Bel rozklad - Bel decomposition

v semi-Riemannova geometrie, Bel rozklad, vzato s ohledem na konkrétní časová shoda, je způsob rozbití Riemannův tenzor a pseudo-Riemannovo potrubí do tenzorů nižšího řádu s vlastnostmi podobnými elektrické pole a magnetické pole. Takový rozklad částečně popsal Alphonse Matte v roce 1953^[1] a tím Lluis Bel v roce 1958.^[2]

Tento rozklad je zvláště důležitý v obecná relativita.^{[Citace je zapotřebí ]} To je případ čtyřrozměrného Lorentzian potrubí, u nichž existují pouze tři kusy s jednoduchými vlastnostmi a individuálními fyzickými interpretacemi.

Rozklad Riemannova tenzoru

Ve čtyřech rozměrech Belův rozklad Riemannova tenzoru, s ohledem na časové pole podobné vektorové jednotce ${ displaystyle { vec {X}}}$ , ne nutně geodetické nebo nadpovrchové ortogonální, se skládá ze tří částí:

the elektrogravitický tenzor ${ displaystyle E [{ vec {X}}] _ {ab} = R_ {ambn} , X ^ {m} , X ^ {n}}$ $E [{ vec {X}}] _ {{ab}} = R _ {{ambn}} , X ^ {m} , X ^ {n}$
- Také známý jako přílivový tenzor. Lze jej fyzicky interpretovat jako přílivové napětí na malé kousky hmotného objektu (na které mohou působit i jiné fyzické síly) nebo slapové zrychlení malého oblaku zkušební částice v vakuové řešení nebo elektrovakuové řešení.
the magnetogravitický tenzor ${ displaystyle B [{ vec {X}}] _ {ab} = {{} ^ { star} R} _ {ambn} , X ^ {m} , X ^ {n}}$ $B [{ vec {X}}] _ {{ab}} = {{} ^ { star} R} _ {{ambn}} , X ^ {m} , X ^ {n}$
- Lze je fyzicky interpretovat jako specifikaci spin-spin síly na točení kousků hmoty, jako je točení zkušební částice.
the topogravitický tenzor ${ displaystyle L [{ vec {X}}] _ {ab} = {{} ^ { star} R ^ { star}} _ {ambn} , X ^ {m} , X ^ {n }}$ $L [{ vec {X}}] _ {{ab}} = {{} ^ { star} R ^ { star}} _ {{ambn}} , X ^ {m} , X ^ { n}$
- Lze interpretovat jako představující řezové zakřivení pro prostorovou část pole rámce.

Protože to jsou všechno příčný (tj. promítnuté na prvky prostorové nadroviny kolmé na naše vektorové pole časové jednotky), mohou být reprezentovány jako lineární operátory na trojrozměrných vektorech nebo jako reálné matice tři po třech. Jsou respektive symetrické, bez stopy, a symetrické (6,8,6 lineárně nezávislé komponenty, celkem 20). Píšeme-li tyto operátory jako E, B, L respektive hlavní invarianty Riemannova tenzoru se získají takto:

${ displaystyle K_ {1} / 4}$ je stopa E² + L² - 2 B B^T,
${ displaystyle -K_ {2} / 8}$ je stopa B ( E - L ),
${ displaystyle K_ {3} / 8}$ je stopa E L - B².

Viz také

Reference

^ Matte, A. (1953), „Sur de nouvelles solutions oscillatoires des equations de la gravitation“, Umět. J. Math., 5: 1, doi:10.4153 / CJM-1953-001-3
^ Bel, L. (1958), „Définition d'une densité d'énergie et d'un état de záření totale généralisée“, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, 246: 3015

Tento relativita související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[1] Matte, A. (1953), „Sur de nouvelles solutions oscillatoires des equations de la gravitation“, Umět. J. Math., 5: 1, doi:10.4153 / CJM-1953-001-3

[2] Bel, L. (1958), „Définition d'une densité d'énergie et d'un état de záření totale généralisée“, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, 246: 3015

[1]

[2]