v matematika, Dirichletův prostor na doméně (pojmenoval podle Peter Gustav Lejeune Dirichlet ), je reprodukce jádra Hilbertova prostoru z holomorfní funkce obsažené v Hardy prostor , pro které Dirichletův integrál, definován
je konečný (zde dA označuje oblast Lebesgueovy míry na komplexní rovině ). Ten je integrál vyskytující se v Dirichletův princip pro harmonické funkce. Dirichletův integrál definuje a seminář na . Není to norma obecně od roku kdykoli F je konstantní funkce.
Pro , definujeme
Jedná se o polo-vnitřní produkt a jasně . Můžeme vybavit s vnitřní produkt dána
kde je obvyklý vnitřní produkt na Odpovídající norma darováno
Všimněte si, že tato definice není jedinečná, je další běžnou volbou , pro některé pevné .
Dirichletův prostor není algebra, ale prostor je Banachova algebra, s ohledem na normu
Obvykle máme (dále jen jednotka disku z složité letadlo ), v tom případě , a pokud
pak
a
Jasně, obsahuje všechny polynomy a obecněji všechny funkce , holomorfní takhle je ohraničený na .
The reprodukční jádro z na darováno
Viz také
Reference
- Arcozzi, Nicola; Rochberg, Richard; Sawyer, Eric T .; Wick, Brett D. (2011), „Dirichletův prostor: průzkum“ (PDF), New York J. Math., 17a: 45–86
- El-Fallah, Omar; Kellay, Karim; Mashreghi, Javad; Ransford, Thomas (2014). Základní nátěr v Dirichletově prostoru. Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-04752-5.