Geometrická skupinová akce - Geometric group action

v matematika konkrétně teorie geometrických skupin, a akce geometrické skupiny je určitý typ akce a diskrétní skupina na metrický prostor.

Definice

V teorii geometrických skupin, a geometrie je jakýkoli správně, geodetický metrický prostor. Akce a konečně vygenerovaná skupina G na geometrii X je geometrický pokud splňuje následující podmínky:

  1. Každý prvek G působí jako izometrie z X.
  2. Akce je cocompact, tj kvocientový prostor X/G je kompaktní prostor.
  3. Akce je správně nesouvislé, přičemž každý bod má konečnou hodnotu stabilizátor.

Jedinečnost

Pokud skupina G působí geometricky na dvě geometrie X a Y, pak X a Y jsou kvazi-izometrický. Protože kterákoli skupina jedná sama o sobě geometricky Cayleyův graf, jakýkoli prostor, na kterém G působí geometricky je kvazi-izometrický podle Cayleyova grafu G.

Příklady

Cannonova domněnka uvádí, že jakýkoli hyperbolická skupina s 2-koulí v nekonečnu působí geometricky na hyperbolický 3-prostor.

Reference

  • Cannon, James W. (2002). "Geometrická grupová teorie". Příručka geometrické topologie. Severní Holandsko. 261–305. ISBN  0-444-82432-4.