Kontinuální vkládání - Continuous embedding

v matematika, jeden normovaný vektorový prostor se říká, že je průběžně vloženo v jiném normovaném vektorovém prostoru, pokud funkce začlenění mezi nimi je kontinuální. V určitém smyslu jsou obě normy „téměř rovnocenné“, i když nejsou obě definovány ve stejném prostoru. Několik z Sobolevovy věty o vložení jsou spojité věty.

Definice

Nechat X a Y být dva normované vektorové prostory s normami || · ||_X a || · ||_Y respektive takové X ⊆ Y. Pokud mapa začlenění (funkce identity)

${displaystyle i: Xhookrightarrow Y: xmapsto x}$

je spojitá, tj. pokud existuje konstanta C ≥ 0 takové, že

${displaystyle | x | _ {Y} leq C | x | _ {X}}$

pro každého X v X, pak X se říká, že je průběžně vloženo v Y. Někteří autoři používají zahnutou šipku „↪“ k označení souvislého vkládání, tj. „X ↪ Y„Znamená“X a Y jsou normované prostory s X průběžně vloženo do Y“. Toto je důsledné používání notace z hlediska kategorie topologických vektorových prostorů, ve kterém morfismy („Šipky“) jsou spojité lineární mapy.

Příklady

• Konečně-dimenzionální příklad spojitého vkládání je dán přirozeným vložením skutečná linie X = R do letadla Y = R², kde jsou obě mezery dány euklidovskou normou:

${displaystyle i: mathbf {R} o mathbf {R} ^ {2}: xmapsto (x, 0)}$

V tomto případě ||X||_X = ||X||_Y za každé skutečné číslo X. Je zřejmé, že optimální volba konstanty C je C = 1.

• Nekonečně-dimenzionální příklad spojitého vkládání je dán Rellich – Kondrachovova věta: nechť Ω ⊆Rⁿ být otevřeno, ohraničený, Lipschitzova doména, a nechť 1 ≤p < n. Soubor

${displaystyle p ^ {*} = {frac {np} {n-p}}.}$

Pak Sobolevův prostor Ž^1,p(Ω;R) je trvale vložen do L^p prostor L^p∗(Ω;R). Ve skutečnosti po dobu 1 ≤q < p^∗, toto vložení je kompaktní. Optimální konstanta C bude záviset na geometrii domény Ω.

• Nekonečno-dimenzionální prostory také nabízejí příklady diskontinuální vložení. Zvažte například

${displaystyle X = Y = C ^ {0} ([0,1]; mathbf {R}),}$

prostor spojitých reálných funkcí definovaných na jednotkovém intervalu, ale vybav X s L¹ norma a Y s nadřazená norma. Pro n ∈ N, nechť F_n být kontinuální, po částech lineární funkce dána

${displaystyle f_ {n} (x) = {egin {cases} -n ^ {2} x + n, & 0leq xleq {frac {1} {n}}; 0, & {ext {jinak.}} konec { případy}}}$

Pak pro každého n, ||F_n||_Y = ||F_n||_∞ = n, ale

${displaystyle | f_ {n} | _ {L ^ {1}} = int _ {0} ^ {1} | f_ {n} (x) |, mathrm {d} x = {frac {1} {2} }.}$

Proto žádná konstanta C lze najít takové, že ||F_n||_Y ≤ C||F_n||_X, a tak vložení X do Y je diskontinuální.

Viz také

• Kompaktní vložení

Reference

• Rennardy, M. & Rogers, R.C. (1992). Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. Springer-Verlag, Berlín. ISBN  3-540-97952-2.