Bose plyn - Bose gas

Fyzika kondenzovaných látek
Fáze  · Fázový přechod  · QCP
Stavy hmoty Pevný  · Kapalný  · Plyn  · Plazma  · Kondenzát Bose – Einstein  · Bose plyn  · Fermionový kondenzát  · Fermiho plyn  · Fermiho kapalina  · Supersolid  · Super tekutost  · Luttingerova kapalina  · Časový krystal
Fázové jevy Parametr objednávky  · Fázový přechod  · QCP
Elektronické fáze Elektronická struktura pásma  · Plazma  · Izolátor  · Mottův izolátor  · Polovodič  · Semimetal  · Dirigent  · Supravodič  · Termoelektrický  · Piezoelektrický  · Feroelektrický  · Topologický izolátor  · Roztočte polovodič bez mezery
Elektronické jevy Kvantový Hallův efekt  · Spin Hallův efekt  · Kondo efekt
Magnetické fáze Diamagnet  · Superdiamagnet Paramagnet  · Superparamagnet Feromagnet  · Antiferromagnet Metamagnet  · Roztočte sklo
Kvazičástice Phonon  · Vzrušující  · Plasmon Polariton  · Polaron  · Magnon
Měkká hmota Amorfní pevná látka  · Koloidní  · Zrnitý materiál  · Tekutý krystal  · Polymer
Vědci Van der Waals  · Onnes  · von Laue  · Bragg  · Debye  · Bloch  · Onsager  · Mott  · Peierls  · Landau  · Luttinger  · Anderson  · Van Vleck  · Hubbard  · Shockley  · Bardeen  · Bednář  · Schrieffer  · Josephson  · Louis Néel  · Esaki  · Giaever  · Kohn  · Kadanoff  · Rybář  · Wilson  · von Klitzing  · Binnig  · Rohrer  · Bednorz  · Müller  · Laughlin  · Störmer  · Yang  · Tsui  · Abrikosov  · Ginzburg  · Leggett

Ideál Bose plyn je kvantově mechanický fáze hmoty, analogický s klasickým ideální plyn. Skládá se z bosony, které mají celočíselnou hodnotu rotace a poslouchají Statistiky Bose – Einstein. Statistickou mechaniku bosonů vyvinul Satyendra Nath Bose pro fotonový plyn, a rozšířena na masivní částice o Albert Einstein kdo si uvědomil, že ideální plyn z bosonů vytvoří kondenzát při dostatečně nízké teplotě, na rozdíl od klasického ideálního plynu. Tento kondenzát je znám jako a Kondenzát Bose – Einstein.

Úvod a příklady

Bosoni jsou kvantově mechanické částice, které následují Statistiky Bose – Einstein, nebo ekvivalentně, které mají celé číslo roztočit. Tyto částice lze klasifikovat jako základní: to jsou Higgsův boson, foton, gluon, W / Z a hypotetické graviton; nebo složený jako atom vodík atom atomu ¹⁶Ó, jádro deuterium, mezony atd. Navíc některé kvazičástice ve složitějších systémech lze také považovat bosony jako plazmony (kvantita vlny hustoty náboje ).

První model, který ošetřil plyn několika bosony, byl fotonový plyn, plyn fotonů, vyvinutý Bose. Tento model vedl k lepšímu porozumění Planckův zákon a záření černého tělesa. Fotonový plyn lze snadno rozšířit na jakýkoli druh souboru bezhmotných neinteragujících bosonů. The telefon plyn, také známý jako Debye model, je příkladem, kdy normální režimy vibrací krystalové mřížky kovu, lze považovat za efektivní bezhmotné bosony. Peter Debye použil model fononového plynu k vysvětlení chování tepelná kapacita kovů při nízké teplotě.

Zajímavým příkladem Boseova plynu je soubor helium-4 atomy. Když systém ⁴Atomy se ochladí na teplotu blízkou absolutní nula existuje mnoho kvantově mechanických jevů. Pod 2.17 kelvinů, soubor se začne chovat jako supratekutý, kapalina s téměř nulou viskozita. Boseův plyn je nejjednodušší kvantitativní model, který to vysvětluje fázový přechod. Hlavně když je plyn z bosonů ochlazen, tvoří a Kondenzát Bose – Einstein, stav, kdy velké množství bosonů zabírá nejnižší energii, základní stav a kvantové efekty jsou makroskopicky viditelné jako rušení vln.

Teorie Bose-Einsteinových kondenzátů a Boseových plynů může také vysvětlit některé vlastnosti supravodivost kde přepravci poplatků pár v párech (Cooperové páry ) a chovat se jako bosony. Výsledkem je, že supravodiče se chovají, jako by neměly žádný Elektrický odpor při nízkých teplotách.

Ekvivalentní model pro poloviční celočíselné částice (jako elektrony nebo helium-3 atomy), které následují Statistiky Fermi – Dirac, se nazývá Fermiho plyn (soubor neinteragujících fermiony ). Při dostatečně malém množství částic hustota čísel a vysoká teplota, jak plyn Fermi, tak plyn Bose se chovají jako klasika ideální plyn.^[1]

Makroskopický limit

Termodynamika ideálního Boseova plynu se nejlépe vypočítá pomocí velký kanonický soubor. Velký velký potenciál pro plyn Bose je dán vztahem:

${ displaystyle Omega = - ln ({ mathcal {Z}}) = součet _ {i} g_ {i} ln left (1-ze ^ {- beta epsilon _ {i}} že jo).}$

kde každý člen ve výrobku odpovídá určité energetické úrovni jednotlivých částic ε_i; G_i je počet států s energií ε_i; z je absolutní aktivita (nebo "fugacity"), kterou lze také vyjádřit pomocí chemický potenciál μ definováním:

${ displaystyle z ( beta, mu) = e ^ { beta mu}}$

a β definováno jako:

${ displaystyle beta = { frac {1} {k _ { rm {B}} T}}}$

kde k_B  je Boltzmannova konstanta a T je teplota. Všechny termodynamické veličiny lze odvodit z velkého potenciálu a všechny termodynamické veličiny budeme považovat za funkce pouze tří proměnných z, β (nebo T), a PROTI. Všechny parciální derivace se berou s ohledem na jednu z těchto tří proměnných, zatímco ostatní dvě se udržují konstantní.

Přípustný rozsah z je od záporného nekonečna do +1, protože jakákoli hodnota nad tuto hodnotu by poskytla nekonečný počet částic do stavů s energetickou úrovní 0 (předpokládá se, že energetické úrovně byly kompenzovány tak, že nejnižší energetická úroveň je 0).

Makroskopický limit, výsledek pro nekondenzovanou frakci

Křivky tlak vs. teplota klasických a kvantových ideálních plynů (Fermiho plyn, Bose plyn ) ve třech rozměrech. Tlak Boseova plynu je nižší než ekvivalentní klasický plyn, zejména pod kritickou teplotou (označenou ★), kde se částice začnou hromadně pohybovat do kondenzované fáze s nulovým tlakem.

Podle postupu popsaného v benzín v krabici článku, můžeme použít Thomas – Fermi aproximace který předpokládá, že průměrná energie je velká ve srovnání s energetickým rozdílem mezi úrovněmi, takže výše uvedený součet může být nahrazen integrálem. Tato náhrada dává makroskopické funkci velkého potenciálu ${ displaystyle Omega _ {m}}$, což je blízko ${ displaystyle Omega}$:

${ displaystyle Omega _ { rm {m}} = int _ {0} ^ { infty} ln left (1-ze ^ {- beta E} right) , dg cca Omega .}$

Degenerace dg mohou být vyjádřeny pro mnoho různých situací obecným vzorcem:

${ displaystyle dg = { frac {1} { Gamma ( alfa)}} , { frac {E ^ {, alfa -1}} {E _ { rm {c}} ^ { alfa }}} ~ dE}$

kde α je konstanta, E_C je kritický energie a Γ je Funkce gama. Například pro obrovský plyn Bose v krabici, α= 3/2 a kritická energie je dána vztahem:

${ displaystyle { frac {1} {( beta E _ { rm {c}}) ^ { alpha}}} = { frac {Vf} { Lambda ^ {3}}}}$

kde Λ je tepelná vlnová délka. Pro masivního Boseho plyn v harmonické pasti budeme mít α= 3 a kritická energie je dána vztahem:

${ displaystyle { frac {1} {( beta E_ {c}) ^ { alpha}}} = { frac {f} {( hbar omega beta) ^ {3}}}}$

kde V (r) = mω²r²/2  je harmonický potenciál. Je to vidět E_C  je pouze funkce hlasitosti.

Tento integrální výraz velkého potenciálu se hodnotí takto:

${ displaystyle Omega _ { rm {m}} = - { frac {{ textrm {Li}} _ { alpha +1} (z)} { left ( beta E_ {c} right) ^ { alpha}}},}$

kde Li_s(X) je polylogaritmus funkce.

Problém s touto aproximací kontinua pro Boseův plyn spočívá v tom, že základní stav byl účinně ignorován, což vedlo k nulové degeneraci nulové energie. Tato nepřesnost se stává vážnou při jednání s Kondenzát Bose – Einstein a budeme se jimi zabývat v následujících částech. Jak bude vidět, i při nízkých teplotách je výše uvedený výsledek stále užitečný pro přesný popis termodynamiky pouze nekondenzované části plynu.

Omezení počtu částic v nekondenzované fázi, kritická teplota

Celkem počet částic je nalezen z velkého potenciálu

${ displaystyle N _ { rm {m}} = - z { frac { částečné Omega _ {m}} { částečné z}} = { frac {{ textrm {Li}} _ { alpha} (z)} {( beta E_ {c}) ^ { alpha}}}.}$

To se zvyšuje monotónně s z (maximálně z = +1). Chování při přiblížení z = 1 je však zásadně závislý na hodnotě α (tj. v závislosti na tom, zda je plyn 1D, 2D, 3D, zda je v ploché nebo harmonické potenciálové jímce).

Pro α > 1, počet částic se zvyšuje pouze na konečnou maximální hodnotu, tj. ${ displaystyle N _ { rm {m}}}$ je konečný v z = 1:

${ displaystyle N _ { rm {m, max}} = { frac { zeta ( alpha)} {( beta E _ { rm {c}}) ^ { alpha}}}}}$

kde ζ(α) je Funkce Riemann zeta (pomocí Li_α(1) = ζ(α)). Tedy pro stálý počet částic ${ displaystyle N}$, což je největší možná hodnota β může mít je kritická hodnota β_C. To odpovídá kritické teplotě T_C=1/k_Bβ_C, pod kterou se aproximace Thomase-Fermiho rozpadá (kontinuum stavů už při této teplotě nemůže podporovat tolik částic). Výše uvedenou rovnici lze vyřešit pro kritickou teplotu:

${ displaystyle T _ { rm {c}} = left ({ frac {N} { zeta ( alpha)}} right) ^ {1 / alpha} { frac {E _ { rm {c }}} {k _ { rm {B}}}}}$

Například pro trojrozměrný Boseův plyn v krabici (${ displaystyle alpha = 3/2}$ a pomocí výše uvedené hodnoty ${ textstyle E _ { rm {c}}}$) dostaneme:

${ displaystyle T _ { rm {c}} = left ({ frac {N} {Vf zeta (3/2)}} right) ^ {2/3} { frac {h ^ {2} } {2 pi mk _ { rm {B}}}}}$

Pro α ≤ 1, neexistuje žádný horní limit počtu částic (${ displaystyle N _ { rm {m}}}$ rozchází se jako z přístupy 1), a tedy například pro plyn v jednorozměrné nebo dvourozměrné krabici (${ displaystyle alpha = 1/2}$ a ${ displaystyle alpha = 1}$ respektive) neexistuje kritická teplota.

Zahrnutí základního stavu

Výše uvedený problém vyvolává otázku α > 1: Pokud je Boseův plyn se stálým počtem částic snížen pod kritickou teplotu, co se stane? Problém zde spočívá v tom, že aproximace Thomas-Fermi nastavila degeneraci základního stavu na nulu, což je špatně. Neexistuje žádný základní stav, který by kondenzát přijímal, a tak částice jednoduše „mizí“ z kontinua stavů. Ukázalo se však, že makroskopická rovnice poskytuje přesný odhad počtu částic v excitovaných stavech a není špatnou aproximací jednoduše „připevnit“ termín základního stavu k přijetí částic, které vypadnou z kontinuum:

${ displaystyle N = N_ {0} + N _ { rm {m}} = N_ {0} + { frac {{ textrm {Li}} _ { alpha} (z)} {( beta E_ { rm {c}}) ^ { alpha}}}}$

kde N₀ je počet částic v základním stavu kondenzátu.

Tedy v makroskopickém limitu, když T < T_C, hodnota z je připnutý na 1 a N₀ pohltí zbytek částic. Pro T > T_C tam je normální chování, s N₀ = 0. Tento přístup udává podíl kondenzovaných částic v makroskopickém limitu:

${ displaystyle { frac {N_ {0}} {N}} = { begin {cases} 1- left ({ frac {T} {T _ { rm {c}}}} right) ^ { alpha} & { mbox {if}} alpha> 1 { mbox {a}} T$

Přibližné chování v malých Boseových plynech

Obrázek 1: Různé parametry Boseho plynu jako funkce normalizované teploty τ. Hodnota α je 3/2. Plné čáry jsou pro N = 10 000, tečkované čáry jsou pro N = 1000. Černé čáry jsou zlomkem excitovaných částic, modré jsou zlomkem kondenzovaných částic. Zápor chemického potenciálu μ je zobrazen červeně a zelené čáry představují hodnoty z. Předpokládalo se, že k = ε_C=1.

Pro menší mezoskopický, systémy (například pouze s tisíci částic), lze termín základního stavu explicitněji aproximovat přidáním skutečné diskrétní úrovně při energii ε= 0 ve velkém potenciálu:

${ displaystyle Omega = g_ {0} ln (1-z) + Omega _ { rm {m}}}$

což místo toho dává ${ displaystyle N_ {0} = { frac {g_ {0} , z} {1-z}}}$. Nyní je chování při překročení kritické teploty plynulé a z blíží 1 velmi blízko, ale nedosahuje ho.

To lze nyní vyřešit až na absolutní nulu teploty. Obrázek 1 ukazuje výsledky řešení této rovnice pro α= 3/2, s k=ε_C= 1, což odpovídá a plyn bosonů v krabici. Plná černá čára je zlomkem excitovaných stavů 1-N₀/ N pro N= 10 000 a tečkovaná černá čára je řešením pro N= 1000. Modré čáry jsou zlomkem kondenzovaných částic N₀/ N Červené čáry vykreslují hodnoty negativního chemického potenciálu μ a zelené čáry vykreslují odpovídající hodnoty z. Vodorovná osa je normalizovaná teplota τ definovaná vztahem

${ displaystyle tau = { frac {T} {T _ { rm {c}}}}}$

Je vidět, že každý z těchto parametrů se stává lineárním v τ^α v limitu nízké teploty a kromě chemického potenciálu lineární v 1 / τ^α na hranici vysoké teploty. Jak se zvyšuje počet částic, kondenzované a excitované frakce mají tendenci k diskontinuitě při kritické teplotě.

Rovnici pro počet částic lze zapsat jako normalizovanou teplotu jako:

${ displaystyle N = { frac {g_ {0} , z} {1-z}} + N ~ { frac {{ textrm {Li}} _ { alpha} (z)} { zeta ( alpha)}} ~ tau ^ { alpha}}$

Za dané N a τ, tuto rovnici lze vyřešit pro τ^α a pak sériové řešení pro z lze najít metodou inverze řady, buď v pravomoci τ^α nebo jako asymptotická expanze v inverzních silách τ^α. Z těchto expanzí můžeme zjistit chování plynu blízko T = 0 a ve společnosti Maxwell – Boltzmann as T blíží se nekonečnu. Zejména nás zajímá limit jako N se blíží nekonečnu, což lze snadno určit z těchto expanzí.

Tento přístup k modelování malých systémů může být ve skutečnosti nereálný, protože rozptyl v počtu částic v základním stavu je velmi velký, rovný počtu částic. Naproti tomu rozptyl počtu částic v normálním plynu je pouze druhou odmocninou počtu částic, a proto jej lze normálně ignorovat. Tato vysoká odchylka je dána volbou použití kanonického souboru Grand Canonic pro celý systém, včetně stavu kondenzátu.^[2]

Termodynamika malých plynů

Velký potenciál je rozšířen:

${ displaystyle Omega = g_ {0} ln (1-z) - { frac {{ textrm {Li}} _ { alpha +1} (z)} { left ( beta E _ { rm {c}} vpravo) ^ { alpha}}}}$

Z tohoto potenciálu lze vypočítat všechny termodynamické vlastnosti. V následující tabulce jsou uvedeny různé termodynamické veličiny vypočítané na hranici nízké a vysoké teploty a na hranici nekonečného počtu částic. Znaménko rovná se (=) označuje přesný výsledek, zatímco symbol přiblížení označuje, že je k dispozici pouze prvních několik výrazů řady ${ displaystyle tau ^ { alpha}}$ je ukázáno.

Množství	Všeobecné	${ displaystyle T ll T_ {c} ,}$	${ displaystyle T gg T_ {c} ,}$
${ displaystyle z}$		${ displaystyle cca { frac { zeta ( alpha)} { tau ^ { alpha}}} - { frac { zeta ^ {2} ( alpha)} {2 ^ { alpha} tau ^ {2 alpha}}}}$	${ displaystyle = 1 ,}$
Parní frakce ${ displaystyle 1 - { frac {N_ {0}} {N}} ,}$	${ displaystyle = { frac {{ textrm {Li}} _ { alpha} (z)} { zeta ( alpha)}} , tau ^ { alpha}}$	${ displaystyle = tau ^ { alpha} ,}$	${ displaystyle = 1 ,}$
Stavová rovnice ${ displaystyle { frac {PV beta} {N}} = - { frac { Omega} {N}} ,}$	${ displaystyle = { frac {{ textrm {Li}} _ { alpha ! + ! 1} (z)} { zeta ( alpha)}} , tau ^ { alpha}}$	${ displaystyle = { frac { zeta ( alpha ! + ! 1)} { zeta ( alpha)}} , tau ^ { alpha}}$	${ displaystyle cca 1 - { frac { zeta ( alpha)} {2 ^ { alpha ! + ! 1} tau ^ { alpha}}}}$
Gibbsova volná energie ${ displaystyle G = ln (z) ,}$	${ displaystyle = ln (z) ,}$	${ displaystyle = 0 ,}$	${ displaystyle přibližně ln vlevo ({ frac { zeta ( alpha)} { tau ^ { alpha}}} vpravo) - { frac { zeta ( alpha)} {2 ^ { alpha} tau ^ { alpha}}}}$

Je vidět, že všechny veličiny se blíží hodnotám pro klasiku ideální plyn v limitu vysoké teploty. Výše uvedené hodnoty lze použít k výpočtu dalších termodynamických veličin. Například vztah mezi vnitřní energií a produktem tlaku a objemu je stejný jako u klasických ideálních celkových teplot plynu:

${ displaystyle U = { frac { částečné Omega} { částečné beta}} = alfa PV}$

Podobná situace platí pro specifické teplo při konstantním objemu

${ displaystyle C_ {V} = { frac { částečné U} { částečné T}} = k _ { rm {B}} ( alfa +1) , U beta}$

Entropie je dána:

${ displaystyle TS = U + PV-G ,}$

Všimněte si, že na hranici vysoké teploty máme

${ displaystyle TS = ( alpha +1) + ln left ({ frac { tau ^ { alpha}} { zeta ( alpha)}} right)}$

který, pro α= 3/2 je prostě přepracování Sackur – Tetrodova rovnice. V jedné dimenzi se bosony s interakcí delta chovají jako fermiony, poslouchají Pauliho princip vyloučení. V jedné dimenzi lze Boseův plyn s interakcí delta přesně vyřešit Bethe ansatz. Objemová volná energie a termodynamické potenciály byly vypočítány pomocí Chen-Ning Yang. V jednorozměrném případě byly také vyhodnoceny korelační funkce.^[3] V jedné dimenzi je Boseův plyn ekvivalentní kvantu nelineární Schrödingerova rovnice.

Reference

Obecné odkazy

• Huang, Kerson (1967). Statistická mechanika. New York: John Wiley and Sons.
• Isihara, A. (1971). Statistická fyzika. New York: Academic Press.
• Landau, L. D .; E. M. Lifshitz (1996). Statistická fyzika, 3. vydání, část 1. Oxford: Butterworth-Heinemann.
• Pethick, C. J .; H. Smith (2004). Bose – Einsteinova kondenzace ve zředěných plynech. Cambridge: Cambridge University Press.
• Yan, Zijun (2000). "Obecná tepelná vlnová délka a její aplikace" (PDF). Eur. J. Phys. 21 (6): 625–631. Bibcode:2000EJPh ... 21..625Y. doi:10.1088/0143-0807/21/6/314.