Kategorie topologických vektorových prostorů - Category of topological vector spaces

v matematika, kategorie topologických vektorových prostorů je kategorie jehož předměty jsou topologické vektorové prostory a jehož morfismy jsou spojité lineární mapy mezi nimi. Toto je kategorie, protože složení dvou spojitých lineárních map je opět spojitá lineární mapa. Kategorie je často označována TVect nebo TVS.

Upevnění a topologické pole K., lze také zvážit podkategorie TVect_K. topologických vektorových prostorů K. s nepřetržitým K.-lineární mapy jako morfismy.

TVect je konkrétní kategorie

Stejně jako mnoho kategorií i kategorie TVect je konkrétní kategorie, což znamená, že jeho objekty jsou sady s další strukturou (tj vektorový prostor struktura a topologie ) a jeho morfismy jsou funkce zachování této struktury. Jsou zřejmé zapomnětlivé funktory do kategorie topologických prostorů, kategorie vektorových prostorů a kategorie sad.

TVect_{${displaystyle K}$} je topologická kategorie

Kategorie je topologická, což znamená volně řečeno, že souvisí se svou „základní kategorií“, kategorií vektorových prostorů, stejným způsobem jako Horní se týká Soubor. Formálně pro každého K.-vektorový prostor ${displaystyle V}$ a každá rodina ${displaystyle ((V_ {i}, au _ {i}), f_ {i}) _ {iin I}}$ topologické K.-vektorové mezery ${displaystyle (V_ {i}, au _ {i})}$ a K.-lineární mapy ${displaystyle f_ {i}: V o V_ {i},}$ existuje topologie vektorového prostoru ${displaystyle au}$ na ${displaystyle V}$ takže je splněna následující vlastnost:

Kdykoli ${displaystyle g: Z o V}$ je K.-lineární mapa z topologické mapy K.-vektorový prostor ${displaystyle (Z, sigma),}$ to platí

${displaystyle g: (Z, sigma) o (V, au)}$ je spojitý ${displaystyle iff}$ ${displaystyle forall iin I: f_ {i} circle g: (Z, sigma) o (V_ {i}, au _ {i})}$ je spojitý.

Topologický vektorový prostor ${displaystyle (V, au)}$ se nazývá „počáteční objekt“ nebo „počáteční struktura“ vzhledem k daným datům.

Pokud jeden nahradí „vektorový prostor“ výrazem „set“ a „lineární mapu“ výrazem „map“, získá charakterizaci obvyklých počátečních topologií v Horní. To je důvod, proč se kategorie s touto vlastností nazývají „topologické“.

Tato vlastnost má řadu důsledků. Například:

• Existují „diskrétní“ a „indiskrétní“ objekty. Topologický vektorový prostor je neurčitý, pokud se jedná o počáteční strukturu vzhledem k prázdné rodině. Topologický vektorový prostor je diskrétní, pokud se jedná o počáteční strukturu s ohledem na rodinu všech možných lineárních map do všech topologických vektorových prostorů. (Tato rodina je správná třída, ale to nevadí: Počáteční struktury s ohledem na všechny třídy existují, pokud existují s ohledem na všechny sady)
• Existují konečné struktury (obdobně definované analogie s konečnými topologiemi). Ale je tu jeden háček: Zatímco počáteční struktura výše uvedené vlastnosti je ve skutečnosti obvyklou počáteční topologií ${displaystyle V}$ s ohledem na ${displaystyle (au _ ​​{i}, f_ {i}) _ {iin I}}$, finální struktury nemusí být konečné vzhledem k daným mapám ve smyslu Horní. Například: Samostatné objekty (= konečné vzhledem k prázdné rodině) v ${displaystyle {extbf {TVect}} _ {K}}$ nenesou diskrétní topologii.
• Protože následující schéma zapomnětlivých funktorů dojíždí

${displaystyle {egin {array} {ccc} {extbf {Vect}} _ {K} & ightarrow & {extbf {Set}} uparrow && uparrow {extbf {TVect}} _ {K} & ightarrow & {extbf {Top}} konec {pole}}}$

a zapomnětlivý funktor z ${displaystyle {extbf {Vect}} _ {K}}$ na Soubor je správný adjoint, zapomnětlivý funktor z ${displaystyle {extbf {TVect}} _ {K}}$ na Horní je také pravý adjoint (a odpovídající levý adjoints zapadají do analogového komutativního diagramu). Tento levý adjoint definuje „volné topologické vektorové prostory“. Výslovně jsou to zdarma K.-vektorové prostory vybavené určitou počáteční topologií.

• Od té doby^{[je zapotřebí objasnění ]} ${displaystyle {extbf {Vect}} _ {K}}$ je (spolu) kompletní, ${displaystyle {extbf {TVect}} _ {K}}$ je (spolu) také kompletní.

Reference

• Lang, Serge (1972). Diferenciální potrubí. Reading, Massachusetts - Londýn – Don Mills, Ont .: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.