Camassa – Holmova rovnice - Camassa–Holm equation
v dynamika tekutin, Camassa – Holmova rovnice je integrovatelný, bezrozměrný a nelineární parciální diferenciální rovnice
Rovnici představil Roberto Camassa a Darryl Holm[1] jako biHamiltonian model pro vlny v mělká voda a v této souvislosti parametr κ je pozitivní a osamělá vlna řešení jsou hladká solitony.
Ve zvláštním případě κ se rovná nule, rovnice Camassa – Holm má Peakon řešení: solitony s ostrým vrcholem, takže s a diskontinuita na vrcholu vlny sklon.
Vztah k vlnám v mělké vodě
Camassa – Holmovu rovnici lze psát jako soustavu rovnic:[2]
s p (bezrozměrný) tlak nebo výška povrchu. To ukazuje, že Camassa – Holmova rovnice je modelem pro mělké vodní vlny shydrostatický tlak a vodní vrstva na vodorovném loži.
Lineární disperze charakteristiky Camassa – Holmovy rovnice jsou:
s ω the úhlová frekvence a k the vlnové číslo. Není divu, že má podobnou formu jako ta pro Korteweg – de Vriesova rovnice, za předpokladu κ je nenulová. Pro κ rovná nule, rovnice Camassa – Holm nemá frekvenční rozptyl - navíc lineární rychlost fáze je pro tento případ nula. Jako výsledek, κ je fázová rychlost pro limit dlouhé vlny k blíží se nule a Camassa – Holmova rovnice je (pokud κ je nenulový) model pro jednosměrné šíření vln, jako je rovnice Korteweg – de Vries.
Hamiltonovská struktura
Představujeme impuls m tak jako
pak dva kompatibilní Hamiltonian popisy Camassa – Holmovy rovnice jsou:[3]
Integrovatelnost
Camassa – Holmova rovnice je integrovatelný systém. Integrovatelnost znamená, že dochází ke změně proměnných (proměnné úhlu akce ) tak, že evoluční rovnice v nových proměnných je ekvivalentní lineárnímu toku při konstantní rychlosti. Této změny proměnných je dosaženo studiem přidruženého isospektrální / rozptylový problém, a připomíná to integrovatelné klasické Hamiltonovské systémy jsou ekvivalentní lineárním tokům při konstantní rychlosti Tori. Camassa – Holmova rovnice je integrovatelná za předpokladu, že hybnost
je pozitivní - viz [4] a [5] pro podrobný popis spektrum spojené s isospektrálním problémem,[4] pro inverzní spektrální problém v případě prostorově periodických hladkých řešení a [6] pro přístup inverzního rozptylu v případě hladkých řešení, která se rozpadají v nekonečnu.
Přesná řešení
Putovní vlny jsou řešením této formy
představující vlny trvalého tvaru F které se šíří konstantní rychlostí C. Tyto vlny se nazývají osamělé vlny, pokud se jedná o lokalizované poruchy, tedy o vlnový profil F rozpadá se v nekonečnu. Pokud si osamělé vlny po interakci s jinými vlnami stejného typu zachovají svůj tvar a rychlost, říkáme, že osamělé vlny jsou osamělé. Mezi integrabilitou a solitony existuje úzké spojení.[7] V omezujícím případě, kdy κ = 0 solitony dosáhnou vrcholu (ve tvaru grafu funkce F(X) = e−|X|), a poté jsou voláni Peakons. Je možné poskytnout explicitní vzorce pro Peakonovy interakce, vizualizovat tedy skutečnost, že jsou solitony.[8] Pro hladké solitony jsou solitonové interakce méně elegantní.[9] To je částečně způsobeno skutečností, že na rozdíl od peakonů lze hladké solitony kvalitativně relativně snadno popsat - jsou plynulé, rozpadají se exponenciálně rychle v nekonečnu, symetricky vzhledem k vrcholu a se dvěma inflexními body[10] - ale explicitní vzorce nejsou k dispozici. Všimněte si také, že osamělé vlny jsou orbitálně stabilní, tj. Jejich tvar je stabilní i při malých poruchách, a to jak pro hladké solitony[10] a pro pávy.[11]
Lámání vln
Camassa – Holmovy modely rovnice lámání vln: plynulý počáteční profil s dostatečným rozpadem v nekonečnu se vyvine buď do vlny, která existuje po celou dobu, nebo do rozbíjející se vlny[12] je charakterizována skutečností, že řešení zůstává ohraničené, ale jeho sklon se v konečném čase neomezuje). Skutečnost, že rovnice připouští řešení tohoto typu, objevili Camassa a Holm[1] a tyto úvahy byly následně kladeny na pevný matematický základ.[13]Je známo, že jediný způsob, jak se mohou singularity vyskytnout v řešeních, je ve formě lámání vln.[14][15]Navíc ze znalosti hladkého počátečního profilu je možné předpovědět (prostřednictvím nezbytné a dostatečné podmínky), zda dojde k rozbití vlny nebo ne.[16] Pokud jde o pokračování řešení po rozbití vln, jsou možné dva scénáře: konzervativní případ[17] a disipativní případ[18] (s první charakteristikou zachování energie, zatímco disipativní scénář odpovídá za ztrátu energie v důsledku rozbití).
Dlouhodobá asymptotika
Je možné ukázat, že pro dostatečně rychle se rozpadající hladké počáteční podmínky s kladnou hybností se rozdělí na konečné číslo a soliton plus rozpadající se disperzní část. Přesněji lze pro následující zobrazit následující :[19]Zkrátit . V oblasti soliton řešení se rozdělí na konečné lineární kombinované solitony. V oblasti řešení je asymptoticky dáno modulovanou sinusovou funkcí, jejíž amplituda klesá podobně . V oblasti řešení je asymptoticky dáno součtem dvou modulovaných sinusových funkcí jako v předchozím případě. V oblasti roztok se rychle rozpadá řešení se rozdělí na nekonečnou lineární kombinaci Peakonů[20] (jak se dříve domnívalo[21]).
Viz také
Poznámky
- ^ A b Camassa & Holm 1993.
- ^ Loubet 2005.
- ^ Boldea 1995.
- ^ A b Constantin & McKean 1999.
- ^ Constantin 2001.
- ^ Constantin, Gerdjikov a Ivanov 2006.
- ^ Drazin & Johnson 1989.
- ^ Beals, Sattinger & Szmigielski 1999.
- ^ Parker 2005.
- ^ A b Constantin & Strauss 2002.
- ^ Constantin & Strauss 2000.
- ^ Whitham 1974.
- ^ Constantin a Escher 1998.
- ^ Constantin 2000.
- ^ Constantin a Escher 2000.
- ^ McKean 2004.
- ^ Bressan a Constantin 2007a.
- ^ Bressan a Constantin 2007b.
- ^ Boutet de Monvel a kol. 2009.
- ^ Eckhardt & Teschl 2013.
- ^ McKean 2003.
Reference
- Beals, Richarde; Sattinger, David H .; Szmigielski, Jacek (1999), „Multi-Peakons and theorem of Stieltjes“, Inverzní problémy, 15 (1), s. L1 – L4, arXiv:solv-int / 9903011, Bibcode:1999InvPr..15L ... 1B, CiteSeerX 10.1.1.251.3369, doi:10.1088/0266-5611/15/1/001
- Boldea, Costin-Radu (1995), „Zobecnění pro Peakonovu osamělou vlnu a rovnici Camassa – Holm“, Obecná matematika, 5 (1–4), s. 33–42
- Boutet de Monvel, Anne; Kostenko, Aleksey; Shepelsky, Dmitrij; Teschl, Gerald (2009), „Long-Time Asymptotics for the Camassa – Holm Equation“, SIAM J. Math. Anální., 41 (4), s. 1559–1588, arXiv:0902.0391, doi:10.1137/090748500
- Bressan, Alberto; Constantin, Adrian (2007a), „Globální konzervativní řešení Camassa – Holmovy rovnice“, Oblouk. Příděl. Mech. Anální., 183 (2), s. 215–239, Bibcode:2007ArRMA.183..215B, CiteSeerX 10.1.1.229.3821, doi:10.1007 / s00205-006-0010-z
- Bressan, Alberto; Constantin, Adrian (2007b), „Globální disipativní řešení Camassa – Holmovy rovnice“, Anální. Appl., 5, s. 1–27, CiteSeerX 10.1.1.230.3221, doi:10.1142 / S0219530507000857
- Camassa, Roberto; Holm, Darryl D. (1993), „Integrovatelná rovnice mělké vody se solitony se špičkami“, Phys. Rev. Lett., 71 (11), s. 1661–1664, arXiv:patt-sol / 9305002, Bibcode:1993PhRvL..71.1661C, doi:10.1103 / PhysRevLett.71.1661, PMID 10054466
- Constantin, Adrian (2000), „Existence trvalých a lámavých vln pro rovnici mělké vody: geometrický přístup“, Annales de l'Institut Fourier, 50 (2), s. 321–362, doi:10,5802 / aif.1757
- Constantin, Adrian (2001), „K problému rozptylu pro rovnici Camassa – Holm“, R. Soc. Lond. Proc. Ser. Matematika. Phys. Eng. Sci., 457 (2008), s. 953–970, Bibcode:2001RSPSA.457..953C, doi:10.1098 / rspa.2000.0701
- Constantin, Adrian; Escher, Joachim (1998), „Vlnění lámání pro nelineární rovnice nelokální mělké vody“, Acta Math., 181 (2), s. 229–243, doi:10.1007 / BF02392586
- Constantin, Adrian; Escher, Joachim (2000), „O míře nafouknutí a nafouknutí množině vln pro rovnici mělké vody“, Matematika. Z., 233 (1), s. 75–91, doi:10.1007 / PL00004793
- Constantin, Adrian; McKean, Henry P. (1999), „Rovnice mělké vody v kruhu“, Commun. Pure Appl. Matematika., 52 (8), s. 949–982, doi:10.1002 / (SICI) 1097-0312 (199908) 52: 8 <949 :: AID-CPA3> 3.0.CO; 2-D
- Constantin, Adrian; Strauss, Walter A. (2000), „Stability of peakons“, Comm. Pure Appl. Matematika., 53 (5): 603–610, doi:10.1002 / (SICI) 1097-0312 (200005) 53: 5 <603 :: AID-CPA3> 3.0.CO; 2-L
- Constantin, Adrian; Strauss, Walter A. (2002), „Stabilita solitons Camassa – Holm“, J. Nonlinear Sci., 12 (4): 415–422, Bibcode:2002JNS .... 12..415C, doi:10.1007 / s00332-002-0517-x
- Constantin, Adrian; Gerdjikov, Vladimir S .; Ivanov, Rossen I. (2006), „Inverzní rozptylová transformace pro rovnici Camassa – Holm“, Inverzní problémy, 22 (6), s. 2197–2207, arXiv:nlin / 0603019, Bibcode:2006InvPr..22.2197C, doi:10.1088/0266-5611/22/6/017
- Drazin, P. G.; Johnson, R. S. (1989), Soliton: úvod, Cambridge University Press, Cambridge
- Eckhardt, Jonathan; Teschl, Gerald (2013), „K isospektrálnímu problému bezrozptylové Camassa-Holmovy rovnice“, Adv. Matematika., 235 (1), s. 469–495, arXiv:1205.5831, doi:10.1016 / j.aim.2012.12.006
- Loubet, Enrique (2005), „O explicitní charakterizaci Hamiltoniánů hierarchie Camassa – Holm“ (PDF), J. Nelineární matematika. Phys., 12 (1), s. 135–143, Bibcode:2005JNMP ... 12..135L, doi:10.2991 / jnmp.2005.12.1.11
- McKean, Henry P. (2003), „Fredholmské determinanty a hierarchie Camassa – Holm“, Comm. Pure Appl. Matematika., 56 (5), s. 638–680, doi:10,1002 / cpa.10069
- McKean, Henry P. (2004), „Rozdělení Camassa – Holmovy rovnice“, Comm. Pure Appl. Matematika., 57 (3), s. 416–418, doi:10,1002 / cpa.20003
- Parker, Allen (2005), „K rovnici Camassa – Holm a přímé metodě řešení. III. N-soliton solutions ", Proc. R. Soc. Lond. Ser. Matematika. Phys. Eng. Sci., 461 (2064), s. 3893–3911, Bibcode:2005RSPSA.461.3893P, doi:10.1098 / rspa.2005.1537
- Whitham, G. B. (1974), Lineární a nelineární vlny, New York; Londýn; Sydney: Wiley Interscience
Další čtení
- Peakon řešení
- Beals, Richard; Sattinger, David H .; Szmigielski, Jacek (2000), „Multipeakons a problém klasické chvíle“, Adv. Matematika., 154 (2), s. 229–257, arXiv:solv-int / 9906001, doi:10.1006 / aima.1999.1883
- Teorie vodních vln
- Constantin, Adrian; Lannes, David (2007), „Hydrodynamický význam rovnic Camassa – Holm a Degasperis – Procesi“, Archiv pro racionální mechaniku a analýzu, 192 (1): 165–186, arXiv:0709.0905, Bibcode:2009ArRMA.192..165C, doi:10.1007 / s00205-008-0128-2
- Johnson, Robin S. (2003b), „Klasický problém vodních vln: rezervoár integrovatelných a téměř integrovatelných rovnic“, J. Nelineární matematika. Phys., 10 (dopl. 1), s. 72–92, Bibcode:2003JNMP ... 10S..72J, doi:10.2991 / jnmp.2003.10.s1.6
- Existence, jedinečnost, vyrovnanost, stabilita, rychlost šíření atd.
- Bressan, Alberto; Constantin, Adrian (2007a), „Globální konzervativní řešení rovnice Camassa – Holm“, Oblouk. Příděl. Mech. Anální., 183 (2), s. 215–239, Bibcode:2007ArRMA.183..215B, CiteSeerX 10.1.1.229.3821, doi:10.1007 / s00205-006-0010-z
- Constantin, Adrian; Strauss, Walter A. (2000), „Stability of peakons“, Comm. Pure Appl. Matematika., 53 (5): 603–610, doi:10.1002 / (SICI) 1097-0312 (200005) 53: 5 <603 :: AID-CPA3> 3.0.CO; 2-L
- Holden, Helge; Raynaud, Xavier (2007a), „Globální konzervativní multipeakonová řešení Camassa – Holmovy rovnice“, J. Hyperbolický rozdíl. Ekv., 4 (1), s. 39–64, doi:10.1142 / S0219891607001045
- McKean, Henry P. (2004), „Rozpis Camassa – Holmovy rovnice“, Comm. Pure Appl. Matematika., 57 (3), s. 416–418, doi:10,1002 / cpa.20003
- Putovní vlny
- Lenells, Jonatan (2005c), „Řešení cestovních vln rovnice Camassa – Holm“, J. Diferenciální rovnice, 217 (2), s. 393–430, Bibcode:2005JDE ... 217..393L, doi:10.1016 / j.jde.2004.09.007
- Struktura integrovatelnosti (symetrie, hierarchie solitonových rovnic, zákony zachování) a diferenciálně geometrická formulace
- Fuchssteiner, Benno (1996), „Některé triky ze sady nástrojů symetrie pro nelineární rovnice: zobecnění rovnice Camassa – Holm“, Physica D, 95 (3–4), s. 229–243, Bibcode:1996PhyD ... 95..229F, doi:10.1016/0167-2789(96)00048-6
- Lenells, Jonatan (2005a), „Zákony zachování rovnice Camassa – Holm“, J. Phys. A, 38 (4), s. 869–880, Bibcode:2005JPhA ... 38..869L, doi:10.1088/0305-4470/38/4/007
- McKean, Henry P. (2003b), „Liouvillská korespondence mezi hierarchiemi Korteweg – de Vries a Camassa – Holm“, Comm. Pure Appl. Matematika., 56 (7), s. 998–1015, doi:10,1002 / cpa.10083
- Misiołek, Gerard (1998), „Rovnice mělké vody jako geodetický tok ve skupině Bott-Virasoro“, J. Geom. Phys., 24 (3), s. 203–208, Bibcode:1998JGP .... 24..203M, doi:10.1016 / S0393-0440 (97) 00010-7
- Abenda, Simonetta; Grava, Tamara (2005), „Modulace Camassa – Holmovy rovnice a reciproční transformace“, Annales de l'Institut Fourier, 55 (6), s. 1803–1834, arXiv:math-ph / 0506042, Bibcode:2005math.ph ... 6042A, doi:10,5802 / aif.2142
- Alber, Mark S .; Camassa, Roberto; Holm, Darryl D .; Marsden, Jerrold E. (1994), „Geometrie špičkových solitonů a kulečníkových řešení třídy integrovatelných PDE“, Lett. Matematika. Phys., 32 (2), s. 137–151, Bibcode:1994LMaPh..32..137A, CiteSeerX 10.1.1.111.2327, doi:10.1007 / BF00739423
- Alber, Mark S .; Camassa, Roberto; Holm, Darryl D .; Fedorov, Yuri N .; Marsden, Jerrold E. (2001), „Složitá geometrie slabých po částech hladkých řešení integrovatelných nelineárních PDE mělké vody a typu Dym“, Comm. Matematika. Phys., 221 (1), s. 197–227, arXiv:nlin / 0105025, Bibcode:2001CMaPh.221..197A, doi:10.1007 / PL00005573
- Artebrant, Robert; Schroll, Hans Joachim (2006), „Numerická simulace Peakons Camassa – Holm pomocí adaptivního navíjení“, Aplikovaná numerická matematika, 56 (5), s. 695–711, doi:10.1016 / j.apnum.2005.06.002
- Beals, Richard; Sattinger, David H .; Szmigielski, Jacek (2005), „Periodické peakony a toky Calogero – Françoise“, J. Inst. Matematika. Jussieu, 4 (1), s. 1–27, doi:10.1017 / S1474748005000010
- Boutet de Monvel, Anne; Shepelsky, Dmitry (2005), „Camassa – Holmova rovnice na půlřádce“, C. R. Math. Acad. Sci. Paříž, 341 (10), s. 611–616, doi:10.1016 / j.crma.2005.09.035
- Boutet de Monvel, Anne; Shepelsky, Dmitry (2006), „Riemann – Hilbertův přístup pro rovnici Camassa – Holm na přímce“, C. R. Math. Acad. Sci. Paříž, 343 (10), s. 627–632, doi:10.1016 / j.crma.2006.10.014
- Boyd, John P. (2005), „Vlny blízké rohu rovnice Camassa – Holm“, Fyzikální písmena A, 336 (4–5), s. 342–348, Bibcode:2005PhLA..336..342B, doi:10.1016 / j.physleta.2004.12.055
- Byers, Peter (2006), „Existence čas pro Camassa – Holmovu rovnici a kritický Sobolevův index“, Indiana Univ. Matematika. J., 55 (3), s. 941–954, doi:10.1512 / iumj.2006.55.2710
- Camassa, Roberto (2003), „Charakteristiky a problém počáteční hodnoty zcela integrovatelné rovnice mělké vody“, Diskrétní kontinu. Dyn. Syst. Ser. B, 3 (1), s. 115–139, doi:10.3934 / dcdsb.2003.3.115
- Camassa, Roberto; Holm, Darryl D .; Hyman, J. M. (1994), „Advances in Applied Mechanics Volume 31“, Adv. Appl. Mech.Pokroky v aplikované mechanice, 31, s. 1–33, doi:10.1016 / S0065-2156 (08) 70254-0, ISBN 9780120020317
- Camassa, Roberto; Huang, Jingfang; Lee, Long (2005), „Na zcela integrovatelném numerickém schématu pro nelineární rovnici mělkých vln“, J. Nelineární matematika. Phys., 12 (dodatek 1), s. 146–162, Bibcode:2005JNMP ... 12S.146C, CiteSeerX 10.1.1.596.3529, doi:10.2991 / jnmp.2005.12.s1.13
- Camassa, Roberto; Huang, Jingfang; Lee, Long (2006), „Integrované a integrovatelné algoritmy pro nelineární rovnici mělkých vln“, J. Comput. Phys., 216 (2), s. 547–572, Bibcode:2006JCoPh.216..547C, doi:10.1016 / j.jcp.2005.12.013
- Casati, Paolo; Lorenzoni, Paolo; Ortenzi, Giovanni; Pedroni, Marco (2005), „O místních a nelokálních hierarchiích Camassa – Holm“, J. Math. Phys., 46 (4), s. 042704, 8 s., Bibcode:2005JMP .... 46d2704C, doi:10.1063/1.1888568
- Coclite, Giuseppe Maria; Karlsen, Kenneth Hvistendahl (2006), „Problém singulárního limitu pro zákony zachování týkající se rovnice mělké vody Camassa – Holm“, Comm. Parciální diferenciální rovnice, 31 (7–9), s. 1253–1272, CiteSeerX 10.1.1.144.9138, doi:10.1080/03605300600781600
- Coclite, Giuseppe Maria; Karlsen, Kenneth Hvistendahl; Risebro, Nils Henrik (2008a), „Konvergentní schéma konečných diferencí pro Camassa – Holmovu rovnici s obecným H1 počáteční data ", SIAM J. Numer. Anální., 46 (3), s. 1554–1579, doi:10.1137/060673242, hdl:10852/10545
- Coclite, Giuseppe Maria; Karlsen, Kenneth Hvistendahl; Risebro, Nils Henrik (2008b), Explicitní schéma konečných rozdílů pro Camassa – Holmovu rovnici, arXiv:0802.3129
- Cohen, David; Owren, Brynjulf; Raynaud, Xavier (2008), „Multisymplektická integrace Camassa – Holmovy rovnice“, Journal of Computational Physics, 227 (11), str. 5492–5512, Bibcode:2008JCoPh.227.5492C, CiteSeerX 10.1.1.183.7078, doi:10.1016 / j.jcp.2008.01.051
- Constantin, Adrian (1997), „Hamiltonovská struktura rovnice Camassa – Holm“, Expozice. Matematika., 15 (1), s. 53–85
- Constantin, Adrian (1998), „O inverzní spektrální úloze pro Camassa – Holmovu rovnici“, J. Funct. Anální., 155 (2), s. 352–363, doi:10.1006 / jfan.1997.3231
- Constantin, Adrian (2005), „Rychlost konečného šíření pro rovnici Camassa – Holm“, J. Math. Phys., 46 (2), s. 023506, 4 s., Bibcode:2005JMP .... 46b3506C, doi:10.1063/1.1845603
- Constantin, Adrian; Escher, Joachim (1998a), „Globální existence a výbuch pro rovnici mělké vody“, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci., 26 (2), s. 303–328
- Constantin, Adrian; Escher, Joachim (1998c), „Well-posedness, global existence, and blowup phenomena for the periodic quasi-linear hyperbolic equation“, Comm. Pure Appl. Matematika., 51 (5), s. 475–504, doi:10.1002 / (SICI) 1097-0312 (199805) 51: 5 <475 :: AID-CPA2> 3.0.CO; 2-5
- Constantin, Adrian; Gerdjikov, Vladimir S .; Ivanov, Rossen I. (2007), „Zobecněná Fourierova transformace pro hierarchii Camassa – Holm“, Inverzní problémy, 23 (4), s. 1565–1597, arXiv:0707.2048, Bibcode:2007InvPr..23.1565C, doi:10.1088/0266-5611/23/4/012
- Constantin, Adrian; Ivanov, Rossen (2006), „Poissonova struktura a proměnné akčního úhlu pro Camassa – Holmovu rovnici“, Lett. Matematika. Phys., 76 (1), s. 93–108, arXiv:nlin / 0602049, Bibcode:2006LMaPh..76 ... 93C, doi:10.1007 / s11005-006-0063-9
- Constantin, Adrian; Kolev, Boris (2003), „Geodetický tok na difeomorfistické skupině kruhu“, Komentář. Matematika. Helv., 78 (4), s. 787–804, arXiv:matematika / 0208076, doi:10.1007 / s00014-003-0785-6
- Constantin, Adrian; Molinet, Luc (2000), „Globální slabá řešení pro rovnici mělké vody“, Comm. Matematika. Phys., 211 (1), s. 45–61, Bibcode:2000CMaPh.211 ... 45C, doi:10,1007 / s002200050801
- Constantin, Adrian; Molinet, Luc (2001), „Orbitální stabilita osamělých vln pro rovnici mělké vody“, Phys. D, 157 (1–2), s. 75–89, Bibcode:2001PhyD..157 ... 75C, doi:10.1016 / S0167-2789 (01) 00298-6
- Dai, Hui-Hui (1998), „Modelové rovnice pro nelineární disperzní vlny ve stlačitelné tyči Mooney – Rivlin“, Acta Mech., 127 (1–4), s. 193–207, doi:10.1007 / BF01170373
- Dai, Hui-Hui; Pavlov, Maxim (1998), „Transformace pro Camassa – Holmovu rovnici, její vysokofrekvenční limit a sinh-Gordonovu rovnici“, J. Phys. Soc. Jpn., 67 (11), s. 3655–3657, Bibcode:1998JPSJ ... 67.3655D, doi:10.1143 / JPSJ.67.3655
- Danchin, Raphaël (2001), „Několik poznámek k rovnici Camassa – Holm“, Diferenciální integrální rovnice, 14 (8), s. 953–988
- Danchin, Raphaël (2003), „Poznámka k dobrému postoji pro Camassa – Holmovu rovnici“, J. Diferenciální rovnice, 192 (2), s. 429–444, Bibcode:2003JDE ... 192..429D, doi:10.1016 / S0022-0396 (03) 00096-2
- Escher, Joachim; Yin, Zhaoyang (2008), „Počáteční problémy s hraniční hodnotou rovnice Camassa – Holm“, Comm. Parciální diferenciální rovnice, 33 (1–3), s. 377–395, doi:10.1080/03605300701318872
- Fisher, Michael; Schiff, Jeremy (1999), „Camassa – Holmova rovnice: konzervované veličiny a problém počáteční hodnoty“, Phys. Lett. A, 259 (5), s. 371–376, arXiv:solv-int / 9901001, Bibcode:1999PhLA..259..371F, doi:10.1016 / S0375-9601 (99) 00466-1
- Fuchssteiner, Benno (1981), „Struktura Lieovy algebry nelineárních evolučních rovnic připouštějící nekonečně-dimenzionální abelianské symetrické skupiny“, Progr. Teoretická. Phys., 65 (3), s. 861–876, Bibcode:1981PThPh..65..861F, doi:10,1143 / PTP.65.861
- Fuchssteiner, Benno; Fokas, Athanassios S. (1981), „Symplektické struktury, jejich Bäcklundovy transformace a dědičné symetrie“, Physica D, 4 (1), s. 47–66, Bibcode:1981PhyD .... 4 ... 47F, doi:10.1016 / 0167-2789 (81) 90004-X
- Gesztesy, Fritz; Holden, Helge (2003), „Algebro-geometrická řešení hierarchie Camassa – Holm“, Reverend Mat. Iberoamericana, 19 (1), s. 73–142
- Golovko, V .; Kersten, P .; Krasil'shchik, I .; Verbovetsky, A. (2008), „O integrovatelnosti Camassa – Holmovy rovnice a jejích invariantech: geometrický přístup“, Acta Appl. Matematika., 101 (1–3), s. 59–83, arXiv:0812.4681, doi:10.1007 / s10440-008-9200-z
- Himonas, A. Alexandrou; Misiołek, Gerard (2001), "Cauchyův problém pro integrovatelnou rovnici mělké vody", Diferenciální a integrální rovnice, 14 (7), s. 821–831
- Himonas, A. Alexandrou; Misiołek, Gerard (2005), „Vysokofrekvenční plynulá řešení a dobrá posedlost Camassa – Holmovy rovnice“, Int. Matematika. Res. Ne., 2005 (51), s. 3135–3151, doi:10.1155 / IMRN.2005.3135
- Himonas, A. Alexandrou; Misiołek, Gerard; Ponce, Gustavo; Zhou, Yong (2007), „Vlastnosti perzistence a jedinečné pokračování řešení Camassa – Holmovy rovnice“, Comm. Matematika. Phys., 271 (2), s. 511–522, arXiv:matematika / 0604192, Bibcode:2007CMaPh.271..511H, doi:10.1007 / s00220-006-0172-4
- Holden, Helge; Raynaud, Xavier (2006a), „Konvergentní numerické schéma pro rovnici Camassa – Holm založené na multipeakonech“, Diskrétní kontinu. Dyn. Syst., 14 (3), s. 505–523, doi:10.3934 / dcds.2006.14.505
- Holden, Helge; Raynaud, Xavier (2006b), „Konvergence konečného rozdílového schématu pro Camassa – Holmovu rovnici“, SIAM J. Numer. Anální., 44 (4), s. 1655–1680, CiteSeerX 10.1.1.183.7171, doi:10.1137/040611975
- Holden, Helge; Raynaud, Xavier (2008a), „Periodická konzervativní řešení Camassa – Holmovy rovnice“, Annales de l'Institut Fourier, 58 (3), s. 945–988, doi:10,5802 / aif. 2375
- Holden, Helge; Raynaud, Xavier (2007b), „Globální konzervativní řešení Camassa – Holmovy rovnice - Lagrangeovo hledisko“, Komunikace v parciálních diferenciálních rovnicích, 32 (10–12), s. 1511–1549, CiteSeerX 10.1.1.756.3380, doi:10.1080/03605300601088674
- Holden, Helge; Raynaud, Xavier (2008), Disipativní řešení pro Camassa – Holmovu rovnici
- Hwang, Seok (2007), „Singular limit problem of the Camassa – Holm type equation“, Deník diferenciálních rovnic, 235 (1), s. 74–84, Bibcode:2007JDE ... 235 ... 74H, doi:10.1016 / j.jde.2006.12.011
- Ionescu-Kruse, Delia (2007), „Variační derivace rovnice mělké vody Camassa – Holm s nenulovou vířivostí“, Diskrétní kontinu. Dyn. Syst., 19 (3), s. 531–543, arXiv:0711.4701, Bibcode:2007arXiv0711.4701I, doi:10.3934 / dcds.2007.19.531, archivovány z originál dne 03.03.2016, vyvoláno 2009-02-19
- Johnson, Robin S. (2002), „Camassa – Holm, Korteweg – de Vries a související modely pro vodní vlny“, J. Fluid Mech., 455 (1), s. 63–82, Bibcode:2002JFM ... 455 ... 63J, doi:10.1017 / S0022112001007224
- Johnson, Robin S. (2003a), „Camassa – Holmova rovnice pro vodní vlny pohybující se ve smykovém proudu“, Fluid Dynam. Res., 33 (1–2), s. 97–111, Bibcode:2003FlDyR..33 ... 97J, doi:10.1016 / S0169-5983 (03) 00036-4
- Johnson, Robin S. (2003c), „O řešeních Camassa – Holmovy rovnice“, R. Soc. Lond. Proc. Ser. Matematika. Phys. Eng. Sci., 459 (2035), s. 1687–1708, Bibcode:2003RSPSA.459.1687J, doi:10.1098 / rspa.2002.1078
- Kaup, D. J. (2006), „Vývoj rozptylových koeficientů Camassa – Holmovy rovnice, pro obecná počáteční data“, Stud. Appl. Matematika., 117 (2), s. 149–164, CiteSeerX 10.1.1.490.130, doi:10.1111 / j.1467-9590.2006.00350.x
- Khesin, Borisi; Misiołek, Gerard (2003), „Eulerovy rovnice o homogenních prostorech a drahách Virasoro“, Pokroky v matematice, 176 (1), s. 116–144, arXiv:matematika / 0210397, doi:10.1016 / S0001-8708 (02) 00063-4
- de Lellis, Camillo; Kappeler, Thomas; Topalov, Peter (2007), „Řešení s nízkou pravidelností periodické Camassa – Holmovy rovnice“, Komunikace v parciálních diferenciálních rovnicích, 32 (1–3), s. 87–126, CiteSeerX 10.1.1.571.8567, doi:10.1080/03605300601091470
- Lenells, Jonatan (2004), „Variační přístup ke stabilitě periodických peakonů“, J. Nelineární matematika. Phys., 11 (2), s. 151–163, Bibcode:2004JNMP ... 11..151L, doi:10.2991 / jnmp.2004.11.2.2
- Lenells, Jonatan (2004), „Stability of periodic peakons“, Oznámení o mezinárodním matematickém výzkumu, 2004 (10), s. 485–499, doi:10.1155 / S1073792804132431
- Lenells, Jonatan (2004), „Korespondence mezi KdV a Camassa – Holm“, Oznámení o mezinárodním matematickém výzkumu, 2004 (71), s. 3797–3811, doi:10.1155 / S1073792804142451
- Lenells, Jonatan (2005), „Stabilita pro periodickou rovnici Camassa – Holm“, Mathematica Scandinavica, 97 (2), s. 188–200, doi:10,7146 / math.scand.a-14971, archivovány z originál dne 22. 12. 2008, vyvoláno 2009-02-19
- Lenells, Jonatan (2007), „Nekonečná rychlost šíření rovnice Camassa – Holm“, J. Math. Anální. Appl., 325 (2), s. 1468–1478, doi:10.1016 / j.jmaa.2006.02.045
- Li, Luen-Chau (2008), „Factorization problem on the Hilbert – Schmidt group and the Camassa – Holm equation“, Comm. Pure Appl. Matematika., 61 (2), s. 186–209, arXiv:matematika / 0601156, doi:10.1002 / cpa.20207
- Liao, S.J. (2013), „Existují opravdu osamělé vodní vlny?“, Komunikace v nelineární vědě a numerická simulace, 19 (6): 1792–1821, arXiv:1204.3354, Bibcode:2014CNSNS..19.1792L, CiteSeerX 10.1.1.747.8302, doi:10.1016 / j.cnsns.2013.09.042
- Lombardo, Maria Carmela; Sammartino, Marco; Sciacca, Vincenzo (2005), „Poznámka k analytickým řešením Camassa – Holmovy rovnice“, C. R. Math. Acad. Sci. Paříž, 341 (11), s. 659–664, doi:10.1016 / j.crma.2005.10.006
- Loubet, Enrique (2006), „Genesis solitonů vznikajících z jednotlivých toků hierarchie Camassa – Holm“, Comm. Pure Appl. Matematika., 59 (3), s. 408–465, doi:10.1002 / cpa.20109
- Misiołek, Gerard (2005), „Klasická řešení periodické Camassa – Holmovy rovnice“, Geometrická a funkční analýza, 12 (5), s. 1080–1104, doi:10.1007 / PL00012648
- Olver, Peter J.; Rosenau, Philip (1996), „Tri-hamiltonovská dualita mezi solitony a solitérními vlnovými řešeními s kompaktní podporou“, Phys. Rev., 53 (2), s. 1900–1906, Bibcode:1996PhRvE..53.1900O, doi:10.1103 / PhysRevE.53.1900
- Ortenzi, Giovanni; Pedroni, Marco; Rubtsov, Vladimir (2008), „O vyšších Poissonových strukturách hierarchie Camassa – Holm“, Acta Appl. Matematika., 101 (1–3), s. 243–254, doi:10.1007 / s10440-008-9188-4, hdl:10446/554
- Parker, Allen (2004), „K rovnici Camassa – Holm a přímé metodě řešení. I. Bilineární forma a osamělé vlny“, Proc. R. Soc. Lond. Ser. Matematika. Phys. Eng. Sci., 460 (2050), s. 2929–2957, Bibcode:2004RSPSA.460.2929P, doi:10.1098 / rspa.2004.1301
- Parker, Allen (2005), „K rovnici Camassa – Holm a přímé metodě řešení. II. Soliton řešení“, Proc. R. Soc. Lond. Ser. Matematika. Phys. Eng. Sci., 461 (2063), s. 3611–3632, Bibcode:2005RSPSA.461.3611P, doi:10.1098 / rspa.2005.1536
- Parker, Allen (2006), „Faktorizační postup pro řešení Camassa – Holmovy rovnice“, Inverzní problémy, 22 (2), s. 599–609, Bibcode:2006InvPr..22..599P, doi:10.1088/0266-5611/22/2/013
- Parker, Allen (2007), "Cusped solitons of the Camassa – Holm equation. I. Cuspon solitary wave and antipeakon limit", Chaos, solitony a fraktály, 34 (3), s. 730–739, Bibcode:2007CSF .... 34..730P, doi:10.1016 / j.chaos.2007.01.033
- Parker, Allen (2008), „Vlnová dynamika pro vrcholené solitony rovnice Camassa – Holm“, Chaos, solitony a fraktály, 35 (2), s. 220–237, Bibcode:2008CSF .... 35..220P, doi:10.1016 / j.chaos.2007.07.049
- Qiao, Zhijun (2003), „Hierarchie Camassa – Holm, N-dimenzionální integrovatelné systémy a algebro-geometrické řešení na symplektickém podmanifoldu ", Komunikace v matematické fyzice, 239 (1–2), s. 309–341, Bibcode:2003CMaPh.239..309Q, doi:10.1007 / s00220-003-0880-r
- Reyes, Enrique G. (2002), „Geometrická integrabilita Camassa – Holmovy rovnice“, Lett. Matematika. Phys., 59 (2), s. 117–131, doi:10.1023 / A: 1014933316169
- Rodríguez-Blanco, Guillermo (2001), „K problému Cauchyho pro rovnici Camassa – Holm“, Nelineární analýza, 46 (3), s. 309–327, doi:10.1016 / S0362-546X (01) 00791-X
- Schiff, Jeremy (1998), „Camassa – Holmova rovnice: přístup smyčkové skupiny“, Physica D, 121 (1–2), s. 24–43, arXiv:solv-int / 9709010, Bibcode:1998PhyD..121 ... 24S, doi:10.1016 / S0167-2789 (98) 00099-2
- Vaninsky, K. L. (2005), "Rovnice typu Camassa – Holm a Jacobiho elipsoidní souřadnice", Sdělení o čisté a aplikované matematice, 58 (9), s. 1149–1187, arXiv:math-ph / 0303063, CiteSeerX 10.1.1.340.9314, doi:10.1002 / cpa.20089
- Wahlén, Erik (2005), „Výsledek vyhodnocení periodické rovnice Camassa – Holm“, Archiv der Mathematik, 84 (4), s. 334–340, doi:10.1007 / s00013-004-1199-4
- Wahlén, Erik (2006), „Globální existence slabých řešení rovnice Camassa – Holm“, Int. Matematika. Res. Ne., 2006, s. čl. ID 28976, 12 stran, doi:10.1155 / IMRN / 2006/28976
- Wu, Shuyin; Yin, Zhaoyang (2006), „Blow-up, blow-up rate a rozpad řešení slabě disipativní Camassa – Holmovy rovnice“, J. Math. Phys., 47 (1), s. 013504, 12 s., Bibcode:2006JMP .... 47a3504W, doi:10.1063/1.2158437
- Xin, Zhouping; Zhang, Ping (2002), „O jedinečnosti a dlouhodobém chování slabých řešení rovnice mělké vody“, Comm. Parciální diferenciální rovnice, 27 (9–10), s. 1815–1844, doi:10.1081 / PDE-120016129
- Zampogni, Luca (2007), „O algebro-geometrických řešeních hierarchie Camassa – Holm“, Adv. Nelineární čep., 7 (3), s. 345–380, doi:10.1515 / ans-2007-0303