Integrace provozovatelem dílů - Integration by parts operator

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Listopadu 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, an integrace operátorem dílů je lineární operátor používá se k formulaci integrace po částech vzorce; nejzajímavější příklady integrace operátory dílů se vyskytují v nekonečně rozměrných nastaveních a nacházejí se v nich stochastická analýza a jeho aplikace.

Definice

Nechat E být Banachův prostor takové, že oba E a jeho nepřetržitý duální prostor E^∗ jsou oddělitelné prostory; nechat μ být Borelův rozměr na E. Nechat S být libovolný (opravený) podmnožina třídy funkcí definované na E. Lineární operátor A : S → L²(E, μ; R) se říká, že je integrace operátorem dílů pro μ -li

${displaystyle int _ {E} mathrm {D} varphi (x) h (x), mathrm {d} mu (x) = int _ {E} varphi (x) (Ah) (x), mathrm {d} mu (X)}$

pro každého C¹ funkce φ : E → R a všechno h ∈ S pro které má obě strany výše uvedené rovnosti smysl. Ve výše uvedeném Dφ(X) označuje Fréchetův derivát z φ na X.

Příklady

• Zvažte abstraktní Wienerův prostor i : H → E s abstraktním Wienerovým měřítkem y. Vzít S být souborem všech C¹ funkce od E do E^∗; E^∗ lze považovat za podprostor o E s ohledem na inkluze

${displaystyle E ^ {*} {xrightarrow {i ^ {*}}} H ^ {*} cong H {xrightarrow {i}} E.}$

Pro h ∈ S, definovat Ah podle

${displaystyle (Ah) (x) = h (x) x-mathrm {trace} _ {H} mathrm {D} h (x).}$

Tento operátor A je integrace provozovatelem dílů, známá také jako divergence operátor; důkaz lze najít v Elworthy (1974).

• The klasický Wienerův prostor C₀ z spojité cesty v Rⁿ počínaje nulou a definované na jednotkový interval [0, 1] má další integraci operátorem dílů. Nechat S být kolekce

${displaystyle S = left {left.hcolon C_ {0} o L_ {0} ^ {2,1} ight | h {mbox {je omezený a nepředvídatelný}} ight},}$

tj. vše ohraničený, přizpůsobeno procesy s absolutně kontinuální ukázkové cesty. Nechat φ : C₀ → R být kdokoli C¹ fungovat tak, že oba φ a D.φ jsou ohraničené. Pro h ∈ S a λ ∈ R, Girsanovova věta to naznačuje

${displaystyle int _ {C_ {0}} varphi (x + lambda h (x)), mathrm {d} gamma (x) = int _ {C_ {0}} varphi (x) exp left (lambda int _ {0 } ^ {1} {dot {h}} _ {s} cdot mathrm {d} x_ {s} - {frac {lambda ^ {2}} {2}} int _ {0} ^ {1} | {dot {h}} _ {s} | ^ {2}, mathrm {d} zrak), mathrm {d} gama (x).}$

Rozlišování s ohledem na λ a nastavení λ = 0 dává

${displaystyle int _ {C_ {0}} mathrm {D} varphi (x) h (x), mathrm {d} gamma (x) = int _ {C_ {0}} varphi (x) (Ah) (x) , mathrm {d} gama (x),}$

kde (Ah)(X) je Je to integrální

${displaystyle int _ {0} ^ {1} {dot {h}} _ {s} cdot mathrm {d} x_ {s}.}$

Stejný vztah platí obecněji φ argumentem aproximace; integrál Itō je tedy integrace operátorem dílů a lze jej považovat za operátor divergence nekonečně dimenzionální. To je stejný výsledek jako integrace podle vzorce části odvozeného z věty Clark-Ocone.

Reference

• Bell, Denis R. (2006). Malliavinův počet. Mineola, NY: Dover Publications Inc. str. X + 113. ISBN  0-486-44994-7. PAN2250060 (Viz část 5.3)
• Elworthy, K. David (1974). "Gaussovské míry na Banachových prostorech a rozdělovačích". Globální analýza a její aplikace (Přednášky, Mezinárodní sem. Kurz, Mezinárodní teoretická fyzika., Terst, 1972), sv. II. Vídeň: Internat. Agentura pro atomovou energii. str. 151–166. PAN0464297