Vektorové pole konformní zabíjení - Conformal Killing vector field
![]() | tento článek ne uvést žádný Zdroje.Února 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v konformní geometrie, konformní zabíjení vektorové pole na a potrubí z dimenze n s (pseudo) Riemannova metrika (nazývaný také konformní zabíjení vektor, nebo konformní kolineace), je vektorové pole jehož (místně definované) tok definuje konformní transformace, tj. konzervovat až do rozsahu a zachovat konformní strukturu. Několik ekvivalentních formulací, nazývaných konformní Killingova rovnice, existují ve smyslu Derivát lži toku např. pro nějakou funkci na potrubí. Pro existuje konečný počet řešení se specifikací konformní symetrie tohoto prostoru, ale ve dvou dimenzích existuje nekonečno řešení. Jméno Killing odkazuje Wilhelm Killing, který nejprve vyšetřoval Zabíjení vektorových polí které zachovávají Riemannovu metriku a uspokojují Vražedná rovnice .
Zhuštěný metrický tenzor a vektory konformního zabíjení
Vektorové pole je Zabíjení vektorové pole pokud jeho tok zachovává metrický tenzor (přísně vzato pro každou kompaktní podmnožinu potrubí je třeba tok definovat pouze na konečný čas). To lze formulovat nekonečně (a pohodlněji) jako je zabíjení, pokud to uspokojí
kde je Lieův derivát.
Obecněji definujte a w-Zabíjení vektorové pole jako vektorové pole, jehož (místní) tok zachovává zhutněnou metriku , kde je objemová hustota definovaná (tj. místně ) a je jeho váha. Všimněte si, že zabíjení vektorové pole zachovává a tak automaticky také splňuje tuto obecnější rovnici. Všimněte si také, že je jedinečná váha, díky které je kombinace vyrobena invariantní pod měřítkem metriky, proto v tomto případě podmínka závisí pouze na konformní struktura. Nyní je w-Kill vektorové pole iff
Od té doby to je ekvivalentní k
- .
Po stopách obou stran usuzujeme . Proto pro , nezbytně a a w-Kill vektorové pole je jen normální Killing vektorové pole, jehož tok zachovává metriku. Nicméně pro tok pouze musí zachovat konformní strukturu a je podle definice a konformní zabíjení vektorové pole.
Ekvivalentní formulace
Následující jsou ekvivalentní
- je konformní vektorové pole zabíjení,
- (Místně definovaný) tok zachovává konformní strukturu,
- pro nějakou funkci
Výše uvedená diskuse dokazuje rovnocennost všech, kromě zdánlivě obecnější poslední formy. Poslední dvě formy jsou však také rovnocenné: odnímání stop to ukazuje nutně .
Konformní Killingova rovnice v (abstraktním) indexovém zápisu
Pomocí toho kde je derivát Levi Civita z (aka kovariantní derivát) a je duální 1 forma (aka asociovaný kovariantní vektor aka vektor se sníženými indexy) a je projekce na symetrickou část, lze konformní Killingovu rovnici zapsat do abstraktního indexového zápisu jako
Další zápis indexu pro zápis konformních Killingových rovnic je
Viz také
- Afinní vektorové pole
- Kolineace zakřivení
- Einstein potrubí
- Homotetické vektorové pole
- invariantní diferenciální operátor
- Zabíjení vektorové pole
- Sloučenina hmoty
- Prostorové symetrie
![]() | Tento související geometrie diferenciálu článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to. |
![]() | Tento relativita související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to. |