Kompaktní vložení - Compact embedding

v matematika, představa bytí kompaktně zabudováno vyjadřuje myšlenku, že jedna množina nebo prostor je „dobře obsažen“ uvnitř jiné. Existují verze tohoto konceptu vhodné pro obecné topologie a funkční analýza.

Definice (topologické prostory)

Nechť (X, T) být a topologický prostor a nechte PROTI a Ž být podmnožiny z X. Říkáme to PROTI je kompaktně zabudováno v Ž, a piš PROTI ⊂⊂ Ž, pokud

• PROTI ⊆ Cl (PROTI) ⊆ Int (Ž), kde Cl (PROTI) označuje uzavření z PROTIa Int (Ž) označuje interiér z Ž; a
• Cl (PROTI) je kompaktní.

Definice (normované prostory)

Nechat X a Y být dva normované vektorové prostory s normami || • ||_X a || • ||_Y a předpokládejme to X ⊆ Y. Říkáme to X je kompaktně zabudováno v Y, a piš X ⊂⊂ Y, pokud

• X je průběžně vloženo v Y; tj. existuje konstanta C takové, že ||X||_Y ≤ C||X||_X pro všechny X v X; a
• Vložení X do Y je kompaktní operátor: jakýkoli ohraničená množina v X je úplně ohraničený v Y, tj. každý sekvence v takové ohraničené množině má a subsekvence to je Cauchy v normě || • ||_Y.

Li Y je Banachův prostor, ekvivalentní definice je, že operátor vkládání (identita) i : X → Y je kompaktní operátor.

Při použití na funkční analýzu se tato verze kompaktního vkládání obvykle používá s Banachovy prostory funkcí. Několik z Sobolevovy věty o vložení jsou kompaktní vkládací věty. Pokud vložení není kompaktní, může mít související, ale slabší vlastnost soudržnost.

Reference

• Adams, Robert A. (1975). Sobolevovy prostory. Boston, MA: Akademický tisk. ISBN  978-0-12-044150-1..
• Evans, Lawrence C. (1998). Parciální diferenciální rovnice. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN  0-8218-0772-2..
• Renardy, M. & Rogers, R. C. (1992). Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  3-540-97952-2..