Weierstrassova věta o přípravě - Weierstrass preparation theorem

v matematika, Weierstrassova věta o přípravě je nástroj pro řešení analytické funkce z několik složitých proměnných v daném bodě P. Uvádí, že taková funkce je, až do násobení funkcí nenulovou na P, a polynomiální v jedné pevné proměnné z, který je monic a jehož koeficienty termínů nižšího stupně jsou analytické funkce ve zbývajících proměnných a nula at P.

Existuje také řada variant věty, které u některých rozšiřují myšlenku faktorizace prsten R tak jako u·w, kde u je jednotka a w je nějakým způsobem odlišit Weierstrassův polynom. Carl Siegel zpochybnil přičítání věty Weierstrass s tím, že k němu došlo pod současným názvem na konci 19. století Traités d'analyse bez odůvodnění.

Komplexní analytické funkce

Pro jednu proměnnou je to lokální forma analytické funkce F(z) blízko 0 je z^kh(z) kde h(0) není 0 a k je řád nula F na 0. To je výsledek, který zobecňuje přípravná věta. Vybereme jednu proměnnou z, o kterém můžeme předpokládat, že je první, a zapíšeme naše komplexní proměnné jako (z, z₂, ..., z_n). Weierstrassův polynom Ž(z) je

z^k + G_k−1z^k−1 + ... + G₀

kde G_i(z₂, ..., z_n) je analytický a G_i(0, ..., 0) = 0.

Věta pak říká, že pro analytické funkce F, pokud

F(0, ...,0) = 0,

a

F(z, z₂, ..., z_n)

jako výkonová řada má nějaký termín pouze zahrnující z, můžeme psát (lokálně blízko (0, ..., 0))

F(z, z₂, ..., z_n) = Ž(z)h(z, z₂, ..., z_n)

s h analytické a h(0, ..., 0) ne 0 a Ž Weierstrassův polynom.

To má okamžitý důsledek, že množina nul F, near (0, ..., 0), lze najít opravením malých hodnot z₂, ..., z_n a poté řešení rovnice W (z) = 0. Odpovídající hodnoty z tvoří řadu neustále se měnících větve, v počtu rovnajícím se stupni Ž v z. Zejména F nemůže mít izolovanou nulu.

Věta o dělení

Souvisejícím výsledkem je Věta o Weierstrassově dělení, který uvádí, že pokud F a G jsou analytické funkce a G je Weierstrassův polynom stupně N, pak existuje jedinečný pár h a j takhle F = gh + j, kde j je polynom stupně menšího než N. Mnoho autorů ve skutečnosti dokazuje Weierstrassovu přípravu jako důsledek věty o rozdělení. Je také možné dokázat teorém o dělení z věty o přípravě tak, aby byly obě věty ekvivalentní.^[1]

Aplikace

Weierstrassovu teorém o přípravě lze použít k prokázání, že prsten zárodků analytických funkcí v n proměnných je noetherovský kruh, který se také označuje jako Rückertova věta.^[2]

Hladké funkce

Existuje hlubší věta o přípravě na plynulé funkce, kvůli Bernard Malgrange, nazvaný Malgrangeova věta o přípravě. Má také přidruženou teorém divize, pojmenovanou po John Mather.

Formální výkonová řada v kompletních místních kruzích

Analogický výsledek, označovaný také jako Weierstrassova věta o přípravě, pro kruh formální mocenské řady přes kompletní místní prsteny A:^[3] pro všechny výkonové řady ${ displaystyle f = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} t ^ {n} v A [[t]]}$ takové, že ne všechny ${ displaystyle a_ {n}}$ jsou v maximální ideál ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ z Aexistuje jedinečný jednotka u v ${ displaystyle A [[t]]}$ a polynom F formuláře ${ displaystyle F = t ^ {s} + b_ {s-1} t ^ {s-1} + tečky + b_ {0}}$ s ${ displaystyle b_ {i} in { mathfrak {m}}}$ (tzv. rozlišující polynom) takový, že

${ displaystyle f = uF.}$

Od té doby ${ displaystyle A [[t]]}$ je opět úplný lokální kruh, výsledek lze iterovat, a proto poskytuje podobné výsledky faktorizace pro formální mocninné řady v několika proměnných.

Například to platí pro kruh celých čísel v a p-adic pole. V tomto případě věta říká, že mocninová řada F(z) lze vždy jednoznačně započítat jako πⁿ·u(z)·str(z), kde u(z) je jednotka v kruhu výkonových řad, str(z) je rozlišující polynom (monický, s koeficienty nevodících členů každý v maximálním ideálu) a π je pevná uniformizátor.

Aplikace Weierstrassovy věty o přípravě a rozdělení pro prsten ${ displaystyle mathbf {Z} _ {p} [[t]]}$ (také zvaný Iwasawa algebra ) se vyskytuje v Teorie Iwasawa v popisu konečně generovaných modulů přes tento kruh.^[4]

Tate algebry

K dispozici je také Weiertrassova věta o přípravě na Tate algebry

${ displaystyle T_ {n} (k) = left { sum _ { nu _ {1}, dots, nu _ {n} geq 0} a _ { nu _ {1}, dots , nu _ {n}} X_ {1} ^ { nu _ {1}} cdots X_ {n} ^ { nu _ {n}}, | a _ { nu _ {1}, dots, nu _ {n}} | to 0 { text {for}} nu _ {1} + dots + nu _ {n} to infty right }}$

přes kompletní non-archimedean pole k.^[5] Tyto algebry jsou základní stavební kameny tuhá geometrie. Jednou aplikací této formy Weierstrassovy věty o přípravě je skutečnost, že prsteny ${ displaystyle T_ {n} (k)}$ jsou Noetherian.

Reference

• Lewis, Andrew, Poznámky ke globální analýze
• Siegel, C. L. (1969), „Zu den Beweisen des Vorbereitungssatzes von Weierstrass“, Teorie čísel a analýza (články na počest Edmunda Landaua), New York: Plenum, s. 297–306, PAN  0268402, dotisk dovnitř Siegel, Carl Ludwig (1979), Chandrasekharan, K .; Maass., H. (eds.), Gesammelte Abhandlungen. Kapela IV, Berlín-New York: Springer-Verlag, s. 1–8, ISBN  0-387-09374-5, PAN  0543842
• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], „Weierstrassova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Stickelberger, L. (1887), „Ueber einen Satz des Herrn Noether“, Mathematische Annalen, 30 (3): 401–409, doi:10.1007 / BF01443952
• Weierstrass, K. (1895), Mathematische Werke. II. Abhandlungen 2, Berlin: Mayer & Müller, s. 135–142 přetištěno Johnsonem, New York, 1967.