Věta o křižovatce - Intersection theorem - Wikipedia

v projektivní geometrie, an tečka o průniku nebo věta o výskytu je prohlášení týkající se struktura výskytu - skládající se z bodů, linií a případně výškových objektů a jejich výskytu - společně s dvojicí objektů $A$ a $B$ (například bod a přímka). „teorém "uvádí, že kdykoli sada objektů vyhovuje incidencím (tj. lze identifikovat s objekty struktury dopadu tak, aby byl zachován dopad), pak objekty $A$ a $B$ musí být také incident. Věta o průniku nemusí být nutně pravdivá ve všech projektivních geometriích; je to vlastnost, kterou některé geometrie uspokojí, ale jiné ne.

Například, Desarguesova věta lze určit pomocí následující struktury výskytu:

Body: ${ displaystyle {A, B, C, a, b, c, P, Q, R, O }}$
Řádky: ${ displaystyle {AB, AC, BC, ab, ac, bc, Aa, Bb, Cc, PQ }}$
Výskyty (kromě zřejmých, jako např ${ displaystyle (A, AB)}$ ): ${ displaystyle {(O, Aa), (O, Bb), (O, Cc), (P, BC), (P, bc), (Q, AC), (Q, ac), (R, AB), (R, ab) }}$

Důsledkem je tedy ${ displaystyle (R, PQ)}$ —To bod $R$ je incident s linkou $PQ$ .

Slavné příklady

Desarguesova věta drží v projektivní rovině $P$ kdyby a jen kdyby $P$ je projektivní rovina nad některými dělící prsten (skewfield} $D$ — ${ displaystyle P = mathbb {P} _ {2} D}$ . Potom se nazývá projektivní rovina desarguesian Věta o Amitsur a Bergman uvádí, že v kontextu desarguesovských projektivních rovin existuje pro každou teorém o křižovatce racionální identita takové, že letadlo $P$ splňuje teorém křižovatky tehdy a jen tehdy, když dělící kruh $D$ uspokojuje racionální identitu.

Pappusova šestihranná věta drží v desarguesovské projektivní rovině ${ displaystyle mathbb {P} _ {2} D}$ kdyby a jen kdyby $D$ je pole; odpovídá identitě ${ displaystyle forall a, b v D, quad a cdot b = b cdot a}$ .
Fanoův axiom (což uvádí určitou křižovatku ne stane se) ${ displaystyle mathbb {P} _ {2} D}$ kdyby a jen kdyby $D$ má charakteristický ${ displaystyle neq 2}$ ; odpovídá identitě $A + A = 0$ .

Reference

Rowen, Louis Halle, ed. (1980). Polynomiální identity v prstencové teorii. Čistá a aplikovaná matematika. 84. Akademický tisk. doi:10.1016 / s0079-8169 (08) x6032-5. ISBN 9780125998505.
Amitsur, S.A. (1966). "Racionální identity a aplikace v algebře a geometrii". Journal of Algebra. 3 (3): 304–359. doi:10.1016/0021-8693(66)90004-4.