Masová vlnová forma - Maass wave form

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Září 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V matematice Masové formy nebo Masové vlnové formy jsou studovány v teorii automorfní formy. Maassovy formy jsou komplexní funkce hladké funkce horní poloviny roviny, které se transformují podobným způsobem za provozu diskrétní podskupiny ${displaystyle Gamma}$ z ${displaystyle mathrm {SL} _ {2} (mathbb {R})}$ jako modulární formy. Jsou to vlastní tvary hyperbolického Laplaceova operátora ${displaystyle Delta}$ definováno dne ${displaystyle mathbb {H}}$ a uspokojit určité podmínky růstu na vrcholcích základní domény ${displaystyle Gamma}$. Na rozdíl od modulárních forem nemusí být Maassovy formy holomorfní. Nejprve je studoval Hans Maass v roce 1949.

Obecné poznámky

Skupina

${displaystyle G: = mathrm {SL} _ {2} (mathbb {R}) = left {{egin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} v M_ {2} (mathbb {R}): ad- bc = 1ight}}$

pracuje v horní polovině roviny

${displaystyle mathbb {H} = {zin mathbb {C}: operatorname {Im} (z)> 0}}$

částečnými lineárními transformacemi:

${displaystyle {egin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} cdot z: = {frac {az + b} {cz + d}}.}$

Lze ji rozšířit na operaci zapnutou ${displaystyle mathbb {H} pohár {infty} pohár mathbb {mathbb {R}}}$ definováním:

${displaystyle {egin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} cdot z: = {egin {cases} {frac {az + b} {cz + d}} & {ext {if}} cz + deq 0, infty & {ext {if}} cz + d = 0, konec {případů}}}$

${displaystyle {egin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} cdot infty: = lim _ {operatorname {Im} (z) o infty} {egin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} cdot z = {egin {cases} {frac {a} {c}} & {ext {if}} ceq 0 infty & {ext {if}} c = 0end {cases}}}$

Radonové opatření

${displaystyle dmu (z): = {frac {dxdy} {y ^ {2}}}}$

definováno dne ${displaystyle mathbb {H}}$ je neměnný za provozu ${displaystyle mathrm {SL} _ {2} (mathbb {R})}$.

Nechat ${displaystyle Gamma}$ být samostatnou podskupinou ${displaystyle G}$. Základní doména pro ${displaystyle Gamma}$ je otevřená sada ${displaystyle Fsubset mathbb {H}}$, aby existoval systém zástupců ${displaystyle R}$ z ${displaystyle Gamma ackslash mathbb {H}}$ s

${displaystyle Fsubset Rsubset {overline {F}} {ext {and}} mu ({overline {F}} setminus F) = 0.}$

Základní doména pro modulární skupinu ${displaystyle Gamma (1): = mathrm {SL} _ {2} (mathbb {Z})}$ je dána

${displaystyle F: = left {zin mathbb {H} prostřední vlevo | operatorname {Re} (z) ight | <{frac {1} {2}}, | z | <1ight}}$

(vidět Modulární forma ).

Funkce ${displaystyle f: mathbb {H} o mathbb {C}}$ je nazýván ${displaystyle Gamma}$-invariant, pokud ${displaystyle f (gama z) = f (z)}$ platí pro všechny ${displaystyle gamma in Gamma}$ a všechno ${displaystyle zin mathbb {H}}$.

Pro každou měřitelnou ${displaystyle Gamma}$-invariantní funkce ${displaystyle f: mathbb {H} o mathbb {C}}$ rovnice

${displaystyle int _ {F} f (z) dmu (z) = int _ {Gamma ackslash mathbb {H}} f (z) dmu (z),}$

drží. Tady opatření ${displaystyle dmu}$ na pravé straně rovnice je indukovaná míra na kvocientu ${displaystyle Gamma ackslash mathbb {H}.}$

Klasické formy Maass

Definice hyperbolického Laplaceova operátoru

The hyperbolický Laplaceův operátor na ${displaystyle mathbb {H}}$ je definován jako

${displaystyle Delta: C ^ {infty} (mathbb {H}) o C ^ {infty} (mathbb {H}),}$

${displaystyle Delta = -y ^ {2} vlevo ({frac {částečné ^ {2}} {částečné x ^ {2}}} + {frac {částečné ^ {2}} {částečné y ^ {2}}} vpravo )}$

Definice Maassovy formy

A Masová forma pro skupinu ${displaystyle Gamma (1): = mathrm {SL} _ {2} (mathbb {Z})}$ je plynulá funkce s komplexní hodnotou ${displaystyle f}$ na ${displaystyle mathbb {H}}$ uspokojující

${displaystyle 1) quad f (gama z) = f (z) {ext {pro všechny}} gama v gama (1), qquad zin mathbb {H}}$

${displaystyle 2) quad {ext {there}}} lambda in mathbb {C} {ext {with}} Delta (f) = lambda f}$

${displaystyle 3) quad {ext {there}}} Nin mathbb {N} {ext {with}} f (x + iy) = {mathcal {O}} (y ​​^ {N}) {ext {for}} ygeq 1}$

Li

${displaystyle int _ {0} ^ {1} f (z + t) dt = 0 {ext {pro všechny}} zin mathbb {H}}$

voláme ${displaystyle f}$ Maass hrot forma.

Vztah mezi Maassovými formami a Dirichletovými řadami

Nechat ${displaystyle f}$ být Maassovou formou. Od té doby

${displaystyle gamma: = {egin {pmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {pmatrix}} v gama (1)}$

my máme:

${displaystyle forall zin mathbb {H}: qquad f (z) = f (gama z) = f (z + 1).}$

Proto ${displaystyle f}$ má Fourierovo rozšíření formy

${displaystyle f (x + iy) = součet _ {n = -infty} ^ {infty} a_ {n} (y) e ^ {2pi inx},}$

s koeficientovými funkcemi ${displaystyle a_ {n}, nin mathbb {Z}.}$

Je snadné to ukázat ${displaystyle f}$ je Maassův hrotový tvar právě tehdy ${displaystyle a_ {0} (y) = 0všechny y> 0}$.

Můžeme vypočítat funkce koeficientů přesným způsobem. K tomu potřebujeme Besselova funkce ${displaystyle K_ {v}}$.

Definice: Funkce Bessel ${displaystyle K_ {v}}$ je definován jako

${displaystyle K_ {s} (y): = {frac {1} {2}} int _ {0} ^ {infty} e ^ {- {frac {y (t + t ^ {- 1})} {2 }}} t ^ {s} {frac {dt} {t}}, qquad sin mathbb {C}, y> 0.}$

Integrál lokálně rovnoměrně konverguje absolutně pro ${displaystyle y> 0}$ v ${displaystyle sin mathbb {C}}$ a nerovnost

${displaystyle K_ {s} (y) leq e ^ {- {frac {y} {2}}} K_ {operatorname {Re} (s)} (2)}$

platí pro všechny ${displaystyle> 4}$.

Proto, ${displaystyle | K_ {s} |}$ exponenciálně klesá pro ${displaystyle y o infty}$. Kromě toho máme ${displaystyle K _ {- s} (y) = K_ {s} (y)}$ pro všechny ${displaystyle sin mathbb {C}, y> 0}$.

Věta (Fourierovy koeficienty Maassových forem). Nechat ${displaystyle lambda in mathbb {C}}$ být vlastním číslem Maassovy formy ${displaystyle f}$ souhlasí s ${displaystyle Delta.}$ Existují ${displaystyle u in mathbb {C},}$ jedinečný až k podpisu, takový ${displaystyle lambda = {frac {1} {4}} - u ^ {2}.}$ Pak Fourierovy koeficienty ${displaystyle f}$ jsou

${displaystyle {egin {aligned} a_ {n} (y) & = c_ {n} {sqrt {y}} K_ {u} (2pi | n | y) quad c_ {n} v mathbb {C} && neq 0 a_ {0} (y) & = c_ {0} y ^ {{frac {1} {2}} - u} + d_ {0} y ^ {{frac {1} {2}} + u} quad c_ {0}, d_ {0} v mathbb {C} && n = 0end {zarovnáno}}}$

Důkaz: My máme

${displaystyle Delta (f) = left ({frac {1} {4}} - u ^ {2} ight) f.}$

Podle definice Fourierových koeficientů dostaneme

${displaystyle a_ {n} = int _ {0} ^ {1} f (x + iy) e ^ {- 2pi inx} dx}$

pro ${displaystyle nin mathbb {Z}.}$

Společně z toho vyplývá

${displaystyle {egin {aligned} left ({frac {1} {4}} - u ^ {2} ight) a_ {n} & = int _ {0} ^ {1} left ({frac {1} {4 }} - u ^ {2} ight) f (x + iy) e ^ {- 2pi inx} dx [4pt] & = int _ {0} ^ {1} (Delta f) (x + iy) e ^ {-2pi inx} dx [4pt] & = - y ^ {2} vlevo (int _ {0} ^ {1} {frac {částečné ^ {2} f} {částečné x ^ {2}}} (x + iy) e ^ {- 2pi inx} dx + int _ {0} ^ {1} {frac {částečné ^ {2} f} {částečné y ^ {2}}} (x + iy) e ^ {- 2pi inx} dxight) [4pt] & {overset {(1)} {=}} - y ^ {2} (2pi in) ^ {2} a_ {n} (y) -y ^ {2} {frac { částečné ^ {2}} {částečné y ^ {2}}} int _ {0} ^ {1} f (x + iy) e ^ {- 2pi inx} dx [4pt] & = - y ^ {2} (2pi in) ^ {2} a_ {n} (y) -y ^ {2} {frac {částečné ^ {2}} {částečné y ^ {2}}} a_ {n} (y) [4pt] & = 4pi ^ {2} n ^ {2} y ^ {2} a_ {n} (y) -y ^ {2} {frac {částečné ^ {2}} {částečné y ^ {2}}} a_ { n} (y) end {aligned}}}$

pro ${displaystyle nin mathbb {Z}.}$

V (1) jsme použili, že nFourierův koeficient ${displaystyle {frac {částečné ^ {2} f} {částečné x ^ {2}}}}$ je ${displaystyle (2pi in) ^ {2} a_ {n} (y)}$ pro první součtový termín. Ve druhém semestru jsme změnili pořadí integrace a diferenciace, které je povoleno, protože f je v y plynulé. Dostaneme lineární diferenciální rovnici druhého stupně:

${displaystyle y ^ {2} {frac {částečné ^ {2}} {částečné y ^ {2}}} a_ {n} (y) + vlevo ({frac {1} {4}} - u ^ {2} -4pi n ^ {2} y ^ {2} ight) a_ {n} (y) = 0}$

Pro ${displaystyle n = 0}$ lze ukázat, že pro každé řešení ${displaystyle f}$ existují jedinečné koeficienty ${displaystyle c_ {0}, d_ {0} v mathbb {C}}$ s majetkem ${displaystyle a_ {0} (y) = c_ {0} y ^ {{frac {1} {2}} - u} + d_ {0} y ^ {{frac {1} {2}} + u}. }$

Pro ${displaystyle neq 0}$ každé řešení ${displaystyle f}$ je ve formě

${displaystyle f (y) = c_ {n} {sqrt {y}} K_ {v} (2pi | n | y) + d_ {n} {sqrt {y}} I_ {v} (2pi | n | y) }$

pro jedinečné ${displaystyle c_ {n}, d_ {n} v mathbb {C}}$. Tady ${displaystyle K_ {v}}$ a ${displaystyle I_ {v}}$ jsou Besselovy funkce.

Besselovy funkce ${displaystyle I_ {v}}$ rostou exponenciálně, zatímco Besselovy funkce ${displaystyle K_ {v}}$ exponenciálně klesat. Spolu s podmínkou polynomiálního růstu 3) dostaneme ${displaystyle f: a_ {n} (y) = c_ {n} {sqrt {y}} K_ {v} (2pi | n | y)}$ (taky ${displaystyle d_ {n} = 0}$) za jedinečný ${displaystyle c_ {n} v mathbb {C} .square}$

Sudé a liché Maassovy formy: Nechat ${displaystyle i (z): = - {overline {z}}}$. Pak i pracuje na všech funkcích ${displaystyle f: mathbb {H} o mathbb {C}}$ podle ${displaystyle i (f): = f (i (z))}$ a dojíždí s hyperbolickým Laplacianem. Masová forma ${displaystyle f}$ se nazývá i, pokud ${displaystyle i (f) = f}$ a zvláštní, pokud ${displaystyle i (f) = - f}$. Pokud je f forma Maass, pak ${displaystyle {frac {1} {2}} (f + i (f))}$ je sudá Maassova forma a ${displaystyle {frac {1} {2}} (f-i (f))}$ zvláštní forma Maass a to platí ${displaystyle f = {frac {1} {2}} (f + i (f)) + {frac {1} {2}} (f-i (f))}$.

Věta: L-funkce Maassovy formy

Nechat

${displaystyle f (x + iy) = součet _ {neq 0} c_ {n} {sqrt {y}} K_ {u} (2pi | n | y) e ^ {2pi inx}}$

být Maassovým hrotem. Definujeme L-funkci ${displaystyle f}$ tak jako

${displaystyle L (s, f) = součet _ {n = 1} ^ {infty} c_ {n} n ^ {- s}.}$

Pak série ${displaystyle L (s, f)}$ konverguje pro ${displaystyle Re (s)> {frac {3} {2}}}$ a můžeme v ní pokračovat do celé funkce ${displaystyle mathbb {C}}$ .

Li ${displaystyle f}$ je sudé nebo liché, dostaneme

${displaystyle Lambda (s, f): = pi ^ {- s} Gamma left ({frac {s + varepsilon + u} {2}} ight) Gamma left ({frac {s + varepsilon -u} {2}} ight) L (s, f).}$

Tady ${displaystyle varepsilon = 0}$ -li ${displaystyle f}$ je sudé a ${displaystyle varepsilon = -1}$ -li ${displaystyle f}$ je zvláštní. Pak ${displaystyle Lambda}$ splňuje funkční rovnici

${displaystyle Lambda (s, f) = (- 1) ^ {varepsilon} Lambda (1-s, f).}$

Příklad: Ne-holomorfní Eisensteinova řada E

Neholomorfní řada Eisenstein je definována pro ${displaystyle z = x + iyin mathbb {H}}$ a ${displaystyle sin mathbb {C}}$ tak jako

${displaystyle E (z, s): = pi ^ {- s} Gama (y) {frac {1} {2}} součet _ {(m, n) eq (0,0)} {frac {y ^ { s}} {| mz + n | ^ {2s}}}}$

kde ${displaystyle Gamma (s)}$ je Funkce gama.

Série konverguje absolutně dovnitř ${displaystyle zin mathbb {H}}$ pro ${displaystyle Re (s)> 1}$ a lokálně jednotně v ${displaystyle mathbb {H} imes {Re (s)> 1}}$, protože je možné ukázat, že série

${displaystyle S (z, s): = součet _ {(m, n) eq (0,0)} {frac {1} {| mz + n | ^ {s}}}}$

konverguje absolutně dovnitř ${displaystyle zin mathbb {H},}$ -li ${displaystyle Re (s)> 2.}$ Přesněji konverguje rovnoměrně na každé sadě ${displaystyle K imes {Re (s) geq alpha},}$ pro každou kompaktní sadu ${displaystyle Ksubset mathbb {H}}$ a každý ${displaystyle alpha> 2.}$

E je Maassova forma

Ukážeme jen ${displaystyle mathrm {SL} _ {2} (mathbb {Z})}$-invariance a diferenciální rovnice. Důkaz hladkosti najdete v Deitmar nebo Bump. Podmínka růstu vyplývá z Fourierovy expanze řady Eisenstein.

Nejprve si ukážeme ${displaystyle mathrm {SL} _ {2} (mathbb {Z})}$-invariance. Nechat

${displaystyle Gamma _ {infty}: = pm {egin {pmatrix} 1 & mathbb {Z} 0 & 1 end {pmatrix}}}$

být stabilizační skupinou ${displaystyle infty}$ odpovídající provozu ${displaystyle mathrm {SL} _ {2} (mathbb {Z})}$ na ${displaystyle mathbb {H} pohár {infty}}$.

Tvrzení. E je ${displaystyle Gamma (1)}$-invariantní.

Důkaz. Definovat:

${displaystyle {ilde {E}} (z, s): = součet _ {gamma v Gamma _ {infty} ackslash Gamma} Im (gamma z) ^ {s}.}$

(A) ${displaystyle {ilde {E}}}$ konverguje absolutně dovnitř ${displaystyle zin mathbb {H}}$ pro ${displaystyle Re (s)> 1}$ a ${displaystyle E (z, s) = pi ^ {- s} Gama (s) zeta (2s) {ilde {E}} (z, s).}$

Od té doby

${displaystyle gamma = {egin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} v Gamma (1) Longrightarrow Im (gamma z) = {frac {Im (z)} {| cz + d | ^ {2}}} ,}$

získáváme

${displaystyle {ilde {E}} (z, s) = součet _ {gamma v Gamma _ {infty} ackslash Gamma} Im (gamma z) ^ {s} = sum _ {(c, d) = 1modpm 1} { frac {y ^ {s}} {| cz + d | ^ {2s}}}.}$

To dokazuje absolutní konvergenci v ${displaystyle zin mathbb {H}}$ pro ${displaystyle Re (s)> 1.}$

Z toho dále vyplývá

${displaystyle zeta (2s) {ilde {E}} (z, s) = součet _ {n = 1} ^ {infty} n ^ {- s} součet _ {(c, d) = 1modpm 1} {frac { y ^ {s}} {| cz + d | ^ {2s}}} = součet _ {n = 1} ^ {infty} součet _ {(c, d) = 1modpm 1} {frac {y ^ {s} } {| ncz + nd | ^ {2s}}} = součet _ {(m, n) eq (0,0)} {frac {y ^ {s}} {| mz + n | ^ {2s}}} ,}$

od mapy

${displaystyle {egin {cases} mathbb {N} imes {(x, y) in mathbb {Z} ^ {2} - {(0,0)} :( x, y) = 1} o mathbb {Z} ^ {2} - {(0,0)} (n, (x, y)) mapsto (nx, ny) end {cases}}}$

je bijekce (a) následuje.

(b) Máme ${displaystyle E (gama z, s) = E (z, s)}$ pro všechny ${displaystyle gamma in Gamma (1)}$.

Pro ${displaystyle {ilde {gamma}} v gama (1)}$ dostaneme

${displaystyle {ilde {E}} ({ilde {gamma}} z, s) = součet _ {gamma v Gamma _ {infty} ackslash Gamma} Im ({ilde {gamma}} gamma z) ^ {s} = součet _ {gamma in Gamma _ {infty} ackslash Gamma} Im (gamma z) ^ {s} = {ilde {E}} (gamma z, s)}$.

Společně s (a), ${displaystyle E}$ je také neměnný pod ${displaystyle Gamma (1)}$. ${squarestyle square}$

Tvrzení. E je vlastní forma hyperbolického Laplaceova operátoru

Potřebujeme následující lemmu:

Lemma: ${displaystyle Delta}$ dojíždí s provozem ${displaystyle G}$ na ${displaystyle C ^ {infty} (mathbb {H})}$. Přesněji pro všechny ${displaystyle gin G}$ my máme: ${displaystyle L_ {g} Delta = Delta L_ {g}.}$

Důkaz: Skupina ${displaystyle mathrm {SL} _ {2} (mathbb {R})}$ je generován prvky formuláře

${displaystyle {egin {pmatrix} a & 0 0 & {frac {1} {a}} end {pmatrix}}, ain mathbb {R} ^ {imes}; quad {egin {pmatrix} 1 & x 0 & 1 end {pmatrix} }, xin mathbb {R}; quad S = {egin {pmatrix} 0 & -1 1 & 0 end {pmatrix}}.}$

Jeden vypočítá nárok pro tyto generátory a získá nárok pro všechny ${displaystyle gin mathrm {SL} _ {2} (mathbb {R})}$. ${squarestyle square}$

Od té doby ${displaystyle E (z, s) = pi ^ {- s} Gama (s) zeta (2s) {ilde {E}} (z, s)}$ stačí ukázat diferenciální rovnici pro ${displaystyle {ilde {E}}.}$ My máme:

${displaystyle Delta {ilde {E}} (z, s): = Delta sum _ {gamma in Gamma _ {infty} ackslash Gamma} Im (gamma z) ^ {s} = sum _ {gamma in Gamma _ {infty} ackslash Gamma} Delta left (Im (gamma z) ^ {s} ight)}$

Kromě toho jeden má

${displaystyle Delta left (Im (z) ^ {s} ight) = Delta (y ^ {s}) = - y ^ {2} left ({frac {částečné ^ {2} y ^ {s}} {částečné x ^ {2}}} + {frac {částečné ^ {2} y ^ {s}} {částečné y ^ {2}}} ight) = s (1-s) y ^ {s}.}$

Protože operátor Laplace dojíždí s provozem ${displaystyle Gamma (1)}$, dostaneme

${displaystyle forall gamma in Gamma (1): quad Delta left (Im (gamma z) ^ {s} ight) = s (1-s) Im (gamma z) ^ {s}}$

a tak

${displaystyle Delta {ilde {E}} (z, s) = s (1-s) {ilde {E}} (z, s).}$

Proto platí diferenciální rovnice E v ${displaystyle Re (s)> 3.}$ Za účelem získání nároku pro všechny ${displaystyle sin mathbb {C},}$ zvažte funkci ${displaystyle Delta E (z, s) -s (1-s) E (z, s).}$ Výslovným výpočtem Fourierovy expanze této funkce získáme, že je meromorfní. Protože to zmizí pro ${displaystyle Re (s)> 3,}$ musí to být nulová funkce podle věty o identitě.

Fourierova expanze E

Neholomorfní řada Eisenstein má Fourierovu expanzi

${displaystyle E (z, s) = součet _ {n = -infty} ^ {infty} a_ {n} (y, s) e ^ {2pi inx}}$

kde

${displaystyle {egin {aligned} a_ {0} (y, s) & = pi ^ {- s} gama (s) zeta (2 s) y ^ {s} + pi ^ {s-1} gama (1 s) ) zeta (2 (1-s)) y ^ {1-s} a_ {n} (y, s) & = 2 | n | ^ {2- {frac {1} {2}}} sigma _ { 1-2 s} (| n |) {sqrt {y}} K_ {s- {frac {1} {2}}} (2pi | n | y) && neq 0end {zarovnáno}}}$

Li ${displaystyle zin mathbb {H}}$, ${displaystyle E (z, s)}$ má meromorfní pokračování dne ${displaystyle mathbb {C}.}$ Je holomorfní, s výjimkou jednoduchých pólů v ${displaystyle s = 0,1.}$

Eisensteinova řada splňuje funkční rovnici

${displaystyle E (z, s) = E (z, 1-s)}$

pro všechny ${displaystyle zin mathbb {H}}$.

Lokálně jednotně v ${displaystyle xin mathbb {R}}$ růstový stav

${displaystyle E (x + iy, s) = {mathcal {0}} (y ​​^ {sigma})}$

drží, kde ${displaystyle sigma = max (operatorname {Re} (s), 1-operatorname {Re} (s))}}$

Meromorfní pokračování E je velmi důležitý ve spektrální teorii hyperbolického Laplaceova operátoru.

Masové formy váhy k

Podskupiny shody

Pro ${displaystyle Nin mathbb {N}}$ nechat ${displaystyle Gamma (N)}$ být jádrem kanonické projekce

${displaystyle mathrm {SL} _ {2} (mathbb {Z}) o mathrm {SL} _ {2} (mathbb {Z} / Nmathbb {Z}).}$

Voláme ${displaystyle Gamma (N)}$ hlavní kongruence podskupina úrovně ${displaystyle N}$. Podskupina ${displaystyle Gamma subseteq mathrm {SL} _ {2} (mathbb {Z})}$ se nazývá podskupina kongruence, pokud existuje ${displaystyle Nin mathbb {N}}$, aby ${displaystyle Gamma (N) subseteq Gamma}$. Všechny podskupiny kongruence jsou diskrétní.

Nechat

${displaystyle {overline {Gamma (1)}}: = Gamma (1) / {pm 1}.}$

Pro podskupinu shody ${displaystyle Gamma,}$ nechat ${displaystyle {overline {Gamma}}}$ být obrazem ${displaystyle Gamma}$ v ${displaystyle {overline {Gamma (1)}}}$. Li S je systém zástupců společnosti ${displaystyle {overline {Gamma}} ackslash {overline {Gamma (1)}}}$, pak

${displaystyle SD = igcup _ {gamma in S} gamma D}$

je základní doménou pro ${displaystyle Gamma}$. Sada ${displaystyle S}$ je jednoznačně určena základní doménou ${displaystyle SD}$. Dále ${displaystyle S}$ je konečný.

Body ${displaystyle gamma infty}$ pro ${displaystyle gamma in S}$ se nazývají vrcholy základní domény ${displaystyle SD}$. Jsou podmnožinou ${displaystyle mathbb {Q} pohár {infty}}$.

Pro každý hrot ${displaystyle c}$ tady existuje ${displaystyle sigma in Gamma (1)}$ s ${displaystyle sigma infty = c}$.

Masové formy váhy k

Nechat ${displaystyle Gamma}$ být podskupinou shody a ${displaystyle kin mathbb {Z}.}$

Definujeme hyperbolický Laplaceův operátor ${displaystyle Delta _ {k}}$ hmotnosti ${displaystyle k}$ tak jako

${displaystyle Delta _ {k}: C ^ {infty} (mathbb {H}) o C ^ {infty} (mathbb {H}),}$

${displaystyle Delta _ {k} = - y ^ {2} vlevo ({frac {částečné ^ {2}} {částečné x ^ {2}}} + {frac {částečné ^ {2}} {částečné y ^ {2 }}} ight) + iky {frac {částečné} {částečné x}}.}$

Toto je zobecnění hyperbolického Laplaceova operátoru ${displaystyle Delta _ {0} = Delta}$.

Definujeme operaci ${displaystyle mathrm {SL} _ {2} (mathbb {R})}$ na ${displaystyle C ^ {infty} (mathbb {H})}$ podle

${displaystyle f_ {|| k} g (z): = left ({frac {cz + d} {| cz + d |}} ight) ^ {- k} f (gz)}$

kde

${displaystyle zin mathbb {H}, g = {egin {pmatrix} ast & ast c & d end {pmatrix}} v mathrm {SL} _ {2} (mathbb {R}), fin C ^ {infty} (mathbb { H}).}$

To lze ukázat

${displaystyle (Delta _ {k} f) _ {|| k} g = Delta _ {k} (f_ {|| k} g)}$

platí pro všechny ${displaystyle fin C ^ {infty} (mathbb {H}), kin mathbb {Z}}$ a každý ${displaystyle gin mathrm {SL} _ {2} (mathbb {R})}$.

Proto, ${displaystyle Delta _ {k}}$ pracuje na vektorovém prostoru

${displaystyle C ^ {infty} (Gamma ackslash mathbb {H}, k): = {fin C ^ {infty} (mathbb {H}): f_ {|| k} gamma = fforall gamma in Gamma}}$.

Definice. A Masová forma hmotnosti ${displaystyle kin mathbb {Z}}$ pro ${displaystyle Gamma}$ je funkce ${displaystyle fin C ^ {infty} (Gamma ackslash mathbb {H}, k)}$ to je vlastní funkce ${displaystyle Delta _ {k}}$ a je mírného růstu na hrbolcích.

Pojem mírný růst v cípech je třeba objasnit. Infinity je vrcholem ${displaystyle Gamma,}$ funkce ${displaystyle fin C ^ {infty} (Gamma ackslash mathbb {H}, k)}$ je mírného růstu při ${displaystyle infty}$ -li ${displaystyle f (x + iy)}$ je ohraničen polynomem v y tak jako ${displaystyle y o infty}$. Nechat ${displaystyle cin mathbb {Q}}$ být další vrchol. Pak existuje ${displaystyle heta in mathrm {SL} _ {2} (mathbb {Z})}$ s ${displaystyle heta (infty) = c}$. Nechat ${displaystyle f ': = f_ {|| k} heta}$. Pak ${displaystyle f'in C ^ {infty} (Gamma 'ackslash mathbb {H}, k)}$, kde ${displaystyle Gamma '}$ je podskupina shody ${displaystyle heta ^ {- 1} Gamma heta}$. Říkáme ${displaystyle f}$ má mírný růst na vrcholu ${displaystyle c}$, pokud ${displaystyle f '}$ je mírného růstu v ${displaystyle infty}$.

Definice. Li ${displaystyle Gamma}$ obsahuje podskupinu hlavní kongruence úrovně ${displaystyle N}$, říkáme to ${displaystyle f}$ je cuspidal v nekonečnu, pokud

${displaystyle forall zin mathbb {H}: quad int _ {0} ^ {N} f (z + u) du = 0.}$

Říkáme to ${displaystyle f}$ je na hrotu cuspidální ${displaystyle c}$ -li ${displaystyle f '}$ je cuspidal v nekonečnu. Li ${displaystyle f}$ je cuspidal na každém hrotu, říkáme ${displaystyle f}$ A hrotová forma.

Uvedeme jednoduchý příklad masové formy váhy ${displaystyle k> 1}$ pro modulární skupinu:

Příklad. Nechat ${displaystyle g: mathbb {H} o mathbb {C}}$ být modulární formou rovnoměrné hmotnosti ${displaystyle k}$ pro ${displaystyle Gamma (1).}$ Pak ${displaystyle f (z): = y ^ {frac {k} {2}} g (z)}$ je masová forma váhy ${displaystyle k}$ pro skupinu ${displaystyle Gamma (1)}$.

Spektrální problém

Nechat ${displaystyle Gamma}$ být podskupinou kongruence ${displaystyle mathrm {SL} _ {2} (mathbb {R})}$ a nechte ${displaystyle L ^ {2} (Gamma ackslash mathbb {H}, k)}$ být vektorovým prostorem všech měřitelných funkcí ${displaystyle f: mathbb {H} o mathbb {C}}$ s ${displaystyle f_ {|| k} gamma = f}$ pro všechny ${displaystyle gamma in Gamma}$ uspokojující

${displaystyle | f | ^ {2}: = int _ {Gamma ackslash mathbb {H}} | f (z) | ^ {2} dmu (z)$

funkce modulo s ${displaystyle | f | = 0.}$ Integrál je dobře definovaný, protože funkce ${displaystyle | f (z) | ^ {2}}$ je ${displaystyle Gamma}$-invariantní. Toto je Hilbertův prostor s vnitřním produktem

${displaystyle langle f, gangle = int _ {Gamma ackslash mathbb {H}} f (z) {overline {g (z)}} dmu (z).}$

Operátor ${displaystyle Delta _ {k}}$ lze definovat ve vektorovém prostoru ${displaystyle Bsubset L ^ {2} (Gamma ackslash mathbb {H}, k) cap C ^ {infty} (Gamma ackslash mathbb {H}, k)}$ který je hustý v ${displaystyle L ^ {2} (Gamma ackslash mathbb {H}, k)}$. Tam ${displaystyle Delta _ {k}}$ je kladný semidefinitní symetrický operátor. Je možné ukázat, že existuje jedinečné pokračování samoadjunku ${displaystyle L ^ {2} (Gamma ackslash mathbb {H}, k).}$

Definovat ${displaystyle C (Gamma ackslash mathbb {H}, k)}$ jako prostor všech forem hrotu ${displaystyle L ^ {2} (Gamma ackslash mathbb {H}, k) cap C ^ {infty} (Gamma ackslash mathbb {H}, k).}$ Pak ${displaystyle Delta _ {k}}$ pracuje dál ${displaystyle C (Gamma ackslash mathbb {H}, k)}$ a má diskrétní spektrum. Spektrum náležející ortogonálnímu komplementu má spojitou část a lze jej popsat pomocí (modifikovaných) nehomorfních Eisensteinových řad, jejich meromorfních pokračování a jejich zbytků. (Vidět Narazit nebo Iwaniec ).

Li ${displaystyle Gamma}$ je samostatná podskupina (bez torze) ${displaystyle mathrm {SL} _ {2} (mathbb {R})}$, takže kvocient ${displaystyle Gamma ackslash mathbb {H}}$ je kompaktní, spektrální problém se zjednodušuje. Důvodem je, že diskrétní podskupina cocompact nemá žádné špičky. Tady celý prostor ${displaystyle L ^ {2} (Gamma ackslash mathbb {H}, k)}$ je součet vlastních prostorů.

Vkládání do prostoru ${displaystyle L ^ {2} (Gamma ackslash G)}$

${displaystyle G = mathrm {SL} _ {2} (mathbb {R})}$ je lokálně kompaktní unimodulární skupina s topologií ${displaystyle mathbb {R} ^ {4}.}$ Nechat ${displaystyle Gamma}$ být podskupinou shody. Od té doby ${displaystyle Gamma}$ je diskrétní ${displaystyle G}$, je uzavřen ${displaystyle G}$ také. Skupina ${displaystyle G}$ je unimodulární a protože míra počítání je Haarova míra na diskrétní skupině ${displaystyle Gamma}$, ${displaystyle Gamma}$ je také unimodulární. Podle integrálního vzorce kvocientu existuje a ${displaystyle G}$- přesně invariantní radonová míra ${displaystyle dx}$ v místně kompaktním prostoru ${displaystyle Gamma ackslash G}$. Nechat ${displaystyle L ^ {2} (Gamma ackslash G)}$ být odpovídající ${displaystyle L ^ {2}}$-prostor. Tento prostor se rozkládá na přímý součet Hilbertova prostoru:

${displaystyle L ^ {2} (Gamma ackslash G) = igoplus _ {kin mathbb {Z}} L ^ {2} (Gamma ackslash G, k)}$

kde

${displaystyle L ^ {2} (Gamma ackslash G, k): = left {phi in L ^ {2} (Gamma ackslash G) mid phi (xk_ {heta}) = e ^ {ik heta} F (x) forall xin Gamma ackslash Gforall heta in mathbb {R} ight}}$

a

${displaystyle k_ {heta} = {egin {pmatrix} cos (heta) & - sin (heta) sin (heta) & cos (heta) end {pmatrix}} v SO (2), heta v mathbb {R}. }$

Hilbertův prostor ${displaystyle L ^ {2} (Gamma ackslash mathbb {H}, k)}$ mohou být izometricky vloženy do Hilbertova prostoru ${displaystyle L ^ {2} (Gamma ackslash G, k)}$. Izometrie je dána mapou

${displaystyle {egin {cases} psi _ {k}: L ^ {2} (Gamma ackslash mathbb {H}, k) o L ^ {2} (Gamma ackslash G, k) psi _ {k} (f) (g): = f_ {|| k} gama (i) konec {případů}}}$

Proto všechny Maass hroty tvoří pro skupinu shody ${displaystyle Gamma}$ lze považovat za prvky ${displaystyle L ^ {2} (Gamma ackslash G)}$.

${displaystyle L ^ {2} (Gamma ackslash G)}$ je Hilbertův prostor nesoucí operaci skupiny ${displaystyle G}$, tzv. správné pravidelné zastoupení:

${displaystyle R_ {g} phi: = phi (xg), {ext {where}} xin Gamma ackslash G {ext {and}} phi in L ^ {2} (Gamma ackslash G).}$

To se dá snadno ukázat ${displaystyle R}$ je jednotkové zastoupení ${displaystyle G}$ v Hilbertově prostoru ${displaystyle L ^ {2} (Gamma ackslash G)}$. Jeden se zajímá o rozklad na neredukovatelné subreprezentace. To je možné pouze tehdy, když ${displaystyle Gamma}$ je kompaktní. Pokud ne, existuje také spojitá Hilbertova integrální část. Zajímavou částí je, že řešení tohoto problému řeší také spektrální problém Maassových forem. (vidět Narazit, C. 2.3)

Maass hrot forma

A Maass hrot forma, podmnožina Maassových forem, je funkce na horní polorovina který se transformuje jako a modulární forma ale nemusí být holomorfní. Nejprve je studoval Hans Maass v Maass (1949).

Definice

Nechat k být celé číslo, s být komplexní číslo a Γ být a diskrétní podskupina z SL₂(R). A Masová forma hmotnosti k pro Γ s vlastní hodnotou Laplaceova s je hladký funkce z horní polorovina na komplexní čísla splňující následující podmínky:

• Pro všechny ${displaystyle gamma = left ({egin {smallmatrix} a & b c & dend {smallmatrix}} ight) in Gamma}$ a všechno ${displaystyle zin mathbb {H}}$, my máme ${displaystyle fleft ({frac {az + b} {cz + d}} ight) = left ({frac {cz + d} {| cz + d |}} ight) ^ {k} f (z).}$

• My máme ${displaystyle Delta _ {k} f = sf}$, kde ${displaystyle Delta _ {k}}$ je hmotnost k hyperbolický Laplacian definovaný jako

${displaystyle Delta _ {k} = - y ^ {2} vlevo ({frac {částečné ^ {2}} {částečné x ^ {2}}} + {frac {částečné ^ {2}} {částečné y ^ {2 }}} ight) + iky {frac {částečné} {částečné x}}.}$

• Funkce ${displaystyle f}$ je nanejvýš polynomiálního růstu v vrcholy.

A slabá Maassova forma je definována podobně, ale s třetí podmínkou nahrazenou „Funkce ${displaystyle f}$ má maximálně lineární exponenciální růst na špičkách. “Navíc ${displaystyle f}$ se říká, že je harmonický je-li zničen laplaciánským operátorem.

Hlavní výsledky

Nechat ${displaystyle f}$ být váha 0 Maass hrot forma. Jeho normalizovaný Fourierův koeficient na vrcholu p je ohraničen p^7/64 + p^−7/64. Tato věta je způsobena Henry Kim a Peter Sarnak. Je to přiblížení k Ramanujan-Peterssonova domněnka.

Vyšší rozměry

Masové hrotové formy lze na GL (2) považovat za automorfní formy. Je přirozené definovat Maassovy hrotové formy na GL (n) jako sférické automorfní formy na GL (n) přes pole racionálního čísla. Jejich existenci dokazují Miller, Mueller atd.

Automorfní reprezentace skupiny adele

Skupina ${displaystyle mathrm {GL} _ {2} (mathbb {A})}$

Nechat ${displaystyle R}$ být komutativní prsten s jednotkou a nechat ${displaystyle G_ {R}: = mathrm {GL} _ {2} (R)}$ být skupinou ${displaystyle 2 imes 2}$ matice s položkami v ${displaystyle R}$ a invertibilní determinant. Nechat ${displaystyle mathbb {A} = mathbb {A} _ {mathbb {Q}}}$ být prstenem racionálních adelů, ${displaystyle mathbb {A} _ {ext {fin}}}$ prstenec konečných (racionálních) adelů a pro prvočíslo ${displaystyle pin mathbb {N}}$ nechat ${displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ být oborem p-adická čísla. Kromě toho ${displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ být prstenem celých čísel p-adic (viz Adele prsten ). Definovat ${displaystyle G_ {p}: = G_ {mathbb {Q} _ {p}}}$. Oba ${displaystyle G_ {p}}$ a ${displaystyle G_ {mathbb {R}}}$ jsou lokálně kompaktní unimodulární skupiny, pokud je vybavíme topologiemi podprostorů ${displaystyle mathbb {Q} _ {p} ^ {4}}$ resp ${displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$. Pak:

${displaystyle G_ {ext {fin}}: = G_ {mathbb {A} _ {ext {fin}}} cong {widehat {prod _ {p$

Pravá strana je omezeným produktem, který se týká kompaktních otevřených podskupin ${displaystyle K_ {p}: = G_ {mathbb {Z} _ {p}}}$ z ${displaystyle G_ {p}}$. Pak ${displaystyle G_ {ext {fin}}}$ lokálně kompaktní skupina, pokud ji vybavíme omezenou topologií produktu.