Funkce Conway base 13 - Conway base 13 function

The Funkce Conway base 13 je funkce vytvořená Brity matematik John H. Conway jako protiklad k konverzovat z věta o střední hodnotě. Jinými slovy, jedná se o funkci, která uspokojí konkrétní vlastnost střední hodnoty —V libovolném intervalu (A, b), funkce F bere každou hodnotu mezi F(A) a F(b) - ale není kontinuální.

Účel

Funkce Conway base 13 byla vytvořena jako součást aktivity „produkce“: v tomto případě bylo úkolem vytvořit jednoduše srozumitelnou funkci, která v každém intervalu přebírá každou skutečnou hodnotu, to znamená, že je všude surjektivní funkce.^[1] Je tedy diskontinuální v každém bodě.

Náčrt definice

• Každé skutečné číslo X mohou být zastoupeny v základna 13 jedinečným kanonickým způsobem; taková zobrazení používají číslice 0–9 plus tři další symboly, řekněme {A, B, C}. Například číslo 54349589 má reprezentaci základny-13 B34C128.
• Pokud místo {A, B, C} uvážlivě zvolíme symboly {+, -,.}, Stane se něco zajímavého: některá čísla v základně 13 budou mít reprezentace, které Koukni se jako dobře tvarovaná desetinná místa v základně 10: například číslo 54349589 má reprezentaci základny-13 −34.128. Většina čísel samozřejmě nebude srozumitelná tímto způsobem; například číslo 3629265 má zastoupení base-13 9+0−−7.
• Funkce Conway's base-13 nabývá reálného čísla X a považuje svoji reprezentaci základny-13 za posloupnost symbolů {0, 1, ..., 9, +, −, .}. Pokud z nějaké pozice dále vypadá reprezentace jako dobře vytvořené desítkové číslo r, pak F(X) = r. V opačném případě, F(X) = 0. (Dobře tvarovaný znamená, že začíná symbolem + nebo -, obsahuje přesně jeden symbol desetinné čárky a jinak obsahuje pouze číslice 0–9). Například pokud číslo X má zastoupení 8++2.19+0−−7+3.141592653..., pak F(X) = +3.141592653....

Definice

Funkce Conway base-13 je funkce ${ displaystyle f: mathbb {R} do mathbb {R}}$ definováno následovně. Napište argument ${ displaystyle x}$ hodnota jako tridecimal ("decimal" v základna 13 ) s použitím 13 symbolů jako „číslic“: 0, 1, ..., 9, A, B, C.; neměla by být žádná koncová C opakující se. Může existovat úvodní znaménko a někde bude tridecimální bod, který odděluje celočíselnou část od zlomkové; oba by měli být v pokračování ignorováni. Tyto „číslice“ lze považovat za hodnoty s hodnotami 0 až 12; Společnost Conway původně používala číslice „+“, „-“ a „.“ místo A, B, C a podtržené všechny „13 číslic“ základny-13, aby byly jasně odlišeny od obvyklých základů-10 číslic a symbolů.

• Pokud od určitého okamžiku dále, tridecimální expanze ${ displaystyle x}$ je ve formě ${ displaystyle Ax_ {1} x_ {2} tečky x_ {n} Cy_ {1} y_ {2} tečky}$ kde jsou všechny číslice ${ displaystyle x_ {i}}$ a ${ displaystyle y_ {j}}$ jsou v ${ displaystyle {0, tečky, 9 }}$, pak ${ displaystyle f (x) = x_ {1} tečky x_ {n} .y_ {1} y_ {2} tečky}$ jako obvykle základna-10 notace.
• Podobně, pokud tridecimální expanze ${ displaystyle x}$ končí s ${ displaystyle Bx_ {1} x_ {2} tečky x_ {n} Cy_ {1} y_ {2} tečky}$, pak ${ displaystyle f (x) = - x_ {1} tečky x_ {n} .y_ {1} y_ {2} tečky}$.
• V opačném případě, ${ displaystyle f (x) = 0}$.

Například:

• ${ displaystyle f ( mathrm {12345A3C14.159} dots _ {13}) = f ( mathrm {A3C14.159} dots _ {13}) = 3,14159 dots}$,
• ${ displaystyle f ( mathrm {B1C234} _ {13}) = - 1,234}$,
• ${ displaystyle f ( mathrm {1C234A567} _ {13}) = 0}$.

Vlastnosti

• Podle věty o střední hodnotě každá spojitá reálná funkce ${ displaystyle f}$ má vlastnost střední hodnoty: na každém intervalu (A, b), funkce ${ displaystyle f}$ prochází každým bodem mezi ${ displaystyle f (a)}$ a ${ displaystyle f (b)}$. Funkce Conway base-13 ukazuje, že konverzace je nepravdivá: splňuje vlastnost střední hodnoty, ale není spojitá.
• Ve skutečnosti funkce Conway base-13 uspokojuje mnohem silnější vlastnost střední hodnoty - v každém intervalu (A, b), funkce ${ displaystyle f}$ prochází každé skutečné číslo. Výsledkem je, že uspokojuje mnohem silnější vlastnost diskontinuity - je diskontinuální všude.
• Abychom dokázali, že funkce Conway base-13 splňuje tuto silnější mezilehlou vlastnost, nechme (A, b) být interval, nechť C být bodem v tomto intervalu a nechat r být jakékoli skutečné číslo. Vytvořte kódování base-13 r takto: počínaje reprezentací základny 10 r, nahradit desetinnou čárku písmenem C a označit znaménko r předplacením buď A (pokud r je pozitivní) nebo B (pokud r je negativní) na začátek. Podle definice funkce Conway base-13 výsledný řetězec ${ displaystyle { hat {r}}}$ má vlastnost, která ${ displaystyle f ({ hat {r}}) = r}$. Navíc, žádný řetězec base-13, který končí na ${ displaystyle { hat {r}}}$ bude mít tuto vlastnost. Pokud tedy vyměníme zadní konec C s ${ displaystyle { hat {r}}}$, výsledné číslo bude mít F(C') = r. Zavedením této úpravy dostatečně daleko podél tridecimálního znázornění ${ displaystyle c}$, můžete zajistit, aby nové číslo ${ displaystyle c '}$ bude stále ležet v intervalu ${ displaystyle (a, b)}$. To dokazuje, že pro jakékoli číslo r, v každém intervalu můžeme najít bod ${ displaystyle c '}$ takhle ${ displaystyle f (c ') = r}$.
• Funkce Conway base-13 je tedy všude diskontinuální: skutečná funkce, která je spojitá v X musí být místně ohraničené v X, tj. musí být ohraničen nějakým intervalem kolem X. Ale jak je uvedeno výše, funkce Conway base-13 je neomezená v každém intervalu kolem každého bodu; proto to nikde není spojité.

Viz také

• Funkce Darboux

Reference

• Omán, Greg (2014). „Konverze věty o střední hodnotě: od Conway přes Cantor po kosety a dále“ (PDF). Missouri J. Math. Sci. 26 (2): 134–150. Archivováno (PDF) od originálu 2016-08-20.