Malliavinův derivát - Malliavin derivative

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Malliavinův derivát“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Srpna 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek potřebuje pozornost odborníka na matematiku. Přidejte prosím důvod nebo a mluvit parametr k této šabloně pro vysvětlení problému s článkem. Matematika WikiProject může pomoci s náborem odborníka. (Únor 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, Malliavinův derivát je pojem derivát v Malliavinův počet. Intuitivně se jedná o pojem derivace vhodný pro cesty dovnitř klasický Wienerův prostor, které jsou „obvykle“ nediferencovatelné v obvyklém smyslu.^{[Citace je zapotřebí ]}

Definice

Nechat ${displaystyle H}$ být Cameron – Martinův prostor, a ${displaystyle C_ {0}}$ označit klasický Wienerův prostor:

${displaystyle H: = {fin W ^ {1,2} ([0, T]; mathbb {R} ^ {n}); |; f (0) = 0}: = {{ext {cesty začínající na 0 s první derivací v}} L ^ {2}}}$;

${displaystyle C_ {0}: = C_ {0} ([0, T]; mathbb {R} ^ {n}): = {{ext {spojité cesty začínající na 0}}};}$

Podle Sobolevova veta, ${displaystyle Hsubset C_ {0}}$. Nechat

${displaystyle i: H o C_ {0}}$

označit mapa zařazení.

Předpokládejme to ${displaystyle F: C_ {0} o mathbb {R}}$ je Fréchet rozlišitelný. Pak Fréchetův derivát je mapa

${displaystyle mathrm {D} F: C_ {0} o mathrm {Lin} (C_ {0}; mathbb {R});}$

tj. pro cesty ${displaystyle sigma v C_ {0}}$, ${displaystyle mathrm {D} F (sigma);}$ je prvek ${displaystyle C_ {0} ^ {*}}$, dvojí prostor na ${displaystyle C_ {0};}$. Označit podle ${displaystyle mathrm {D} _ {H} F (sigma);}$ the kontinuální lineární mapa ${displaystyle H o mathbb {R}}$ definován

${displaystyle mathrm {D} _ {H} F (sigma): = mathrm {D} F (sigma) circ i: H o mathbb {R},}$

někdy známý jako H-derivát. Nyní definujte ${displaystyle abla _ {H} F: C_ {0} o H}$ být adjoint z ${displaystyle mathrm {D} _ {H} F;}$ V tom smyslu, že

${displaystyle int _ {0} ^ {T} vlevo (částečné _ {t} abla _ {H} F (sigma) ight) cdot částečné _ {t} h: = langle abla _ {H} F (sigma), pověsit _ {H} = left (mathrm {D} _ {H} Fight) (sigma) (h) = lim _ {t o 0} {frac {F (sigma + ti (h)) - F (sigma)} { t}}.}$

Pak Malliavinův derivát ${displaystyle mathrm {D} _ {t}}$ je definováno

${displaystyle left (mathrm {D} _ {t} Fight) (sigma): = {frac {částečné} {částečné t}} doleva (left (abla _ {H} Fight) (sigma) ight).}$

The doména z ${displaystyle mathrm {D} _ {t}}$ je sada ${displaystyle mathbf {F}}$ všech rozlišitelných funkcí Fréchet se skutečnými hodnotami ${displaystyle C_ {0};}$; the codomain je ${displaystyle L ^ {2} ([0, T]; mathbb {R} ^ {n})}$.

The Skorokhod integrál ${delta stylu zobrazení;}$ je definován jako adjoint derivátu Malliavin:

${displaystyle delta: = left (mathrm {D} _ {t} ight) ^ {*}: operatorname {image} left (mathrm {D} _ {t} ight) subseteq L ^ {2} ([0, T] ; mathbb {R} ^ {n}) o mathbf {F} ^ {*} = mathrm {Lin} (mathbf {F}; mathbb {R}).}$

Viz také

• H-derivát

Reference