Sférický problém Bernsteinů - Spherical Bernsteins problem - Wikipedia

The sférický Bernsteinův problém je možné zobecnění originálu Bernsteinův problém v oblasti globálních diferenciální geometrie, nejprve navrhl Shiing-Shen Chern v roce 1969 a později v roce 1970, během jeho plenárního projevu v Mezinárodní kongres matematiků v Pěkný.

Problém

Jsou rovníky uvnitř ${ displaystyle mathbb {S} ^ {n + 1}}$ jediné hladké vložené minimální hyperplochy, které jsou topologické ${ displaystyle n}$ -dimenzionální koule?

Navíc sférický Bernsteinův problém, i když sám o sobě zobecňuje původní Bernsteinův problém, lze také dále zobecnit nahrazením okolního prostoru ${ displaystyle mathbb {S} ^ {n + 1}}$ jednoduše připojeným, kompaktním symetrickým prostorem. Některé výsledky v tomto směru jsou způsobeny Wu-Chung Hsiang a Wu-Yi Hsiang práce.

Alternativní formulace

Níže jsou uvedeny dva alternativní způsoby vyjádření problému:

Druhá formulace

Nech (n - 1) koule být vložen jako minimální hyperplocha ve Windows ${ displaystyle S ^ {n}}$ (1). Je to nutně rovník?

Podle Almgren –Calabi věta, je to pravda kdy n = 3 (nebo n = 2 pro 1. formulaci).

Wu-Chung Hsiang dokázal to pro n ∈ {4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14} (nebo n ∈ {3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13} (v uvedeném pořadí)

V roce 1987 Podle Tomter dokázal to pro všechny dokonce n (nebo všechny liché n).

Zůstává tedy neznámý pouze pro všechny liché n ≥ 9 (nebo všechny sudé n ≥ 8)

Třetí formulace

Je pravda, že je to vložená minimální hypersféra uvnitř euklidovce ${ displaystyle n}$ - je nutně rovník?

Geometricky je problém analogický s následujícím problémem:

Liší se lokální topologie v izolovaném singulárním bodě minimálního nadpovrchu od diskové?

Například kladná odpověď na sférický Bernsteinův problém, když n = 3 je ekvivalentní skutečnosti, že lokální topologie v izolovaném singulárním bodě jakéhokoli minimálního hyperplochy v libovolném Riemannově 4-varietě se musí lišit od topologie disku.

Další čtení

F.J. Almgren, Jr., Některé vnitřní věty o pravidelnosti pro minimální povrchy a rozšíření Bernsteinovy věty, Annals of Mathematics, svazek 85, číslo 1 (1966), s. 277–292
E. Calabi, Minimální ponoření povrchů do euklidovských prostorů, Journal of Diferenciální geometrie, svazek 1 (1967), str. 111–125
P. Tomter, Sférický Bernsteinův problém v sudých dimenzích a související problémy, Acta Mathematica, svazek 158 (1987), s. 189–212
S.S. Chern, Krátký průzkum minimálních podmanělů, Tagungsbericht (1969), Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach
S.S. Chern, Diferenciální geometrie, její minulost a budoucnost, Actes du Congrès international des mathématiciens (Nice, 1970), svazek 1, s. 41–53, Gauthier-Villars, (1971)
W.Y. Hsiang, W.T. Hsiang, P. Tomter, O existenci minimálních hypersfér v kompaktních symetrických prostorech, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, svazek 21 (1988), str. 287–305