Varignonova věta - Varignons theorem - Wikipedia

Plocha(EFGH) = (1/2) Plocha (abeceda)

Varignonova věta je prohlášení v Euklidovská geometrie, která se zabývá konstrukcí konkrétního rovnoběžník, Varignon rovnoběžník, z libovolného čtyřúhelník (čtyřúhelník). Je pojmenován po Pierre Varignon, jehož důkaz byl posmrtně zveřejněn v roce 1731.^[1]

Teorém

Středové body po stranách libovolného čtyřúhelníku tvoří rovnoběžník. Pokud je čtyřúhelník konvexní nebo konkávní (ne komplex ), pak je plocha rovnoběžníku poloviční jako plocha čtyřúhelníku.

Představíme-li koncept orientovaných oblastí pro n-gons, pak tato rovnost plochy platí i pro složité čtyřúhelníky.^[2]

Varignonův paralelogram existuje i pro a zkosit čtyřúhelník, a je rovinné, zda je čtyřúhelník rovinný nebo ne. Větu lze zobecnit na středový mnohoúhelník libovolného mnohoúhelníku.

Důkaz

S odkazem na výše uvedený diagram jsou trojúhelníky ADC a HDG podobné kritériu boční úhel-strana, takže úhly DAC a DHG jsou stejné, takže HG je paralelní k AC. Stejným způsobem je EF paralelní s AC, takže HG a EF jsou navzájem paralelní; totéž platí pro HE a GF.

Varignonova věta může být také prokázána jako věta afinní geometrie organizovaná jako lineární algebra s lineárními kombinacemi omezenými na koeficienty se součtem 1, nazývané také afinní nebo barycentrické souřadnice. Důkaz platí i pro zkosení čtyřúhelníků v prostorech jakékoli dimenze.

Jakékoli tři body E, F, G jsou doplněny do rovnoběžníku (leží v rovině obsahující E, F, aG) tím, že vezme svůj čtvrtý vrchol E − F + G. Při konstrukci Varignonova paralelogramu jde o bod (A + B)/2 − (B + C)/2 + (C + D)/2 = (A + D) / 2. Ale o to jde H na obrázku, odkud EFGH tvoří rovnoběžník.

Stručně řečeno, těžiště ze čtyř bodů A, B, C, D je střed každé ze dvou úhlopříček NAPŘ a FH z EFGH, což ukazuje, že středy se shodují.

Z prvního důkazu je vidět, že součet úhlopříček se rovná obvodu vytvořeného rovnoběžníku. Můžeme také použít vektory o 1/2 délky každé strany, abychom nejprve určili plochu čtyřúhelníku a poté našli oblasti čtyř trojúhelníků rozdělených každou stranou vnitřního rovnoběžníku.

Důkaz beze slov Varignonovy věty:
1. Libovolný čtyřúhelník a jeho úhlopříčky.
2. Základny podobných trojúhelníků jsou rovnoběžné s modrou úhlopříčkou.
3. Totéž pro červenou úhlopříčku.
4. Páry bází tvoří rovnoběžník s polovinou plochy čtyřúhelníku, A_q, jako součet ploch čtyř velkých trojúhelníků, A_l je 2 A_q (každý ze dvou párů rekonstruuje čtyřúhelník), zatímco u malých trojúhelníků, A_s je čtvrtina A_l (poloviční lineární rozměry dávají čtvrtinu plochy) a plocha rovnoběžníku je A_q mínus A_s.

Varignonův rovnoběžník

Vlastnosti

Rovinný varignonový rovnoběžník má také následující vlastnosti:

• Každá dvojice protilehlých stran Varignonova rovnoběžníku je rovnoběžná s úhlopříčkou v původním čtyřúhelníku.
• Strana Varignonova paralelogramu je o polovinu delší než úhlopříčka v původním čtyřúhelníku, se kterou je rovnoběžná.
• Plocha Varignonova rovnoběžníku se rovná polovině plochy původního čtyřúhelníku. To platí v konvexních, konkávních a zkřížených čtyřúhelnících za předpokladu, že oblast druhého je definována jako rozdíl oblastí dvou trojúhelníků, ze kterých se skládá.^[2]
• The obvod Varignonova paralelogramu se rovná součtu úhlopříček původního čtyřúhelníku.
• Úhlopříčky Varignonova rovnoběžníku jsou bimediány původního čtyřúhelníku.
• Dva bimédia v čtyřúhelníku a úsečka spojující středy úhlopříček v tomto čtyřúhelníku jsou souběžně a všechny jsou rozděleny podle svého průsečíku.^{[3]:str. 125}

V konvexním čtyřúhelníku se stranami A, b, C a d, délka bimédianu, která spojuje středové body po stranách A a C je

${ displaystyle m = { tfrac {1} {2}} { sqrt {-a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} + d ^ {2} + p ^ {2} + q ^ {2}}}}$

kde p a q jsou délka úhlopříček.^[4] Délka bimédia, která spojuje středové body po stranách b a d je

${ displaystyle n = { tfrac {1} {2}} { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} -d ^ {2} + p ^ {2} + q ^ {2}}}.}$

Proto^{[3]:str. 126}

${ displaystyle displaystyle p ^ {2} + q ^ {2} = 2 (m ^ {2} + n ^ {2}).}$

To je také a důsledek do paralelogramový zákon aplikován ve Varignonově rovnoběžníku.

Délky bimediánů lze vyjádřit také dvěma protilehlými stranami a vzdáleností X mezi středy úhlopříček. To je možné při použití Eulerovy čtyřúhelníkové věty ve výše uvedených vzorcích. Odkud^[5]

${ displaystyle m = { tfrac {1} {2}} { sqrt {2 (b ^ {2} + d ^ {2}) - 4x ^ {2}}}}$

a

${ displaystyle n = { tfrac {1} {2}} { sqrt {2 (a ^ {2} + c ^ {2}) - 4x ^ {2}}}.}$

Všimněte si, že dvě protilehlé strany v těchto vzorcích nejsou dvě, které spojuje bimedian.

V konvexním čtyřúhelníku je následující dvojí spojení mezi bimediány a úhlopříčkami:^[6]

• Oba bimediani mají stejnou délku kdyby a jen kdyby dvě úhlopříčky jsou kolmý.
• Dva bimédia jsou kolmé právě tehdy, pokud mají obě úhlopříčky stejnou délku.

Speciální případy

Varignonův rovnoběžník je a kosočtverec právě tehdy, pokud mají dvě úhlopříčky čtyřúhelníku stejnou délku, tj. pokud je čtyřúhelník ekvidiagonální čtyřúhelník.^[7]

Varignonův rovnoběžník je a obdélník právě tehdy, jsou-li úhlopříčky čtyřúhelníku kolmý, tj. pokud je čtyřúhelník an ortodiagonální čtyřúhelník.^{[6]:str. 14 [7]:str. 169}

Pokud je křížený čtyřúhelník vytvořen z jedné dvojice protilehlých rovnoběžných stran a úhlopříček rovnoběžníku, je Varignonův rovnoběžník dvakrát úsečkou projetou.

Viz také

• Konstrukce čtyřúhelníku ve tvaru kolmice, odlišný způsob formování dalšího čtyřúhelníku z daného čtyřúhelníku

Poznámky

Odkazy a další čtení

• H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Geometrie Revisited. MAA, Washington 1967, s. 52-54
• Peter N. Oliver: Důsledky Varignonovy věty o rovnoběžníku. Učitel matematiky, Kapela 94, Nr. 5, Mai 2001, str. 406-408

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Varignonova věta“. MathWorld.
• Varignon rovnoběžník v geometrii kompendia
• Zobecnění Varignonovy věty na 2n-gons a na 3D na Dynamické geometrické náčrtky, interaktivní náčrtky dynamické geometrie.
• Varignon rovnoběžník ve společnosti cut-the-uzel-org