v matematika , konkrétněji v konvexní geometrie , smíšený objem je způsob, jak přiřadit nezáporné číslo k r { displaystyle r} -tuple z konvexní těla v n { displaystyle n} -dimenzionální prostor. Tento počet závisí na velikosti a tvaru těles a na jejich vzájemné vzájemné orientaci.
Definice Nechat K. 1 , K. 2 , … , K. r { displaystyle K_ {1}, K_ {2}, tečky, K_ {r}} být konvexní těla v R n { displaystyle mathbb {R} ^ {n}} a zvažte funkci
F ( λ 1 , … , λ r ) = PROTI Ó l n ( λ 1 K. 1 + ⋯ + λ r K. r ) , λ i ≥ 0 , { displaystyle f ( lambda _ {1}, ldots, lambda _ {r}) = mathrm {Vol} _ {n} ( lambda _ {1} K_ {1} + cdots + lambda _ {r} K_ {r}), qquad lambda _ {i} geq 0,} kde Sv n { displaystyle { text {Vol}} _ {n}} znamená n { displaystyle n} -dimenzionální objem a jeho argument je Minkowského součet zmenšených konvexních těl K. i { displaystyle K_ {i}} . Jeden to může ukázat F { displaystyle f} je homogenní polynom stupně n { displaystyle n} , proto jej lze zapsat jako
F ( λ 1 , … , λ r ) = ∑ j 1 , … , j n = 1 r PROTI ( K. j 1 , … , K. j n ) λ j 1 ⋯ λ j n , { displaystyle f ( lambda _ {1}, ldots, lambda _ {r}) = součet _ {j_ {1}, ldots, j_ {n} = 1} ^ {r} V (K_ { j_ {1}}, ldots, K_ {j_ {n}}) lambda _ {j_ {1}} cdots lambda _ {j_ {n}},} kde funkce PROTI { displaystyle V} jsou symetrické. Pro konkrétní funkci indexu j ∈ { 1 , … , r } n { displaystyle j in {1, ldots, r } ^ {n}} koeficient PROTI ( K. j 1 , … , K. j n ) { displaystyle V (K_ {j_ {1}}, tečky, K_ {j_ {n}})} se nazývá smíšený objem K. j 1 , … , K. j n { displaystyle K_ {j_ {1}}, tečky, K_ {j_ {n}}} .
Vlastnosti Smíšený objem je jednoznačně určen následujícími třemi vlastnostmi: PROTI ( K. , … , K. ) = Sv n ( K. ) { displaystyle V (K, tečky, K) = { text {Vol}} _ {n} (K)} ; PROTI { displaystyle V} je symetrický ve svých argumentech; PROTI { displaystyle V} je multilineární: PROTI ( λ K. + λ ′ K. ′ , K. 2 , … , K. n ) = λ PROTI ( K. , K. 2 , … , K. n ) + λ ′ PROTI ( K. ′ , K. 2 , … , K. n ) { displaystyle V ( lambda K + lambda 'K', K_ {2}, tečky, K_ {n}) = lambda V (K, K_ {2}, tečky, K_ {n}) + lambda 'V (K', K_ {2}, tečky, K_ {n})} pro λ , λ ′ ≥ 0 { displaystyle lambda, lambda ' geq 0} .Smíšený objem je nezáporný a monotónně se zvyšuje v každé proměnné: PROTI ( K. 1 , K. 2 , … , K. n ) ≤ PROTI ( K. 1 ′ , K. 2 , … , K. n ) { displaystyle V (K_ {1}, K_ {2}, ldots, K_ {n}) leq V (K_ {1} ', K_ {2}, ldots, K_ {n})} pro K. 1 ⊆ K. 1 ′ { displaystyle K_ {1} subseteq K_ {1} '} . Nerovnost Alexandrov – Fenchel, kterou objevil Aleksandr Danilovič Aleksandrov a Werner Fenchel : PROTI ( K. 1 , K. 2 , K. 3 , … , K. n ) ≥ PROTI ( K. 1 , K. 1 , K. 3 , … , K. n ) PROTI ( K. 2 , K. 2 , K. 3 , … , K. n ) . { displaystyle V (K_ {1}, K_ {2}, K_ {3}, ldots, K_ {n}) geq { sqrt {V (K_ {1}, K_ {1}, K_ {3} , ldots, K_ {n}) V (K_ {2}, K_ {2}, K_ {3}, ldots, K_ {n})}}.} Četné geometrické nerovnosti, například Brunn – Minkowského nerovnost pro konvexní těla a Minkowského první nerovnost , jsou speciální případy nerovnosti Alexandrov – Fenchel. Quermassintegrals Nechat K. ⊂ R n { displaystyle K podmnožina mathbb {R} ^ {n}} být konvexní tělo a nechat B = B n ⊂ R n { displaystyle B = B_ {n} podmnožina mathbb {R} ^ {n}} být Euklidovská koule poloměru jednotky. Smíšený objem
Ž j ( K. ) = PROTI ( K. , K. , … , K. ⏞ n − j krát , B , B , … , B ⏞ j krát ) { displaystyle W_ {j} (K) = V ({ overset {nj { text {times}}} { overbrace {K, K, ldots, K}}}, { overset {j { text {times}}} { overbrace {B, B, ldots, B}}}}} se nazývá j -th quermassintegral z K. { displaystyle K} .[1]
Definice smíšeného objemu vede k Steinerův vzorec (pojmenoval podle Jakob Steiner ):
PROTI Ó l n ( K. + t B ) = ∑ j = 0 n ( n j ) Ž j ( K. ) t j . { displaystyle mathrm {Vol} _ {n} (K + tB) = součet _ {j = 0} ^ {n} { binom {n} {j}} W_ {j} (K) t ^ { j}.} Vnitřní objemy The j -th vnitřní objem z K. { displaystyle K} je jiná normalizace kvermassintegralu, definovaná
PROTI j ( K. ) = ( n j ) Ž n − j ( K. ) κ n − j , { displaystyle V_ {j} (K) = { binom {n} {j}} { frac {W_ {n-j} (K)} { kappa _ {n-j}}},} nebo jinými slovy PROTI Ó l n ( K. + t B ) = ∑ j = 0 n PROTI j ( K. ) PROTI Ó l n − j ( t B n − j ) . { displaystyle mathrm {Vol} _ {n} (K + tB) = součet _ {j = 0} ^ {n} V_ {j} (K) , mathrm {vol} _ {nj} (tB_ {nj}).} kde κ n − j = Sv n − j ( B n − j ) { displaystyle kappa _ {n-j} = { text {Vol}} _ {n-j} (B_ {n-j})} je objem ( n − j ) { displaystyle (n-j)} -dimenzionální jednotková koule.
Hadwigerova věta o charakterizaci Hadwigerova věta tvrdí, že každý ocenění na konvexních tělesech v R n { displaystyle mathbb {R} ^ {n}} to je spojité a neměnné pod tuhými pohyby R n { displaystyle mathbb {R} ^ {n}} je lineární kombinací kvermassintegrálů (nebo ekvivalentně vnitřních objemů).[2]
Poznámky externí odkazy Burago, Yu.D. (2001) [1994], "Mixed volume theory" , Encyclopedia of Mathematics , Stiskněte EMS