Clarkova – Oconova věta - Clark–Ocone theorem

v matematika, Clarkova – Oconova věta (také známý jako Clarkova – Ocone – Haussmannova věta nebo vzorec) je teorém z stochastická analýza. Vyjadřuje hodnotu některých funkce F definované na klasický Wienerův prostor spojitých cest počínaje počátkem jako součet jeho znamenat hodnota a Je to integrální s ohledem na tuto cestu. Je pojmenován po příspěvcích matematici J.M.C. Clark (1970), Daniel Ocone (1984) a U.G. Haussmann (1978).

Výrok věty

Nechat C₀([0, T]; R) (nebo jednoduše C₀ zkráceně) být klasickým Wienerovým prostorem s Wienerovým měřítkem y. Nechat F : C₀ → R být BC¹ funkce, tj. F je ohraničený a Fréchet rozlišitelný s omezenou derivací DF : C₀ → Lin (C₀; R). Pak

${displaystyle F (sigma) = int _ {C_ {0}} F (p), mathrm {d} gama (p) + int _ {0} ^ {T} mathbf {E} vlevo [vlevo. {frac {částečné } {částečné t}} abla _ {H} F (-) ight | Sigma _ {t} ight] (sigma), mathrm {d} sigma _ {t}.}$

Ve výše uvedeném

• F(σ) je hodnota funkce F na nějaké konkrétní cestě zájmu, σ;
• první integrál,

${displaystyle int _ {C_ {0}} F (p), mathrm {d} gamma (p) = mathbf {E} [F]}$

je očekávaná hodnota z F po celém Wienerově prostoru C₀;

• druhý integrál,

${displaystyle int _ {0} ^ {T} cdots, mathrm {d} sigma (t)}$

je Je to integrální;

• Σ_∗ je přirozené filtrace z Brownův pohyb B : [0, T] × Ω →R: Σ_t je nejmenší σ-algebra obsahující vše B_s⁻¹(A) pro časy 0 ≤s ≤ t a Borel sety A ⊆ R;
• E[· | Σ_t] označuje podmíněné očekávání vzhledem k algebře sigma Σ_t;
• ^∂/_∂t označuje diferenciace s ohledem na čas t; ∇_H označuje H-spád; proto, ^∂/_∂t∇_H je Malliavinův derivát.

Obecněji platí, že závěr platí pro všechny F v L²(C₀; R), který je diferencovatelný ve smyslu Malliavina.

Integrace po částech ve Wienerově prostoru

Věta Clark – Ocone vede k integrace po částech vzorec na klasickém Wienerově prostoru a psát Itô integrály tak jako odchylky:

Nechat B být standardní Brownův pohyb, a nechť L₀^2,1 být prostorem Cameron – Martin C₀ (vidět abstraktní Wienerův prostor. Nechat PROTI : C₀ → L₀^2,1 být vektorové pole takhle

${displaystyle {dot {V}} = {frac {částečné V} {částečné t}}: [0, T] imes C_ {0} o mathbb {R}}$

je v L²(B) (tj. je Je to integrovatelné, a proto je přizpůsobený proces ). Nechat F : C₀ → R být BC¹ jak je uvedeno výše. Pak

${displaystyle int _ {C_ {0}} mathrm {D} F (sigma) (V (sigma)), mathrm {d} gamma (sigma) = int _ {C_ {0}} F (sigma) vlevo (int _ {0} ^ {T} {dot {V}} _ {t} (sigma), mathrm {d} sigma _ {t} ight), mathrm {d} gamma (sigma),}$

tj.

${displaystyle int _ {C_ {0}} leftlangle abla _ {H} F (sigma), V (sigma) ightangle _ {L_ {0} ^ {2,1}}, mathrm {d} gamma (sigma) = - int _ {C_ {0}} F (sigma) operatorname {div} (V) (sigma), mathrm {d} gama (sigma)}$

nebo přepsáním integrálů C₀ jako očekávání:

${displaystyle mathbb {E} {ig [} langle abla _ {H} F, Vangle {ig]} = - mathbb {E} {ig [} Foperatorname {div} V {ig]},}$

kde divergenční div (PROTI) : C₀ → R je definováno

${displaystyle operatorname {div} (V) (sigma): = - int _ {0} ^ {T} {dot {V}} _ {t} (sigma), mathrm {d} sigma _ {t}.}$

Interpretace stochastických integrálů jako divergencí vede k konceptům, jako je Skorokhod integrál a nástroje Malliavinův počet.

Viz také

• Věta o integrální reprezentaci pro klasický Wienerův prostor, který ve svém důkazu používá větu Clark – Ocone
• Integrace provozovatelem dílů
• Malliavinův počet

Reference

• Nualart, David (2006). Malliavinův počet a související témata. Pravděpodobnost a její aplikace (New York) (druhé vydání). Berlín: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-28328-7.

externí odkazy

• Friz, Peter K. (10.04.2005). „Úvod do Malliavinova počtu“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 17-04-17. Citováno 2007-07-23.