Volume dohad - Volume conjecture - Wikipedia

V oboru matematika volala teorie uzlů, objemová domněnka je následující otevřený problém, který souvisí kvantové invarianty uzlů do hyperbolická geometrie z uzel doplňuje.

Nechat Ó označit rozepnout. Pro jakýkoli uzel K. nechat ${ displaystyle langle K rangle _ {N}}$ být Kashaevův neměnný ${ displaystyle K}$ ; tento invariant se shoduje s následujícím hodnocením ${ displaystyle N}$ -barevný Jonesův polynom ${ displaystyle J_ {K, N} (q)}$ z ${ displaystyle K}$ :

{ displaystyle langle K rangle _ {N} = lim _ {q to e ^ {2 pi i / N}} { frac {J_ {K, N} (q)} {J_ {O, N} (q)}}.}

(1)

Pak to tvrdí objemová domněnka

{ displaystyle lim _ {N to infty} { frac {2 pi log | langle K rangle _ {N} |} {N}} = operatorname {vol} (K), , }

(2)

kde vol (K.) označuje hyperbolický objem doplňku K. v 3 koule.

Kashaevovo pozorování

Rinat Kashaev (1997 ) pozoroval, že asymptotické chování určitého stavu součtu uzlů dává hyperbolický objem ${ displaystyle operatorname {vol} (K)}$ doplňku uzlů ${ displaystyle K}$ a ukázal, že to platí pro uzly ${ displaystyle 4_ {1}}$ , ${ displaystyle 5_ {2}}$ , a ${ displaystyle 6_ {1}}$ . Domníval se, že pro generála hyperbolické uzly vzorec (2) by platil. Jeho invariant pro uzel ${ displaystyle K}$ je založen na teorii kvantové dilogaritmy na ${ displaystyle N}$ -tý kořen jednoty, ${ displaystyle q = exp {(2 pi i / N)}}$ .

Barevný Jones Invariant

Murakami & Murakami (2001) nejprve poukázal na to, že Kashaevův invariant souvisí s Jonesovým polynomem nahrazením q 2N kořenem jednoty, jmenovitě, ${ displaystyle exp { frac {i pi} {N}}}$ . Použili R-matice jako diskrétní Fourierova transformace pro ekvivalenci těchto dvou hodnot.

Objemová domněnka je důležitá pro teorie uzlů. V části 5 tohoto dokumentu uvádějí, že:

Za předpokladu objemové domněnky je každý uzel odlišný od triviální uzel má alespoň jeden jiný Vassiliev (konečný typ) neměnný.

Vztah k teorii Chern-Simons

Pomocí složitosti, Murakami a kol. (2002) přepsal vzorec (1) na

{ displaystyle lim _ {N to infty} { frac {2 pi log langle K rangle _ {N}} {N}} = operatorname {vol} (S ^ {3} zpětné lomítko K) + CS (S ^ {3} zpětné lomítko K),}

(3)

kde ${ displaystyle CS (S ^ {3} zpětné lomítko K)}$ se nazývá Chern – Simons invariantní. Ukázali, že existuje jasný vztah mezi složitým barevným Jonesovým polynomem a Chern-Simonsovou teorií z matematického hlediska.

Reference

Kashaev, Rinat M. (1997), „Hyperbolický objem uzlů z kvantového dilogaritmu“, Dopisy z matematické fyziky, 39 (3): 269–275, arXiv:q-alg / 9601025, doi:10.1023 / A: 1007364912784.
Murakami, Hitoshi; Murakami, červen (2001), „Barevné Jonesovy polynomy a zjednodušený objem uzlu“, Acta Mathematica, 186 (1): 85–104, arXiv:matematika / 9905075, doi:10.1007 / BF02392716.
Murakami, Hitoshi; Murakami, červen; Okamoto, Miyuki; Takata, Toshie; Yokota, Yoshiyuki (2002), „Kashaevova domněnka a Chern-Simonsovy invarianty uzlů a odkazů“, Experimentální matematika, 11 (1): 427–435, arXiv:matematika / 0203119, doi:10.1080/10586458.2002.10504485.
Gukov, Sergei (2005), „Trojrozměrná kvantová gravitace, Chern-Simonsova teorie a A-polynom“, Commun. Matematika. Phys., 255 (1): 557–629, arXiv:hep-th / 0306165, Bibcode:2005CMaPh.255..577G, doi:10.1007 / s00220-005-1312-r.