Dirichletův prostor - Dirichlet space

v matematika, Dirichletův prostor na doméně ${ displaystyle Omega subseteq mathbb {C}, , { mathcal {D}} ( Omega)}$ (pojmenoval podle Peter Gustav Lejeune Dirichlet ), je reprodukce jádra Hilbertova prostoru z holomorfní funkce obsažené v Hardy prostor ${ displaystyle H ^ {2} ( Omega)}$ , pro které Dirichletův integrál, definován

{ displaystyle { mathcal {D}} (f): = {1 over pi} iint _ { Omega} | f ^ { prime} (z) | ^ {2} , dA = {1 přes 4 pi} iint _ { Omega} | částečné _ {x} f | ^ {2} + | částečné _ {y} f | ^ {2} , dx , dy}

je konečný (zde dA označuje oblast Lebesgueovy míry na komplexní rovině ${ displaystyle mathbb {C}}$ ). Ten je integrál vyskytující se v Dirichletův princip pro harmonické funkce. Dirichletův integrál definuje a seminář na ${ displaystyle { mathcal {D}} ( Omega)}$ . Není to norma obecně od roku ${ displaystyle { mathcal {D}} (f) = 0}$ kdykoli F je konstantní funkce.

Pro ${ displaystyle f, , g in { mathcal {D}} ( Omega)}$ , definujeme

{ displaystyle { mathcal {D}} (f, , g): = {1 over pi} iint _ { Omega} f '(z) { overline {g' (z)}} , dA (z).}

Jedná se o polo-vnitřní produkt a jasně ${ displaystyle { mathcal {D}} (f, , f) = { mathcal {D}} (f)}$ . Můžeme vybavit ${ displaystyle { mathcal {D}} ( Omega)}$ s vnitřní produkt dána

{ displaystyle langle f, g rangle _ {{ mathcal {D}} ( Omega)}: = langle f, , g rangle _ {H ^ {2} ( Omega)} + { mathcal {D}} (f, , g) ; ; ; ; ; (f, , g v { mathcal {D}} ( Omega)),}

kde ${ displaystyle langle cdot, , cdot rangle _ {H ^ {2} ( Omega)}}$ je obvyklý vnitřní produkt na ${ displaystyle H ^ {2} ( Omega).}$ Odpovídající norma ${ displaystyle | cdot | _ {{ mathcal {D}} ( Omega)}}$ darováno

{ displaystyle | f | _ {{ mathcal {D}} ( Omega)} ^ {2}: = | f | _ {H ^ {2} ( Omega)} ^ {2} + { mathcal {D}} (f) ; ; ; ; ; (f v { mathcal {D}} ( Omega)).}

Všimněte si, že tato definice není jedinečná, je další běžnou volbou ${ displaystyle | f | ^ {2} = | f (c) | ^ {2} + { mathcal {D}} (f)}$ , pro některé pevné ${ displaystyle c in Omega}$ .

Dirichletův prostor není algebra, ale prostor ${ displaystyle { mathcal {D}} ( Omega) čepice H ^ { infty} ( Omega)}$ je Banachova algebra, s ohledem na normu

{ displaystyle | f | _ {{ mathcal {D}} ( Omega) cap H ^ { infty} ( Omega)}: = | f | _ {H ^ { infty} ( Omega)} + { mathcal {D}} (f) ^ {1/2} ; ; ; ; ; (f v { mathcal {D}} ( Omega) cap H ^ { infty} ( Omega)).}

Obvykle máme ${ displaystyle Omega = mathbb {D}}$ (dále jen jednotka disku z složité letadlo ${ displaystyle mathbb {C}}$ ), v tom případě ${ displaystyle { mathcal {D}} ( mathbb {D}): = { mathcal {D}}}$ , a pokud

{ displaystyle f (z) = součet _ {n geq 0} a_ {n} z ^ {n} ; ; ; ; ; (f v { mathcal {D}}),}

pak

{ displaystyle D (f) = součet _ {n geq 1} n | a_ {n} | ^ {2},}

a

{ displaystyle | f | _ { mathcal {D}} ^ {2} = sum _ {n geq 0} (n + 1) | a_ {n} | ^ {2}.}

Jasně, ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ obsahuje všechny polynomy a obecněji všechny funkce ${ displaystyle f}$ , holomorfní ${ displaystyle mathbb {D}}$ takhle ${ displaystyle f '}$ je ohraničený na ${ displaystyle mathbb {D}}$ .

The reprodukční jádro z ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ na ${ displaystyle w in mathbb {C} setminus {0 }}$ darováno

{ displaystyle k_ {w} (z) = { frac {1} {z { overline {w}}}} log left ({ frac {1} {1-z { overline {w}} }} vpravo) ; ; ; ; ; (z v mathbb {C} setminus {0 }).}

Viz také

Reference

Arcozzi, Nicola; Rochberg, Richard; Sawyer, Eric T .; Wick, Brett D. (2011), „Dirichletův prostor: průzkum“ (PDF), New York J. Math., 17a: 45–86
El-Fallah, Omar; Kellay, Karim; Mashreghi, Javad; Ransford, Thomas (2014). Základní nátěr v Dirichletově prostoru. Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-04752-5.

Tento matematická analýza –Vztahující se článek je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.