Dehnsovo lemma - Dehns lemma - Wikipedia
v matematika, Dehnovo lemma tvrdí, že a po částech lineární mapa a disk do 3-potrubí s mapou jedinečnost nastaveno na disku interiér, znamená existenci další po částech lineární mapy disku, kterou je vkládání a je totožný s originálem na hranice disku.
Tato věta byla myšlenka být prokázána Max Dehn (1910 ), ale Hellmuth Kneser (1929, strana 260) našel mezeru v důkazu. Stav Dehnova lemmatu zůstal pochybný až do Christos Papakyriakopoulos (1957, 1957b ) pomocí práce Johansson (1938) to prokázal svou „konstrukcí věže“. Také zobecnil teorém na věta o smyčce a koule věta.
Konstrukce věže
Papakyriakopoulos dokázal Dehnovo lemma pomocí a věž z pokrývající prostory. Brzy poté Arnold Shapiro a J.H.C. Whitehead (1958 ) poskytl podstatně jednodušší důkaz, který prokázal silnější výsledek. Jejich důkaz použil konstrukci věže Papakyriakopoulos, ale s dvojitým krytem, a to následovně:
- Krok 1: Opakovaně vezměte připojený dvojitý kryt a pravidelné sousedství obrazu disku k vytvoření věže prostorů, z nichž každý je spojeným dvojitým krytem toho pod ním. Mapu z disku lze zvednout do všech fází této věže. Každý dvojitý kryt zjednodušuje singularity vložení disku, takže je možné vzít pouze konečný počet takových dvojitých krytů a horní úroveň této věže nemá žádné připojené dvojité kryty.
- Krok 2. Pokud 3-rozdělovač nemá připojené dvojité kryty, pak všechny jeho hraniční součásti jsou 2 koule. Zejména nejvyšší úroveň věže má tuto vlastnost a v tomto případě je snadné upravit mapu z disku tak, aby se jednalo o vložení.
- Krok 3. Vložení disku lze nyní zatlačit dolů z věže dvojitých krytů jeden krok po druhém, vyříznutím a vložením 2-disku.
Reference
- Bing, R.H. (1983), Geometrická topologie 3-potrubí, Americká matematická společnost, str. 183, ISBN 0-8218-1040-5
- Dehn, Max (1910), „Über die Topologie des dreidimensionalen Raumes“, Matematika. Ann., 69: 137–168, doi:10.1007 / BF01455155
- Jaco, William; Rubinstein, Hyam (1989), „PL Equivariant Surgery and Invariant Decompositions of 3-Manifolds“, Pokroky v matematice, 73 (2): 149–191, doi:10.1016/0001-8708(89)90067-4
- Johansson, Ingebrigt (1935), „Über singuläre Elementarflächen und das Dehnsche Lemma“, Mathematische Annalen, 110: 312–330, doi:10.1007 / BF01448029
- Johansson, Ingebrigt (1938), „Teil 2, Thematische Annalen“, Mathematische Annalen, 115: 658–669, doi:10.1007 / BF01448964
- Kneser, Hellmuth (1929), „Geschlossene Flächen in dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten“, Jber. Deutsch. Matematika. Verein., 38: 248–260
- Papakyriakopoulos, C. D. (1957), „O Dehnově lemu a asférickosti uzlů“, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 43 (1): 169–172, Bibcode:1957PNAS ... 43..169P, doi:10.1073 / pnas.43.1.169, PAN 0082671, PMC 528404, PMID 16589993
- Papakyriakopoulos, C. D. (1957b), „O Dehnově lemu a asférickosti uzlů“, Ann. Matematika., 66 (1): 1–26, doi:10.2307/1970113, JSTOR 1970113, PAN 0090053, PMC 528404
- Rubinstein, J.H. (2003), Dehnovo lemma a věta o smyčce„Nízkodimenzionální topologie, nová studia pokročilé matematiky, svazek 3 International Press, s. 61–68
- Stallings, J.R. (1971), Skupinová teorie a trojrozměrná potrubí, Yale University Press, ISBN 0-300-01397-3
- Shapiro, Arnold; Whitehead, J.H.C. (1958), „Důkaz a rozšíření Dehnova lemmatu“, Býk. Dopoledne. Matematika. Soc., AMS, 64 (4): 174–178, doi:10.1090 / S0002-9904-1958-10198-6