Hunter – Saxtonova rovnice - Hunter–Saxton equation
v matematická fyzika, Hunter – Saxtonova rovnice[1]
je integrovatelný PDE který vzniká při teoretickém studiu nematické tekuté krystaly. Pokud jsou molekuly v tekutém krystalu zpočátku všechny zarovnané a některé z nich jsou poté mírně zakrouteny, bude se toto narušení orientace šířit skrz krystal a Hunter-Saxtonova rovnice popisuje určité aspekty takových orientační vlny.
Fyzické pozadí
U zde uvažovaných modelů pro tekuté krystaly se předpokládá, že nedochází k žádnému toku tekutiny, takže pouze orientace zajímavé. V rámci teorie elastického kontinua, orientace je popsána polem jednotkových vektorů n(X,y,z,t). U nematických kapalných krystalů není rozdíl mezi orientací molekuly v n směru nebo v -n směr a vektorové pole n se pak nazývá a ředitel pole.Hustota potenciální energie v řídicím poli je obvykle považována za danou Oseen –Upřímný energie funkční [2]
kde kladné koeficienty , , jsou známé jako elastické koeficienty roztažení, zkroucení a ohybu. Kinetická energie je často zanedbávána kvůli vysoké viskozitě kapalných krystalů.
Odvození rovnice Hunter – Saxton
Hunter a Saxton[1] zkoumal případ, kdy je viskózní tlumení ignorováno a do modelu je zahrnut termín kinetické energie. Pak jsou řídící rovnice pro dynamiku pole ředitele Euler-Lagrangeovy rovnice pro Lagrangian
kde je Lagrangeův multiplikátor odpovídající omezení |n| = 1. Omezili svou pozornost na „roztažení vln“, kde má pole režiséra zvláštní podobu
Tento předpoklad redukuje Lagrangeovu na
a pak se stane Euler-Lagrangeova rovnice pro úhel φ
Existují triviální konstantní řešení φ = φ0odpovídá stavům, kdy jsou molekuly v tekutém krystalu dokonale vyrovnány. Linearizace kolem takové rovnováhy vede k lineární vlnové rovnici, která umožňuje šíření vln v obou směrech rychlostíLze tedy očekávat, že se nelineární rovnice bude chovat podobně. Aby bylo možné studovat vlny pohybující se doprava pro velké t, hledá se asymptotické řešení formy
kde
Když to vložíte do rovnice, najdete to v pořadí že
Jednoduché přejmenování a změna měřítka proměnných (za předpokladu, že ) transformuje to do rovnice Hunter – Saxton.
Zobecnění
Analýzu později zobecnili Alì a Hunter,[3] který dovolil, aby pole ředitele směřovalo jakýmkoli směrem, ale s prostorovou závislostí stále jen v X směr:
Pak je Lagrangian
Odpovídající Euler-Lagrangeovy rovnice jsou spojené nelineární vlnové rovnice pro úhly φ a ψ, přičemž φ odpovídá „roztaženým vlnám“ a ψ „krouceným vlnám“. Předchozí případ Hunter – Saxton (čisté splay vlny) je obnoven pomocí taking konstanty, ale lze také uvažovat spojené splay-twist vlny, kde se oba φ a ψ liší. Asymptotické expanze podobné výše uvedené vedou k systému rovnic, který po přejmenování a změně měřítka proměnných má podobu
kde u souvisí s φ a proti do ψ. Tento systém naznačuje[4] že u splňuje
takže (docela pozoruhodně) rovnice Hunter – Saxton vzniká také v této souvislosti, ale jiným způsobem.
Variační struktury a integrovatelnost
The integrovatelnost rovnice Hunter-Saxton, přesněji její rovnice X derivát
předvedli Hunter a Zheng,[5] kteří využili, že tato rovnice je získána z Camassa – Holmova rovnice
ve „vysokofrekvenčním limitu“
Použitím tohoto omezujícího postupu na Lagrangeovu pro Camassa – Holmovu rovnici získali Lagrangeovu
který produkuje Hunter-Saxtonovu rovnici po eliminaci proti a w z Euler-Lagrangeových rovnic pro u, proti, w. Vzhledem k tomu, že existuje i zjevnější lagrangeština
Hunter – Saxton má dvě nerovnoměrné variační struktury. Hunter a Zheng také získali bihamiltonovskou formulaci a Lax pár z odpovídajících struktur pro Camassa – Holmovu rovnici podobným způsobem.
Skutečnost, že rovnice Hunter-Saxton vzniká fyzicky dvěma různými způsoby (jak je uvedeno výše), použili Alì a Hunter[3] vysvětlit, proč má tuto bivariační (nebo bihamiltonovskou) strukturu.
Poznámky
Reference
- Alì, Giuseppe; Hunter, John K. (2006), Orientační vlny v řídicím poli s rotační setrvačností, arXiv:matematika.AP / 0609189
- de Gennes, Pierre-Gilles; Prost, Jacques (1994), Fyzika kapalných krystalů, Mezinárodní série monografií o fyzice (2. vydání), Oxford University Press, ISBN 0-19-852024-7
- Hunter, John K .; Saxton, Ralph (1991), „Dynamika ředitelských oborů“, SIAM J. Appl. Matematika., 51 (6), s. 1498–1521, doi:10.1137/0151075
- Hunter, John K .; Zheng, Yuxi (1994), „Na zcela integrovatelné nelineární hyperbolické variační rovnici“, Physica D, 79 (2–4), s. 361–386, Bibcode:1994PhyD ... 79..361H, doi:10.1016 / S0167-2789 (05) 80015-6
Další čtení
- Beals, Richarde; Sattinger, David H .; Szmigielski, Jacek (2001), „Řešení inverzního rozptylu Hunter-Saxtonovy rovnice“, Použitelná analýza, 78 (3–4), s. 255–269, doi:10.1080/00036810108840938[trvalý mrtvý odkaz ]
- Bressan, Alberto; Constantin, Adrian (2005), „Globální řešení Hunter-Saxtonovy rovnice“, SIAM J. Math. Anální., 37 (3), s. 996–1026, arXiv:matematika / 0502059, doi:10.1137/050623036
- Holden, Helge; Karlsen, Kenneth Hvistendahl; Risebro, Nils Henrik (2007), „Konvergentní diferenční schémata pro Hunter-Saxtonovu rovnici“, Matematika. Comp., 76 (258), s. 699–745, Bibcode:2007MaCom..76..699H, doi:10.1090 / S0025-5718-07-01919-9, archivovány z originál dne 22.09.2007
- Hunter, John K .; Zheng, Yuxi (1995), "O nelineární hyperbolické variační rovnici. I. Globální existence slabých řešení", Oblouk. Rational Mech. Anální., 129 (4), s. 305–353, Bibcode:1995ArRMA.129..305H, doi:10.1007 / BF00379259
- Hunter, John K .; Zheng, Yuxi (1995), "O nelineární hyperbolické variační rovnici. II. Meze nulové viskozity a disperze", Oblouk. Rational Mech. Anální., 129 (4), s. 355–383, Bibcode:1995ArRMA.129..355H, doi:10.1007 / BF00379260
- Lenells, Jonatan (2007), „Rovnice Hunter – Saxton popisuje geodetické proudění na kouli“, J. Geom. Phys., 57 (10), s. 2049–2064, Bibcode:2007JGP .... 57.2049L, doi:10.1016 / j.geomphys.2007.05.003