Konformní poloměr - Conformal radius
V matematice je konformní poloměr je způsob, jak měřit velikost a jednoduše připojeno planární doména D při pohledu z bodu z v tom. Na rozdíl od použití pojmů Euklidovská vzdálenost (řekněme poloměr největšího vepsaného disku se středem z), tento pojem je vhodný pro použití v komplexní analýza, zejména v konformní mapy a konformní geometrie.
Úzce souvisejícím pojmem je transfinitní průměr nebo (logaritmická) kapacita a kompaktní jednoduše připojená sada D, kterou lze považovat za inverzní vůči konformnímu poloměru doplněk E = DC při pohledu z nekonečno.
Definice
Vzhledem k jednoduše připojené doméně D ⊂ Ca bod z ∈ Dtím, že Riemannova věta o mapování existuje jedinečná konformní mapa F : D → D na jednotka disku (obvykle se označuje jako uniformizační mapa) s F(z) = 0 ∈ D a F′(z) ∈ R+. Konformní poloměr D z z je pak definována jako
Nejjednodušším příkladem je, že konformní poloměr disku o poloměru r při pohledu z jeho středu je také r, zobrazeno uniformizační mapou X ↦ X/r. Další příklady najdete níže.
Jedním z důvodů užitečnosti tohoto pojmu je, že se dobře chová pod konformními mapami: if φ: D → D′ Je konformní bijekce a z v D, pak .
Konformní poloměr lze také vyjádřit jako kde je harmonické rozšíření z na .
Zvláštní případ: rovina horní poloviny
Nechat K. ⊂ H být podmnožinou horní polorovina takhle D := H\K. je připojen a jednoduše připojen, a nechat z ∈ D být bodem. (Toto je obvyklý scénář, řekněme v Vývoj Schramm-Loewner ). Podle Riemannovy věty o mapování existuje konformní bijekce G : D → H. Pak pro každou takovou mapu G, to dává jednoduchý výpočet
Například když K. = ∅ a z = i, pak G může to být mapa identity a dostaneme rad (i, H) = 2. Kontrola, zda to souhlasí s původní definicí: uniformizační mapa F : H → D je
a potom lze derivát snadno vypočítat.
Vztah k inradius
Že je to dobrá míra poloměru, ukazuje následující bezprostřední důsledek Schwarzovo lema a Koebeho věta 1/4: pro z ∈ D ⊂ C,
kde dist (z, ∂D) označuje euklidovskou vzdálenost mezi z a hranice z D, nebo jinými slovy, poloměr největšího vepsaného disku se středem z.
Obě nerovnosti jsou nejlepší možné:
- Horní hranice je jasně dosažena braním D = D a z = 0.
- Dolní hranice je dosažena následující „štěrbinovou doménou“: D = C\R+ a z = −r ∈ R−. Druhá odmocninová mapa φ trvá D na horní polorovinu H, s a derivát . Výše uvedený vzorec pro horní polorovinu dává , a vzorec pro transformaci pod konformními mapami dává rad (-r, D) = 4r, zatímco samozřejmě dist (-r, ∂D) = r.
Verze z nekonečna: transfinitní průměr a logaritmická kapacita
Když D ⊂ C je jednoduše připojená kompaktní sada, pak její doplněk E = DC je jednoduše připojená doména v Riemannova koule který obsahuje ∞[Citace je zapotřebí ]a lze definovat
kde F : C\D → E je jedinečná bijektivní konformní mapa s f (∞) = ∞ a tato hranice je kladná reálná, tj. konformní mapa formy
Koeficient C1 = rad (∞, D) se rovná transfinitní průměr a (logaritmická) kapacita z D; viz kapitola 11 Pommerenke (1975) a Kuz′mina (2002). Viz také článek o kapacita sady.
Koeficient C0 se nazývá konformní střed z D. Je možné ukázat, že leží v konvexní obal z D; navíc,
kde poloměr 2C1 je ostrý pro přímkový úsek délky 4C1. Viz strany 12–13 a kapitola 11 dokumentu Pommerenke (1975).
Fekete, Čebyšev a upravené Čebyševovy konstanty
Definujeme tři další veličiny, které se rovnají transfinitnímu průměru, přestože jsou definovány z velmi odlišného úhlu pohledu. Nechat
značí součin párových vzdáleností bodů a definujme následující množství pro kompaktní sadu D ⊂ C:
Jinými slovy, je supremum geometrického průměru párových vzdáleností n body v D. Od té doby D je kompaktní, tohoto suprema je ve skutečnosti dosaženo pomocí sady bodů. Jakýkoli takový n-bodová sada se nazývá a Sada Fekete.
Omezení existuje a nazývá se Fekete konstantní.
Teď nech označit množinu všech monických polynomů stupně n v C[X], nechť označuje množinu polynomů v se všemi nulami v D a definujme to
- a
Pak limity
- a
existují a říká se jim Čebyševova konstanta a upravená Čebyševova konstanta, resp.Michael Fekete a Gábor Szegő dokázal, že tyto konstanty jsou stejné.
Aplikace
Poloměr konformity je velmi užitečný nástroj, například při práci s Vývoj Schramm-Loewner. Nádhernou instanci najdete v Lawler, Schramm & Werner (2002).
Reference
- Ahlfors, Lars V. (1973). Konformní invarianty: témata v teorii geometrických funkcí. Seriál z vyšší matematiky. McGraw-Hill. PAN 0357743. Zbl 0272.30012.
- Horváth, János, vyd. (2005). Panorama maďarské matematiky ve dvacátém století, I. Matematické studie společnosti Bolyai. Springer. ISBN 3-540-28945-3.
- Kuz′mina, G. V. (2002), Konformní poloměr domény, od Encyklopedie matematiky online.
- Lawler, Gregory F.; Schramm, Oded; Werner, Wendelin (2002), „Jednoruční exponent pro kritickou 2D perkolaci“, Elektronický deník pravděpodobnosti, 7 (2): 13 stran, arXiv:matematika / 0108211, doi:10.1214 / ejp.v7-101, ISSN 1083-6489, PAN 1887622, Zbl 1015.60091
- Pommerenke, Christian (1975). Univalentní funkce. Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher. Kapela XXV. S kapitolou o kvadratických diferenciálech od Gerda Jensena. Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht. Zbl 0298.30014.
Další čtení
- Rumely, Robert S. (1989), Kapacitní teorie na algebraických křivkáchPřednášky z matematiky, 1378, Berlín atd .: Springer-Verlag, ISBN 3-540-51410-4, Zbl 0679.14012
externí odkazy
- Pú, Charlesi, Konformní poloměr. Z MathWorld - Webový zdroj Wolfram, který vytvořil Eric W. Weisstein.