Věta o smyčce - Loop theorem

V matematice, v topologie z 3 rozdělovače, věta o smyčce je zobecněním Dehnovo lemma. Věta o smyčce byla poprvé prokázána Christos Papakyriakopoulos v roce 1956, spolu s Dehnovým lematem a Sférická věta.

Jednoduchá a užitečná verze věty o smyčce uvádí, že pokud pro nějaký 3-dimenzionální potrubí M s hranicí ∂M tam je mapa

${displaystyle fcolon (D ^ {2}, částečný D ^ {2}) o (M, částečný M)}$

s ${displaystyle f | částečný D ^ {2}}$ není nullhomotopic v ${displaystyle částečný M}$, pak je vložení se stejnou vlastností.

Následující verze věty o smyčce, kvůli John Stallings, je uveden ve standardních pojednáních o 3 různých verzích (například Hempel nebo Jaco):

Nechat ${displaystyle M}$ být 3-potrubí a nechte ${displaystyle S}$být spojeným povrchem v ${displaystyle částečný M}$. Nechat ${displaystyle Nsubset pi _ {1} (S)}$ být normální podskupina takhle ${displaystyle mathop {mathrm {ker}} (pi _ {1} (S) o pi _ {1} (M)) - Neq emptyset}$.Nechat

${displaystyle fcolon D ^ {2} o M}$

být průběžná mapa takhle

${displaystyle f (částečný D ^ {2}) podmnožina S}$

a

${displaystyle [f | částečný D ^ {2}] otin N.}$

Pak existuje vkládání

${displaystyle gcolon D ^ {2} o M}$

takhle

${displaystyle g (částečný D ^ {2}) podmnožina S}$

a

${displaystyle [g | částečný D ^ {2}] otin N.}$

Navíc pokud začínáme mapou F v obecné poloze, pak pro jakékoli sousedství U množiny singularity F, můžeme najít takové G s obrazem ležícím uvnitř unie obrazu F a U.

Stallingův důkaz využívá adaptaci „konstrukce věže“ Papakyriakopoulose díky Whiteheadovi a Shapirovi. „Věž“ označuje speciální sekvenci krytin, jejichž cílem je zjednodušit výtahy dané mapy. Stejnou konstrukci věže použil Papakyriakopoulos k prokázání koule teorém (3-potrubí), který uvádí, že netriviální mapa koule do 3-variátoru znamená existenci netriviální vkládání koule. K dispozici je také verze Dehnova lemmatu pro minimální disky kvůli Meeks a S.-T. Yau, která se také zásadně spoléhá na konstrukci věže.

U první verze věty o smyčce existuje důkaz nepoužívající konstrukci věže. To bylo v podstatě provedeno před 30 lety uživatelem Friedhelm Waldhausen jako součást jeho řešení slovní úlohy pro Haken potrubí; ačkoli to poznal, dal důkaz věty o smyčce, nenapsal podrobný důkaz. Podstatnou složkou tohoto důkazu je koncept Haken hierarchie. Důkazy později napsal autor: Klaus Johannson, Marc Lackenby a Iain Aitchison s Hyam Rubinstein.

Reference

• W. Jaco, Přednášky o topologii 3-variet, A.M.S. série regionálních konferencí v matematice 43.
• J. Hempel, 3 rozdělovače, Princeton University Press 1976.
• Hatcher, Poznámky k základní 3-varietní topologii, dostupný online