Kategorická teorie - Categorical theory
v matematická logika, a teorie je kategorický pokud má přesně jednu Modelka (až do izomorfismu ).[1] Na takovou teorii lze pohlížet jako definování jeho model, který jedinečně charakterizuje jeho strukturu.
v logika prvního řádu, pouze teorie s a konečný model může být kategorický. Logika vyššího řádu obsahuje kategorické teorie s nekonečný Modelka. Například druhého řádu Peanoovy axiomy jsou kategorické a mají jedinečný model, jehož doménou je soubor přirozených čísel ℕ.
v teorie modelů je pojem kategorické teorie upřesněn s ohledem na mohutnost. Teorie je κ-kategorický (nebo kategorický v κ), pokud má právě jeden model mohutnosti κ až do izomorfismu. Morleyova věta o kategoričnosti je věta o Michael D. Morley (1965 ) s uvedením, že pokud a teorie prvního řádu v počitatelném jazyce je v některých kategorický nespočet mohutnost, pak je kategorický ve všech nepočitatelných kardinalitách.
Saharon Shelah (1974 ) rozšířil Morleyovu větu na nespočetné jazyky: pokud má jazyk mohutnost κ a teorie je kategorická u některých nespočetných kardinálů větších nebo rovných κ pak je kategorický ve všech kardinalitách větší nežκ.
Historie a motivace
Oswald Veblen v roce 1904 definoval teorii jako kategorický pokud jsou všechny její modely izomorfní. Vyplývá to z výše uvedené definice a Löwenheim – Skolemova věta že nějaké teorie prvního řádu s modelem nekonečna mohutnost nemůže být kategorický. Jeden je pak okamžitě veden k jemnější představě o κ-kategoričnost, která žádá: pro které kardinály κ existuje přesně jeden model mohutnosti κ dané teorie T až do izomorfismu? To je hluboká otázka a významného pokroku bylo dosaženo až v roce 1954, kdy Jerzy Łoś si toho všiml, alespoň pro dokončit teorie T přes počítatelné jazyky s alespoň jedním nekonečným modelem mohl najít jen tři způsoby T být κ-kategorické u některýchκ:
- T je naprosto kategorický, tj. T je κ-kategorické pro všechny nekonečné kardinálové κ.
- T je nespočetně kategorické, tj. T je κ-kategorické tehdy a jen tehdy κ je nespočet kardinál.
- T je počítatelně kategorický, tj. T je κ-kategorické tehdy a jen tehdy κ je počítatelný kardinál.
Jinými slovy, poznamenal, že ve všech případech, na které si vzpomněl, κ-kategoričnost u kteréhokoli implikovaného nespočetného kardinála κ-kategoričnost u všech ostatních nespočetných kardinálů. Toto pozorování podnítilo velké množství výzkumu do šedesátých let a nakonec vyvrcholilo Michael Morley slavný výsledek, že to jsou ve skutečnosti jediné možnosti. Teorie byla následně rozšířena a upřesněna Saharon Shelah v 70. letech a později, což vedlo k teorie stability a Shelahov obecnější program teorie klasifikace.
Příklady
Není mnoho přírodních příkladů teorií, které jsou kategorické u nějakého nespočetného kardinála. Mezi známé příklady patří:
- Čistá teorie identity (bez funkcí, konstant, predikátů jiných než „=“ nebo axiomů).
- Klasickým příkladem je teorie algebraicky uzavřeno pole daného charakteristický. Kategoricita ano ne říci, že všechna algebraicky uzavřená pole charakteristiky 0 tak velká jako komplexní čísla C jsou stejné jako C; pouze tvrdí, že jsou izomorfní jako pole na C. Z toho vyplývá, že i když je dokončen p-adic uzávěry Cp jsou všechny izomorfní jako pole C, mohou (a ve skutečnosti mají) zcela odlišné topologické a analytické vlastnosti. Teorie algebraicky uzavřených polí dané charakteristiky je ne kategorický v ω (spočítatelný nekonečný kardinál); existují modely stupně transcendence 0, 1, 2, ..., ω.
- Vektorové prostory přes dané spočetné pole. To zahrnuje abelianské skupiny daného primární exponent (v podstatě stejné jako vektorové prostory nad konečným polem) a dělitelný abelianské skupiny bez torze (v podstatě stejné jako vektorové prostory nad racionální ).
- Teorie množiny přirozená čísla s nástupnickou funkcí.
Existují také příklady teorií, které jsou kategorické ω ale není kategorický u nespočetných kardinálů. Nejjednodušším příkladem je teorie vztah ekvivalence s přesně dvěma třídy ekvivalence, oba jsou nekonečné. Dalším příkladem je teorie hustý lineární objednávky bez koncových bodů; Cantor dokázal, že jakýkoli takový spočetný lineární řád je izomorfní s racionálními čísly.
Vlastnosti
Každá kategorická teorie je kompletní. Konverzace však neplatí.[2]
Jakákoli teorie T kategorický u nějakého nekonečného kardinála κ je velmi blízko dokončení. Přesněji řečeno Łoś – Vaughtův test uvádí, že pokud uspokojivá teorie nemá žádné konečné modely a je kategorická u nějakého nekonečného kardinála κ přinejmenším rovný mohutnosti jeho jazyka, pak je teorie úplná. Důvodem je, že všechny nekonečné modely jsou ekvivalentní některým modelům kardinálů κ podle Löwenheim – Skolemova věta, a tak jsou všechny rovnocenné, protože teorie je kategorická κ. Teorie je proto úplná, protože všechny modely jsou ekvivalentní. Předpoklad, že teorie nemá žádné konečné modely, je nutný.[3]
Viz také
Poznámky
- ^ Někteří autoři definují teorii jako kategorickou, pokud jsou všechny její modely izomorfní. Tato definice činí nekonzistentní teorii kategorickou, protože nemá žádné modely, a proto toto kritérium vakuově splňuje.
- ^ Mummert, Carl (2014-09-16). „Rozdíl mezi úplností a kategoričností“.
- ^ Marker (2002), str. 42
Reference
- Chang, Chen Chung; Keisler, H. Jerome (1990) [1973], Teorie modelu„Studium logiky a základy matematiky, Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3
- Corcoran, Johne (1980), „Kategoricity“, Dějiny a filozofie logiky, 1 (1–2): 187–207, doi:10.1080/01445348008837010
- Hodges, Wilfrid, „Teorie modelu prvního řádu“, Stanfordská encyklopedie filozofie (vydání z léta 2005), Edward N. Zalta (ed.).
- Marker, David (2002), Teorie modelu: Úvod, Postgraduální texty z matematiky, 217, New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98760-6, Zbl 1003.03034
- Morley, Michael (1965), „Kategoricita v moci“, Transakce Americké matematické společnosti Transaction of the American Mathematical Society, sv. 114, č. 2, 114 (2): 514–538, doi:10.2307/1994188, ISSN 0002-9947, JSTOR 1994188
- Palyutin, E.A. (2001) [1994], „Kategoricita v mohutnosti“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Shelah, Saharon (1974), „Kategoricita nespočetných teorií“, Proceedings of the Tarski Symposium (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXV, Univ. Of California, Berkeley, Kalifornie, 1971)Sborník sympozií z čisté matematiky, 25„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, s. 187–203, doi:10.1090 / pspum / 025/0373874, ISBN 9780821814253, PAN 0373874
- Shelah, Saharon (1990) [1978], Teorie klasifikace a počet neizomorfních modelů„Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (2. vyd.), Elsevier, ISBN 978-0-444-70260-9 (IX, 1,19, str. 49)
- Veblen, Oswald (1904), „Systém axiomů pro geometrii“, Transakce Americké matematické společnosti Transaction of the American Mathematical Society, sv. 5, č. 3, 5 (3): 343–384, doi:10.2307/1986462, ISSN 0002-9947, JSTOR 1986462