Brumer – Stark dohad - Brumer–Stark conjecture - Wikipedia

The Brumer – Stark dohad je dohad v algebraická teorie čísel což poskytuje hrubé zobecnění obou vzorec čísla analytické třídy pro Funkce Dedekind zeta, a také z Stickelbergerova věta o faktorizace z Gaussovy částky. Je pojmenován po Armand Brumer a Harold Stark.

Vzniká jako zvláštní případ (abelian a prvního řádu) Starkova domněnka, když místo že úplně se rozdělí v prodloužení je konečný. Existuje jen velmi málo případů, kdy je známo, že domněnka je platná. Jeho význam vyplývá například z jeho spojení s Hilbertův dvanáctý problém.

Prohlášení o domněnce

Nechat K./k být abelian rozšíření z globální pole a nechte S být souborem míst k obsahující Archimédova místa a hlavní ideály že rozvětvovat se v K./k. The S- primitivní ekvivalenční funkce Artin L. θ(s) se získá z obvyklé ekvivariantní funkce Artin L odstraněním Eulerovy faktory odpovídající prvočíslům v S z Artin L-funkce ze kterého je postavena funkce ekvivariantu. Je to funkce na komplexní čísla přijímání hodnot v komplexu skupinové vyzvánění C[G] kde G je Galoisova skupina z K./k. Je analytický na celé rovině, s výjimkou osamělého jednoduchého pólu s = 1.

Nechat μ_K. být skupinou kořeny jednoty v K.. Skupina G jedná μ_K.; nechat A být zničit z μ_K. jako Z[G]-modul. Důležitá věta, poprvé prokázána C. L. Siegel a později nezávisle na Takuro Shintani, tvrdí, že θ(0) je ve skutečnosti Q[G]. Hlubší věta, kterou nezávisle prokázal Pierre Deligne a Ken Ribet, Daniel Barsky, a Pierrette Cassou-Noguès, tvrdí, že Aθ(0) je v Z[G]. Zejména, Wθ(0) je v Z[G], kde Ž je mohutnost μ_K..

The ideální třídní skupina z K. je G-modul. Z výše uvedené diskuse můžeme nechat Wθ(0) jednat podle toho. Brumer – Starkova domněnka říká následující:^[1]

Brumer – Stark dohad. Pro každou nenulovou hodnotu zlomkový ideál ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$ z K., existuje „anti-jednotka“ ε takhle

1. ${ displaystyle { mathfrak {a}} ^ {W theta (0)} = ( varepsilon).}$
2. Rozšíření ${ displaystyle K left ( varepsilon ^ { frac {1} {W}} right) / k}$ je abelian.

Za první část této domněnky stojí Armand Brumer a Harold Stark původně navrhl, že by druhá podmínka mohla platit. Dohadu poprvé uvedl ve zveřejněné podobě autor John Tate.^[2]

Termín „anti-jednotka“ označuje stav, který |ε|_ν musí být 1 pro každé Archimédovo místo ν.^[1]

Pokrok

Je známo, že domněnka Brumer Stark platí pro rozšíření K./k kde

• K./Q je cyklotomický: vyplývá to z Stickelbergerova věta^[1]
• K. je abelian u konce Q^[3]
• K./k je kvadratické rozšíření^[2]
• K./k je dvojkvadratické rozšíření^[4]

Analogové funkční pole

Obdobné prohlášení v případ pole funkce je známo, že je to pravda, což dokazuje John Tate a Pierre Deligne, s jiným důkazem Davida Hayese.^[5]

Reference