Kvantový dilogaritmus - Quantum dilogarithm - Wikipedia

V matematice je kvantový dilogaritmus je speciální funkce definovaný vzorcem

{ displaystyle phi (x) equiv (x; q) _ { infty} = prod _ {n = 0} ^ { infty} (1-xq ^ {n}), quad | q | < 1}

Je to stejné jako q-exponenciální funkce ${ displaystyle E_ {q} (x)}$ .

Nechat ${ displaystyle u, v}$ být "q-commuting variables “, to jsou prvky vhodné nekomutativní algebry uspokojující Weylovy vztahy ${ displaystyle uv = qvu}$ . Potom kvantový dilogaritmus uspokojí Schützenbergerovu identitu

{ displaystyle phi (u) phi (v) = phi (u + v),}

Faddeev-Volkovova identita

{ Displaystyle phi (v) phi (u) = phi (u + v-vu),}

a identita Faddeev-Kashaev

{ Displaystyle phi (v) phi (u) = phi (u) phi (-vu) phi (v).}

O druhém je známo, že jde o kvantové zobecnění Rogersovy pětičlenné identity dilogaritmu.

Faddeevův kvantový dilogaritmus ${ displaystyle Phi _ {b} (w)}$ je definován následujícím vzorcem:

{ displaystyle Phi _ {b} (z) = exp left ({ frac {1} {4}} int _ {C} { frac {e ^ {- 2izw}} { sinh (wb ) sinh (w / b)}} { frac {dw} {w}} vpravo),}

kde je obrys integrace ${ displaystyle C}$ jde podél skutečné osy mimo malé sousedství původu a odchyluje se do horní polorovina blízko původu. Stejnou funkci lze popsat integrálním vzorcem Woronowicze:

{ displaystyle Phi _ {b} (x) = exp left ({ frac {i} {2 pi}} int _ { mathbb {R}} { frac { log (1 + e ^ {tb ^ {2} +2 pi bx})} {1 + e ^ {t}}} , dt right).}

Ludvig Faddeev objevil kvantovou pětiúhelníkovou identitu:

{ displaystyle Phi _ {b} ({ hat {p}}) Phi _ {b} ({ hat {q}}) = Phi _ {b} ({ hat {q}}) Phi _ {b} ({ hat {p}} + { hat {q}}) Phi _ {b} ({ hat {p}}),}

kde ${ displaystyle { hat {p}}}$ a ${ displaystyle { hat {q}}}$ jsou samoadjung (normalizované) kvantově mechanické hybnosti a polohové operátory uspokojující Heisenbergův komutační vztah

{ displaystyle [{ hat {p}}, { hat {q}}] = { frac {1} {2 pi i}}}

a inverzní vztah

{ displaystyle Phi _ {b} (x) Phi _ {b} (- x) = Phi _ {b} (0) ^ {2} e ^ { pi ix ^ {2}}, quad Phi _ {b} (0) = e ^ {{ frac { pi i} {24}} left (b ^ {2} + b ^ {- 2} right)}.}

Kvantový dilogaritmus najde uplatnění v matematická fyzika, kvantová topologie, shluková algebra teorie.

Přesný vztah mezi q-exponenciální a ${ displaystyle Phi _ {b}}$ je vyjádřena rovností

{ displaystyle Phi _ {b} (z) = { frac {E_ {e ^ {2 pi ib ^ {2}}} (- e ^ { pi ib ^ {2} +2 pi zb} )} {E_ {e ^ {- 2 pi i / b ^ {2}}} (- e ^ {- pi i / b ^ {2} +2 pi z / b})}}}}

platný pro ${ displaystyle operatorname {Im} b ^ {2}> 0}$ .

Reference

Faddeev, L. D. (1994). "Proměnné podobné proudu v masivních a bezhmotných integrovatelných modelech". arXiv:hep-th / 9408041.
Faddeev, L. D. (1995). "Diskrétní Heisenberg-Weylova skupina a modulární skupina". Dopisy z matematické fyziky. 34 (3): 249–254. arXiv:hep-th / 9504111. Bibcode:1995LMaPh..34..249F. doi:10.1007 / BF01872779. PAN 1345554.
Faddeev, L. D .; Kashaev, R. M. (1994). „Kvantový dilogaritmus“. Moderní fyzikální písmena A. 9 (5): 427–434. arXiv:hep-th / 9310070. Bibcode:1994 MPLA .... 9..427F. doi:10.1142 / S0217732394000447. PAN 1264393.

Faddeev, L. D .; Volkov, A. Yu. (1993). "Abelianská aktuální algebra a Virasoroova algebra na mřížce". Fyzikální písmena B. 315 (3–4): 311–318. arXiv:hep-th / 9307048. Bibcode:1993PhLB..315..311F. doi:10.1016 / 0370-2693 (93) 91618-W.

Kirillov, A. N. (1995). "Dilogaritmické identity". Průběh doplňku teoretické fyziky. 118: 61–142. arXiv:hep-th / 9408113. Bibcode:1995PThPS.118 ... 61K. doi:10.1143 / PTPS.118.61. PAN 1356515.

Schützenberger, M. P. (1953). "Une interpretation de certaines solutions de l'équation fonctionnelle: F (x + y) = F (x) F (y)". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris. 236: 352–353.

Woronowicz, S. L. (2000). Msgstr "Kvantová exponenciální funkce". Recenze v matematické fyzice. 12 (6): 873–920. Bibcode:2000RvMaP..12..873W. doi:10.1142 / S0129055X00000344. PAN 1770545.

externí odkazy

kvantový dilogaritmus v nLab