Walsh – Lebesgueova věta - Walsh–Lebesgue theorem

The Walsh – Lebesgueova věta je slavný výsledek z harmonická analýza prokázáno americkým matematikem Joseph L. Walsh v roce 1929, s využitím výsledků prokázaných Lebesgue v roce 1907.[1][2][3] Veta uvádí následující:

Nechat K. být kompaktní podmnožina z Euklidovské letadlo ℝ2 takový relativní doplněk z s ohledem na ℝ2 je připojeno. Pak každý se skutečnou hodnotou spojitá funkce na (tj. the hranice z K.) může být jednotně aproximovat na od (se skutečnou hodnotou) harmonické polynomy v reálných proměnných X a y.[4]

Zobecnění

Walsh-Lebesgueova věta byla zobecněna na Riemannovy povrchy[5] a do ℝn.

Tato Walsh-Lebesgueova věta také sloužila jako katalyzátor pro celé kapitoly teorie funkční algebry jako je teorie Dirichletovy algebry a logmodulární algebry.[6]

V roce 1974 Anthony G. O'Farrell dal zevšeobecnění Walsh-Lebesgueovy věty pomocí Browder-Wermerovy věty z roku 1964[7] se souvisejícími technikami.[8][9][10]

Reference

  1. ^ Walsh, J.L. (1928). „Über die Entwicklung einer harmonischen Funktion nach harmonischen Polynomen“. J. Reine Angew. Matematika. 159: 197–209.
  2. ^ Walsh, J.L. (1929). „Aproximace harmonických funkcí harmonickými polynomy a harmonickými racionálními funkcemi“. Býk. Amer. Matematika. Soc. 35 (2): 499–544. doi:10.1090 / S0002-9947-1929-1501495-4.
  3. ^ Lebesgue, H. (1907). „Sur le probléme de Dirichlet“ (PDF). Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. 24 (1): 371–402. doi:10.1007 / BF03015070.
  4. ^ Gamelin, Theodore W. (1984). „Věta 3.3 (Walsh-Lebesgueova věta)“. Jednotné algebry. Americká matematická společnost. s. 36–37.
  5. ^ Bagby, T .; Gauthier, P. M. (1992). "Jednotná aproximace pomocí globálních harmonických funkcí". Aproximace řešením parciálních diferenciálních rovnic. Dordrecht: Springer. str. 15–26 (str. 20).
  6. ^ Walsh, J. L. (2000). Rivlin, Theodore J.; Saff, Edward B. (eds.). Joseph L. Walsh. Vybrané příspěvky. Springer. 249–250. ISBN  978-0-387-98782-8.
  7. ^ Browder, A.; Wermer, J. (Srpen 1964). „Metoda konstrukce Dirichletových algeber“. Proceedings of the American Mathematical Society. 15 (4): 546–552. doi:10.1090 / s0002-9939-1964-0165385-0. JSTOR  2034745.
  8. ^ O'Farrell, A. G (2012). „Zobecněná Walsh-Lebesgueova věta“ (PDF). Sborník Královské společnosti z Edinburghu, oddíl A. 73: 231–234. doi:10.1017 / S0308210500016395.
  9. ^ O'Farrell, A. G. (1981). „Pět zevšeobecnění Weierstrassovy věty o aproximaci“ (PDF). Sborník Královské irské akademie, oddíl A. 81 (1): 65–69.
  10. ^ O'Farrell, A. G. (1980). "Věty Walsh-Lebesgueova typu" (PDF). V D. A. Brannan; J. Clunie (eds.). Aspekty současné komplexní analýzy. Akademický tisk. str. 461–467.