Hodnost cyklu - Cycle rank
Relevantní témata na |
Připojení grafu |
---|
v teorie grafů, hodnost cyklu a řízený graf je digraf připojení opatření navrhované nejprve Egganem a Buči (Eggan 1963 ). Tento koncept intuitivně měří, jak blízko je adigraf k a směrovaný acyklický graf (DAG), v tom smyslu, že DAG má cyklickou hodnost nula, zatímco a kompletní digraf z objednat n s vlastní smyčka ateach vertex má cyklus n. Hodnost cyklu směrovaného grafu úzce souvisí s hloubka stromu z neorientovaný graf a do výška hvězdy a běžný jazyk. Také našel použití řídká matice výpočty (viz Bodlaender a kol. 1995 ) a logika (Rossman 2008 ).
Definice
Pořadí cyklu r(G) digrafu G = (PROTI, E) je indukčně definována takto:
- Li G je tedy acyklický r(G) = 0.
- Li G je silně propojený a E je tedy neprázdné
- kde je digraf vyplývající z vypuštění vrcholu proti a všechny hrany začínající nebo končící na proti.
- Li G tedy není silně propojen r(G) se rovná maximálnímu pořadí cyklu mezi všemi silně propojenými složkami G.
The hloubka stromu neorientovaného grafu má velmi podobnou definici, používá neorientovanou konektivitu a připojené komponenty místo silné konektivity a silně propojených komponent.
Dějiny
Hodnost cyklu byla zavedena uživatelem Eggan (1963) v kontextu výška hvězdy z běžné jazyky. To bylo znovuobjeveno (Eisenstat & Liu 2005 ) jako zobecnění neorientovaných hloubka stromu, který byl vyvinut počátkem 80. let 20. století a na který se vztahuje řídká matice výpočty (Schreiber 1982 ).
Příklady
Pořadí cyklu směrovaného acyklického grafu je 0, zatímco kompletní digraf pořadí n s vlastní smyčka ateach vertex má cyklus n. Kromě nich je známa řada cyklů několika dalších digrafů: nepřímá cesta řádu n, který má symetrický okrajový vztah a žádné smyčky, má cyklus (McNaughton 1969 ). Pro řízené -torus , tj kartézský součin dvou směrovaných obvodů délek m a n, my máme a pro m ≠ n (Eggan 1963, Gruber & Holzer 2008 ).
Výpočet pořadí cyklu
Výpočet pořadí cyklu je výpočetně obtížný: Gruber (2012) dokazuje, že odpovídající rozhodovací problém je NP-kompletní, dokonce i pro řídké digrafy maximálně maximálně 2. Pozitivní je, že problém je časově řešitelný na digrafy maxima překonat maximálně 2 a včas na obecných digrafech. Tady je aproximační algoritmus s aproximačním poměrem .
Aplikace
Výška hvězd v běžných jazycích
První aplikace cyklu byla v teorie formálního jazyka, pro studium výška hvězdy z běžné jazyky. Eggan (1963) navázal vztah mezi teoriemi regulárních výrazů, konečných automatů a řízené grafy. V následujících letech se tento vztah stal známým jako Egganova větasrov. Sakarovitch (2009). V teorii automatů, a nedeterministický konečný automat s tahy ε (ε-NFA) je definována jako a 5-tice, (Q, Σ, δ, q0, F), skládající se z
- konečný soubor států Q
- konečná sada vstupní symboly Σ
- sada označených okrajů δ, označované jako přechodový vztah: Q × (Σ ∪ {ε}) × Q. Zde ε označuje prázdné slovo.
- an počáteční Stát q0 ∈ Q
- soubor států F rozlišovat jako přijímající státy F ⊆ Q.
Slovo w ∈ Σ* je akceptováno ε-NFA, pokud existuje a směrovaná cesta z původního stavu q0 do nějakého konečného stavu v F pomocí hran z δ, tak, že zřetězení všech štítků navštívených podél cesty přináší slovo w. Sada všech slov přes Σ* přijímaný automatem je Jazyk přijato automatem A.
Když mluvíme o digrafických vlastnostech nedeterministického konečného automatu A se stavovou sadou Q, přirozeně oslovujeme digraf s množinou vrcholů Q indukované jeho přechodovým vztahem. Nyní je věta uvedena následovně.
- Egganova věta: Výška hvězdy běžného jazyka L se rovná minimálnímu pořadí cyklu mezi všemi nedeterministické konečné automaty s tahy ε přijímání L.
Důkazy této věty jsou dány Eggan (1963) a v poslední době také Sakarovitch (2009).
Choleskyho faktorizace v řídkých maticových výpočtech
Další aplikace tohoto konceptu spočívá v řídká matice výpočty, jmenovitě pro použití vnořená pitva vypočítat Choleského faktorizace (symetrické) matice paralelně. Daný řídký -matice M lze interpretovat jako matici sousedství nějakého symetrického digrafu G na n vrcholy takovým způsobem, že nenulové položky matice jsou v korespondenci jedna s jednou s okraji G. Pokud je cyklická hodnost digrafu G je nanejvýš k, pak Choleského faktorizace z M lze vypočítat maximálně k kroky na paralelním počítači s procesory (Dereniowski & Kubale 2004 ).
Viz také
Reference
- Bodlaender, Hans L.; Gilbert, John R .; Hafsteinsson, Hjálmtýr; Kloks, Ton (1995), „Přibližná šířka stromu, šířka cesty, přední strana a nejkratší eliminační strom“, Journal of Algorithms, 18 (2): 238–255, doi:10.1006 / jagm.1995.1009, Zbl 0818.68118[trvalý mrtvý odkaz ].
- Dereniowski, Dariusz; Kubale, Marek (2004), "Cholesky Factorization of Matrices in Parallel and Ranking of Graphs", 5. mezinárodní konference o paralelním zpracování a aplikované matematice (PDF), Přednášky o informatice, 3019, Springer-Verlag, str. 985–992, doi:10.1007/978-3-540-24669-5_127, Zbl 1128.68544, archivovány z originál (PDF) dne 16.7.2011.
- Eggan, Lawrence C. (1963), „Přechodové grafy a výška hvězd pravidelných událostí“, Michigan Mathematical Journal, 10 (4): 385–397, doi:10,1307 / mmj / 1028998975, Zbl 0173.01504.
- Eisenstat, Stanley C .; Liu, Joseph W. H. (2005), „Teorie eliminačních stromů pro řídké nesymetrické matice“, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 26 (3): 686–705, doi:10.1137 / S089547980240563X.
- Gruber, Hermann (2012), „Měření a aplikace komplexnosti digrafu v teorii formálního jazyka“ (PDF), Diskrétní matematika a teoretická informatika, 14 (2): 189–204.
- Gruber, Hermann; Holzer, Markus (2008), „Konečné automaty, konektivita digrafu a velikost regulárního výrazu“ (PDF), Proc. 35. mezinárodní kolokvium o automatech, jazycích a programování, Přednášky o informatice, 5126, Springer-Verlag, str. 39–50, doi:10.1007/978-3-540-70583-3_4.
- McNaughton, Robert (1969), „Smyčková složitost pravidelných událostí“, Informační vědy, 1 (3): 305–328, doi:10.1016 / S0020-0255 (69) 80016-2.
- Rossman, Benjamin (2008), „Věty o zachování homomorfismu“, Deník ACM, 55 (3): článek 15, doi:10.1145/1379759.1379763.
- Sakarovitch, Jacques (2009), Základy teorie automatů, Cambridge University Press, ISBN 0-521-84425-8
- Schreiber, Robert (1982), „Nová implementace řídké gaussovské eliminace“ (PDF), Transakce ACM na matematickém softwaru, 8 (3): 256–276, doi:10.1145/356004.356006, archivovány z originál (PDF) dne 07.06.2011, vyvoláno 2010-01-04.