pro konečně-dimenzionální případ zhroutí do jedné obvyklé představy o ovladatelnosti. Tři nejdůležitější koncepty ovladatelnosti jsou:

Přesná ovladatelnost,
Přibližná ovladatelnost,
Nulová ovladatelnost.

Ovládatelnost v diskrétním čase

Důležitou roli hrají mapy ${displaystyle Phi _ {n}}$ které mapují množinu všech U hodnotné sekvence do X a jsou dány ${displaystyle Phi _ {n} u = součet _ {k = 0} ^ {n} A ^ {k} Bu_ {k}}$ . Výklad je takový ${displaystyle Phi _ {n} u}$ je stav, kterého je dosaženo použitím vstupní sekvence u když je počáteční podmínka nulová. Systém se nazývá

přesně kontrolovatelné v čase n pokud je rozsah ${displaystyle Phi _ {n}}$ rovná se X,
přibližně kontrolovatelné v čase n pokud je rozsah ${displaystyle Phi _ {n}}$ je hustá v X,
null kontrolovatelné v čase n pokud je rozsah ${displaystyle Phi _ {n}}$ zahrnuje řadu Aⁿ.

Ovládatelnost v nepřetržitém čase

V ovladatelnosti systémů spojitého času mapa ${displaystyle Phi _ {t}}$ dána ${displaystyle int _ {0} ^ {t} {m {e}} ^ {As} Bu (s), ds}$ hraje tu roli ${displaystyle Phi _ {n}}$ hraje v diskrétním čase. Prostor řídících funkcí, na které tento operátor působí, však nyní ovlivňuje definici. Obvyklá volba je L²(0, ∞;U), prostor (tříd ekvivalence) U-hodnota čtvercových integrovatelných funkcí na intervalu (0, ∞), ale další možnosti, jako je L¹(0, ∞;U) jsou možné. Různé pojmy kontrolovatelnosti lze definovat, jakmile je doména ${displaystyle Phi _ {t}}$ je vybrán. Systém se nazývá^[8]

přesně kontrolovatelné v čase t pokud je rozsah ${displaystyle Phi _ {t}}$ rovná se X,
přibližně kontrolovatelné v čase t pokud je rozsah ${displaystyle Phi _ {t}}$ je hustá v X,
null kontrolovatelné v čase t pokud je rozsah ${displaystyle Phi _ {t}}$ zahrnuje řadu ${displaystyle {m {e}} ^ {At}}$ .

Pozorovatelnost

Stejně jako v případě konečných rozměrů pozorovatelnost je dvojí pojem kontrolovatelnosti. V případě nekonečno-dimenzionálního existuje několik různých představ o pozorovatelnosti, které se v případě konečných rozměrů shodují. Tři nejdůležitější jsou:

Přesná pozorovatelnost (známá také jako nepřetržitá pozorovatelnost),
Přibližná pozorovatelnost,
Pozorovatelnost konečného stavu.

Pozorovatelnost v diskrétním čase

Důležitou roli hrají mapy ${displaystyle Psi _ {n}}$ která mapa X do prostoru všech Y hodnotné sekvence a jsou dány ${displaystyle (Psi _ {n} x) _ {k} = CA ^ {k} x}$ -li k ≤ n a nula pokud k > n. Výklad je takový ${displaystyle Psi _ {n} x}$ je zkrácený výstup s počáteční podmínkou X a kontrolní nula. Systém se nazývá

přesně pozorovatelný v čase n pokud existuje k_n > 0 takových ${displaystyle | Psi _ {n} x | geq k_ {n} | x |}$ pro všechny X ∈ X,
přibližně pozorovatelný v čase n -li ${displaystyle Psi _ {n}}$ je injekční,
konečný stav pozorovatelný v čase n pokud existuje k_n > 0 takových ${displaystyle | Psi _ {n} x | geq k_ {n} | A ^ {n} x |}$ pro všechny X ∈ X.

Pozorovatelnost v nepřetržitém čase

V pozorovatelnosti systémů spojitého času mapa ${displaystyle Psi _ {t}}$ dána ${displaystyle (Psi _ {t}) (s) = C {m {e}} ^ {As} x}$ pro s∈ [0, t] a nula pro s> t hraje tu roli ${displaystyle Psi _ {n}}$ hraje v diskrétním čase. Prostor funkcí, na který tento operátor mapuje, však nyní ovlivňuje definici. Obvyklá volba je L²(0, ∞, Y), prostor (tříd ekvivalence) Y-hodnota čtvercových integrovatelných funkcí na intervalu (0,∞), ale další možnosti, jako je L¹(0, ∞, Y) jsou možné. Různé pojmy pozorovatelnosti lze definovat, jakmile je jednou z domén ${displaystyle Psi _ {t}}$ je vybrán. Systém se nazývá^[9]

přesně pozorovatelný v čase t pokud existuje k_t > 0 takových ${displaystyle | Psi _ {t} x | geq k_ {t} | x |}$ pro všechny X ∈ X,
přibližně pozorovatelný v čase t -li ${displaystyle Psi _ {t}}$ je injekční,
konečný stav pozorovatelný v čase t pokud existuje k_t > 0 takových ${displaystyle | Psi _ {t} x | geq k_ {t} | {m {e}} ^ {At} x |}$ pro všechny X ∈ X.

Dualita mezi ovladatelností a pozorovatelností

Stejně jako v případě konečných rozměrů jsou ovladatelnost a pozorovatelnost dvojí pojmy (alespoň pokud jde o doménu ${displaystyle Phi}$ a společná doména ${displaystyle Psi}$ obvyklý L² je provedena volba). Dualita různých konceptů je duální:^[10]

Přesná ovladatelnost ↔ Přesná pozorovatelnost,
Přibližná ovladatelnost ↔ Přibližná pozorovatelnost,
Nulová ovladatelnost ↔ Pozorovatelnost konečného stavu.

Viz také

Poznámky

^ Opona a Zwart
^ Příklad opony a Zwarta 2.2.4
^ Opona a Zwartova věta 2.4.6
^ Toto je matematická konvence, zdá se, že inženýři dávají přednost přenosovým funkcím, aby byly holomorfní v nekonečnu; toho je dosaženo nahrazením z od 1 /z
^ Opona a Zwart Lemma 4.3.6
^ Staffansova věta 4.6.7
^ Příklad opony a Zwarta 4.3.13
^ Definice Tucsnaku 11.1.1
^ Definice Tucsnak 6.1.1
^ Tucsnakova věta 11.2.1

Reference

Opona, Ruth; Zwart, Hans (1995), Úvod do teorie nekonečně dimenzionálních lineárních systémůSpringer
Tucsnak, Marius; Weiss, George (2009), Pozorování a řízení pro poloskupiny operátorů, Birkhauser
Staffans, Olof (2005), Dobře navržené lineární systémy, Cambridge University Press
Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer (1999), Stabilita a stabilizace nekonečných dimenzionálních systémů s aplikacemiSpringer
Lasiecka, Ireno; Triggiani, Roberto (2000), Teorie řízení pro parciální diferenciální rovnice, Cambridge University Press
Bensoussan, Alain; Da Prato, Giuseppe; Delfour, Michel; Mitter, Sanjoy (2007), Reprezentace a řízení nekonečných dimenzionálních systémů (druhé vydání), Birkhauser

[1] Opona a Zwart

[2] Příklad opony a Zwarta 2.2.4

[3] Opona a Zwartova věta 2.4.6

[4] Toto je matematická konvence, zdá se, že inženýři dávají přednost přenosovým funkcím, aby byly holomorfní v nekonečnu; toho je dosaženo nahrazením z od 1 /z

[5] Opona a Zwart Lemma 4.3.6

[6] Staffansova věta 4.6.7

[7] Příklad opony a Zwarta 4.3.13

[8] Definice Tucsnaku 11.1.1

[9] Definice Tucsnak 6.1.1

[10] Tucsnakova věta 11.2.1

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]