Rovnice akustické vlny - Acoustic wave equation - Wikipedia

v fyzika, rovnice akustické vlny upravuje šíření akustické vlny prostřednictvím hmotného média. Forma rovnice je druhého řádu parciální diferenciální rovnice. Rovnice popisuje vývoj akustický tlak ${ displaystyle p}$ nebo rychlost částic u jako funkce polohy X a čas ${ displaystyle t}$ . Zjednodušená forma rovnice popisuje akustické vlny pouze v jedné prostorové dimenzi, zatímco obecnější forma popisuje vlny ve třech rozměrech.

U ztrátových médií je třeba použít složitější modely, aby se zohlednil útlum závislý na frekvenci a rychlost fáze. Mezi takové modely patří rovnice akustických vln, které obsahují zlomkové derivační výrazy, viz také akustický útlum článek nebo anketní práce.^[1]

V jedné dimenzi

Rovnice

Vlnová rovnice popisující zvuk v jedné dimenzi (poloze ${ displaystyle x}$ ) je

{ displaystyle { částečné ^ {2} p nad částečné x ^ {2}} - {1 nad c ^ {2}} { částečné ^ {2} p nad částečné t ^ {2}} = 0,}

kde ${ displaystyle p}$ je akustický tlak (místní odchylka od okolního tlaku) a kde ${ displaystyle c}$ je rychlost zvuku.^[2]

Řešení

Za předpokladu, že rychlost ${ displaystyle c}$ je konstanta, nezávislá na frekvenci (disperzní případ), pak je nejobecnější řešení

{ displaystyle p = f (ct-x) + g (ct + x)}

kde ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle g}$ jsou libovolné dvě dvakrát rozlišitelné funkce. Toto může být zobrazeno jako superpozice ze dvou křivek libovolného profilu, jeden ( ${ displaystyle f}$ ) pohybující se po ose x a po druhé ( ${ displaystyle g}$ ) dolů osou x rychlostí ${ displaystyle c}$ . Konkrétní případ sinusové vlny pohybující se jedním směrem se získá výběrem buď ${ displaystyle f}$ nebo ${ displaystyle g}$ být sinusoida a druhá nulová, dávat

{ displaystyle p = p_ {0} sin ( omega t mp kx)}

.

kde ${ displaystyle omega}$ je úhlová frekvence vlny a ${ displaystyle k}$ je jeho číslo vlny.

Derivace

Odvození rovnice akustické vlny

Derivace vlnové rovnice zahrnuje tři kroky: derivaci stavové rovnice, linearizovanou rovnici jednorozměrné kontinuity a linearizovanou rovnici jednorozměrné síly.

Stavová rovnice (zákon o ideálním plynu )

{ displaystyle PV = nRT}

V adiabatický proces tlak P jako funkce hustoty ${ displaystyle rho}$ lze linearizovat na

{ displaystyle P = C rho ,}

kde C je nějaká konstanta. Rozdělení tlaku a hustoty na jejich střední a celkovou složku a to si povšimneme ${ displaystyle C = { frac { částečné P} { částečné rho}}}$ :

{ displaystyle P-P_ {0} = left ({ frac { částečné P} { částečné rho}} right) ( rho - rho _ {0})}

.

Adiabatický objemový modul pro kapalinu je definována jako

{ displaystyle B = rho _ {0} vlevo ({ frac { částečné P} { částečné rho}} pravé) _ {adiabatic}}

což dává výsledek

{ displaystyle P-P_ {0} = B { frac { rho - rho _ {0}} { rho _ {0}}}}

.

Kondenzace, s, je definována jako změna hustoty pro danou hustotu okolní tekutiny.

{ displaystyle s = { frac { rho - rho _ {0}} { rho _ {0}}}}

Linearizovaná stavová rovnice se stává

{ displaystyle p = Bs ,}

kde p je akustický tlak (

{ displaystyle P-P_ {0}}

).

The rovnice spojitosti (zachování hmoty) v jedné dimenzi je

{ displaystyle { frac { částečné rho} { částečné t}} + { frac { částečné} { částečné x}} ( rho u) = 0}

.

Kde u je rychlost proudění Rovnici je nutné znovu linearizovat a proměnné rozdělit na střední a proměnné složky.

{ displaystyle { frac { částečné} { částečné t}} ( rho _ {0} + rho _ {0} s) + { frac { částečné} { částečné x}} ( rho _ {0} u + rho _ {0} su) = 0}

Přeskupení a konstatování, že hustota prostředí se nemění ani s časem, ani s pozicí a že kondenzace vynásobená rychlostí je velmi malé číslo:

{ displaystyle { frac { částečné s} { částečné t}} + { frac { částečné} { částečné x}} u = 0}

Eulerova rovnice sil (zachování hybnosti) je poslední potřebnou složkou. V jedné dimenzi je rovnice:

{ displaystyle rho { frac {Du} {Dt}} + { frac { částečný P} { částečný x}} = 0}

,

kde ${ displaystyle D / Dt}$ představuje konvekční, podstatný nebo podstatný derivát, což je derivace v bodě pohybujícím se médiem spíše než v pevném bodě.

Linearizace proměnných:

{ displaystyle ( rho _ {0} + rho _ {0} s) vlevo ({ frac { částečné} { částečné t}} + u { frac { částečné} { částečné x}} right) u + { frac { částečné} { částečné x}} (P_ {0} + p) = 0}

.

Přeskupením a zanedbáním malých výrazů se výsledná rovnice stane linearizovanou jednorozměrnou Eulerovou rovnicí:

{ displaystyle rho _ {0} { frac { částečné u} { částečné t}} + { frac { částečné p} { částečné x}} = 0}

.

Získání časové derivace rovnice kontinuity a prostorové derivace silové rovnice vede k:

{ displaystyle { frac { částečné ^ {2} s} { částečné t ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} u} { částečné x částečné t}} = 0}

{ displaystyle rho _ {0} { frac { částečné ^ {2} u} { částečné x částečné t}} + { frac { částečné ^ {2} p} { částečné x ^ {2 }}} = 0}

.

Vynásobením prvního ${ displaystyle rho _ {0}}$ , odečtením dvou a dosazením linearizované stavové rovnice,

{ displaystyle - { frac { rho _ {0}} {B}} { frac { částečné ^ {2} p} { částečné t ^ {2}}} + { frac { částečné ^ { 2} p} { částečné x ^ {2}}} = 0}

.

Konečný výsledek je

{ displaystyle { částečné ^ {2} p nad částečné x ^ {2}} - {1 nad c ^ {2}} { částečné ^ {2} p nad částečné t ^ {2}} = 0}

kde ${ displaystyle c = { sqrt { frac {B} { rho _ {0}}}}}$ je rychlost šíření.

Ve třech rozměrech

Rovnice

Feynman^[3] poskytuje odvození vlnové rovnice pro zvuk ve třech rozměrech jako

{ displaystyle nabla ^ {2} p- {1 nad c ^ {2}} { částečné ^ {2} p nad částečné t ^ {2}} = 0,}

kde ${ displaystyle nabla ^ {2}}$ je Operátor Laplace, ${ displaystyle p}$ je akustický tlak (místní odchylka od okolního tlaku) a kde ${ displaystyle c}$ je rychlost zvuku.

Podobně vypadající vlnová rovnice, ale pro vektorové pole rychlost částic darováno

{ displaystyle nabla ^ {2} mathbf {u} ; - {1 nad c ^ {2}} { částečné ^ {2} mathbf {u} ; přes částečné t ^ {2}} = 0}

.

V některých situacích je výhodnější vyřešit vlnovou rovnici pro abstraktní skalární pole rychlostní potenciál který má formu

{ displaystyle nabla ^ {2} Phi - {1 nad c ^ {2}} { částečné ^ {2} Phi nad částečné t ^ {2}} = 0}

a pak odvodit fyzikální veličiny rychlost částic a akustický tlak pomocí rovnic (nebo definice, v případě rychlosti částic):

{ displaystyle mathbf {u} = nabla Phi ;}

,

{ displaystyle p = - rho { částečné nad částečné t} Phi}

.

Řešení

Následující řešení získá společnost oddělení proměnných v různých souřadnicových systémech. Oni jsou fázor řešení, to znamená, že mají implicitní faktor časové závislosti ve výši ${ displaystyle e ^ {i omega t}}$ kde ${ displaystyle omega = 2 pi f}$ je úhlová frekvence. Explicitní časová závislost je dána vztahem

{ displaystyle p (r, t, k) = operatorname {skutečné} left [p (r, k) e ^ {i omega t} right]}

Tady ${ displaystyle k = omega / c }$ je číslo vlny.

Kartézské souřadnice

{ displaystyle p (r, k) = Ae ^ { pm ikr}}

.

Válcové souřadnice

{ displaystyle p (r, k) = AH_ {0} ^ {(1)} (kr) + BH_ {0} ^ {(2)} (kr)}

.

kde asymptotické aproximace k Hankel funkce, když ${ displaystyle kr rightarrow infty}$ , jsou

{ displaystyle H_ {0} ^ {(1)} (kr) simeq { sqrt { frac {2} { pi kr}}} e ^ {i (kr- pi / 4)}}

{ displaystyle H_ {0} ^ {(2)} (kr) simeq { sqrt { frac {2} { pi kr}}} e ^ {- i (kr- pi / 4)}}

.

Sférické souřadnice

{ displaystyle p (r, k) = { frac {A} {r}} e ^ { pm ikr}}

.

V závislosti na zvolené Fourierově konvenci jedna z nich představuje vnější cestující vlnu a druhá nefyzickou vnitřní cestující vlnu. Vlna řešení směřujícího dovnitř je pouze nefyzická kvůli singularitě, ke které dochází při r = 0; dovnitř cestující vlny existují.

Viz také

Reference

^ S. P. Näsholm a S. Holm, „On the Fractional Zener Elastic Wave Equation“, Fract. Calc. Appl. Anální. Sv. 16, No 1 (2013), str. 26-50, DOI: 10,2478 / s 13540-013--0003-1 Odkaz na elektronický tisk
^ Richard Feynman „Přednášky z fyziky, svazek 1, kapitola 47: Zvuk. Vlnová rovnice, Caltech 1963, 2006, 2013
^ Richard Feynman, Lectures in Physics, Volume 1, 1969, Addison Publishing Company, Addison

[Nasholm2-1] S. P. Näsholm a S. Holm, „On the Fractional Zener Elastic Wave Equation“, Fract. Calc. Appl. Anální. Sv. 16, No 1 (2013), str. 26-50, DOI: 10,2478 / s 13540-013--0003-1 Odkaz na elektronický tisk

[2] Richard Feynman „Přednášky z fyziky, svazek 1, kapitola 47: Zvuk. Vlnová rovnice, Caltech 1963, 2006, 2013

[Feynman_1-3] Richard Feynman, Lectures in Physics, Volume 1, 1969, Addison Publishing Company, Addison

[1]

[2]

[3]