Atomová doména - Atomic domain - Wikipedia

v matematika, konkrétněji teorie prstenů, an atomová doména nebo faktorizační doména je integrální doména ve kterém každá nenulová nejednotka lze zapsat alespoň jedním způsobem jako konečný součin neredukovatelné prvky. Atomové domény se liší od jedinečné faktorizační domény v tom, že tento rozklad prvku na neredukovatelné nemusí být jedinečný; uvedeno jinak, neredukovatelný prvek nemusí být nutně a hlavní prvek.

Mezi důležité příklady atomových domén patří třída všech jedinečných faktorizačních domén a všech Noetherian domény. Obecněji řečeno, jakákoli integrální doména splňující vzestupná podmínka řetězce na hlavních ideálech (tj. ACCP), je atomová doména. Ačkoli se tvrdí, že konverzace je obsažena v Cohnově práci,^[1] to je znáno být nepravdivý.^[2]

Termín „atomový“ je způsoben P. M. Cohn, který zavolal na neredukovatelný prvek integrální domény „atom“.

Motivace

V této části lze na prsten nahlížet jako na pouze abstraktní množinu, ve které lze provádět operace sčítání a násobení; analogický s celými čísly.

Kruh celých čísel (tj. Množina celých čísel s přirozenými operacemi sčítání a násobení) uspokojuje mnoho důležitých vlastností. Jednou z takových vlastností je základní teorém aritmetiky. Při uvažování o abstraktních prstenech je tedy přirozenou otázkou, za jakých podmínek taková věta platí. Protože a jedinečná faktorizační doména je přesně prsten, ve kterém platí analogie základní věty aritmetiky, je tato otázka snadno zodpovězena. Jeden si však všimne, že existují dva aspekty základní věty aritmetiky; to znamená, že celé číslo je konečným produktem prvočísla, jakož i to, že tento produkt je jedinečný až po přeskupení (a násobení číslem Jednotky ). Proto je také přirozené se ptát, za jakých podmínek mohou být jednotlivé prvky prstenu „rozloženy“, aniž by to vyžadovalo jedinečnost. Koncept atomové domény to řeší.

Definice

Nechat R být integrální doména. Pokud každý nenulový nejednotka X z R lze psát jako produkt neredukovatelné prvky, R se označuje jako atomová doména. (Produkt je nutně konečný, protože nekonečné produkty nejsou definovány v teorie prstenů. Takový produkt smí jako faktor zahrnovat stejný neredukovatelný prvek vícekrát.) Každý takový výraz se nazývá faktorizace X.

Speciální případy

V atomové doméně je možné, že různé faktorizace stejného prvku X mají různé délky. Je dokonce možné, že mezi faktorizacemi X není zde žádná vazba na počet neredukovatelných faktorů. Pokud je naopak počet faktorů omezen pro každou nenulovou jednotku X, pak R je ohraničená faktorizační doména (BFD); formálně to znamená, že pro každého takového X existuje celé číslo N takhle X = X₁ X₂ ... X_n s žádným z X_i invertible implikuje ${ displaystyle n$.

Pokud taková vazba existuje, neexistuje žádný řetězec správných dělitelů X na 1 může překročit tuto vázanou délku (protože kvocient v každém kroku lze zohlednit a vytvořit faktorizaci o X s alespoň jedním neredukovatelným faktorem pro každý krok řetězce), takže nemůže existovat žádný nekonečně přísně vzestupný řetězec hlavních ideálů R. Tato podmínka, nazývaná jako vzestupná řetězová podmínka na hlavních ideálech nebo ACCP, je přísně slabší než podmínka BFD a přísně silnější než atomová podmínka (jinými slovy, i když existují nekonečné řetězce správných dělitelů, může se stát, že každý X má konečnou faktorizaci^[3]).

Dvě nezávislé podmínky, které jsou přísně silnější než podmínky BFD, jsou polofaktoriální doména stav (HFD: libovolné dvě faktorizace kteréhokoli z nich X mají stejnou délku) a doména konečné faktorizace stav (FFD: jakýkoli X má ale konečný početspolupracovník dělitele). Každá jedinečná faktorizační doména tyto dvě podmínky zjevně splňuje, ale ani jedna z nich neznamená jedinečnou faktorizaci.

Reference

• ODPOLEDNE. Cohn, Bezoutovy kroužky a jejich podřetězce, 1968.