Kretschmann skalární - Kretschmann scalar - Wikipedia

V teorii Lorentzian potrubí, zejména v souvislosti s aplikacemi pro obecná relativita, Kretschmann skalární je kvadratický skalární invariant. To bylo představeno Erich Kretschmann.^[1]

Definice

Kretschmannův invariant je^[1][2]

${ displaystyle K = R_ {abcd} , R ^ {abcd}}$

kde ${ displaystyle R_ {abcd}}$ je Riemannův tenzor zakřivení (v této rovnici Konvence Einsteinova součtu byl použit a bude použit v celém článku). Protože se jedná o součet čtverců tenzorových složek, je to a kvadratický neměnný.

Pro použití systému počítačové algebry má smysl podrobnější psaní:

${ displaystyle K = R_ {abcd} , R ^ {abcd} = součet _ {a = 0} ^ {3} součet _ {b = 0} ^ {3} součet _ {c = 0} ^ {3} sum _ {d = 0} ^ {3} R_ {abcd} , R ^ {abcd} { text {with}} R ^ {abcd} = sum _ {i = 0} ^ {3 } g ^ {ai} , sum _ {j = 0} ^ {3} g ^ {bj} , sum _ {k = 0} ^ {3} g ^ {ck} , sum _ { ell = 0} ^ {3} g ^ {d ell} , R_ {ijk ell}. ,}$

Příklady

Pro Schwarzschildova černá díra hmoty ${ displaystyle M}$, Kretschmannův skalární je^[1]

${ displaystyle K = { frac {48G ^ {2} M ^ {2}} {c ^ {4} r ^ {6}}} ,.}$

kde ${ displaystyle G}$ je gravitační konstanta.

Pro generála FRW časoprostor s metrikou

${ displaystyle ds ^ {2} = - mathrm {d} t ^ {2} + {a (t)} ^ {2} left ({ frac { mathrm {d} r ^ {2}} { 1-kr ^ {2}}} + r ^ {2} , mathrm {d} theta ^ {2} + r ^ {2} sin ^ {2} theta , mathrm {d} varphi ^ {2} vpravo),}$

Kretschmannův skalár je

${ displaystyle K = { frac {12 left (a (t) ^ {2} a '' (t) ^ {2} + left (k + a '(t) ^ {2} right) ^ {2} right)} {a (t) ^ {4}}}.}$

Vztah k jiným invarianty

Další možný invariant (který byl pro některé použit například při psaní gravitačního členu Lagrangian) gravitace vyššího řádu teorie) je

${ displaystyle C_ {abcd} , C ^ {abcd}}$

kde ${ displaystyle C_ {abcd}}$ je Weyl tenzor, tenzor konformního zakřivení, který je také zcela stopovou částí Riemannova tenzoru. v ${ displaystyle d}$ rozměry to souvisí s Kretschmannovým invariantem od^[3]

${ displaystyle R_ {abcd} , R ^ {abcd} = C_ {abcd} , C ^ {abcd} + { frac {4} {d-2}} R_ {ab} , R ^ {ab} - { frac {2} {(d-1) (d-2)}} R ^ {2}}$

kde ${ displaystyle R ^ {ab}}$ je Ricciho zakřivení tenzor a ${ displaystyle R}$ je Ricci skalární zakřivení (získáno po sobě jdoucími stopami Riemannova tenzoru). Ricciho tenzor mizí ve vakuových časoprostorech (jako je výše zmíněné Schwarzschildovo řešení), a proto se zde shodují Riemannův tenzor a Weylův tenzor, stejně jako jejich invarianty.

Kretschmannův skalární a Chern-Pontryagin skalární

${ displaystyle R_ {abcd} , {{} ^ { star} ! R} ^ {abcd}}$

kde ${ displaystyle {{} ^ { star} R} ^ {abcd}}$ je vlevo dvojí Riemannova tenzoru, jsou matematicky analogické (do určité míry fyzicky analogické) se známými invarianty tenzor elektromagnetického pole

${ displaystyle F_ {ab} , F ^ {ab}, ; ; F_ {ab} , {{} ^ { star} ! F} ^ {ab}}$

Viz také

• Carminati-McLenaghan invarianty, pro sadu invarianty.
• Klasifikace elektromagnetických polí, pro více informací o invariantech tenzoru elektromagnetického pole.
• Zakřivení neměnné, pro zakřivení invarianty v Riemannově a pseudo-Riemannově geometrii obecně.
• Zakřivení neměnné (obecná relativita).
• Ricciho rozklad, pro více informací o Riemannově a Weylově tenzoru.

Reference

Další čtení

• Grøn, Øyvind; Hervik, Sigbjørn (2007), Einsteinova obecná teorie relativity, New York: Springer, ISBN  978-0-387-69199-2CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• B. F. Schutz (2009), První kurz obecné relativity (druhé vydání), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-88705-2CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A. (1973), Gravitace, W. H. Freeman, ISBN  978-0-7167-0344-0CS1 maint: ref = harv (odkaz)