Konstrukce čtyřúhelníku ve tvaru kolmice - Perpendicular bisector construction of a quadrilateral - Wikipedia

v geometrie, kolmá půlící konstrukce čtyřúhelníku je konstrukce, která vyrábí nový čtyřúhelník z daného čtyřúhelníku pomocí kolmých půlících čar na strany bývalého čtyřúhelníku. Tato konstrukce vzniká přirozeně ve snaze najít náhradu za circumcenter čtyřúhelníku v případě, že je necyklický.

Definice stavby

Předpokládejme, že vrcholy z čtyřúhelník ${ displaystyle Q}$ jsou dány ${ displaystyle Q_ {1}, Q_ {2}, Q_ {3}, Q_ {4}}$. Nechat ${ displaystyle b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}, b_ {4}}$ být kolmé půlící čáry po stranách ${ displaystyle Q_ {1} Q_ {2}, Q_ {2} Q_ {3}, Q_ {3} Q_ {4}, Q_ {4} Q_ {1}}$ resp. Pak jejich křižovatky ${ displaystyle Q_ {i} ^ {(2)} = b_ {i + 2} b_ {i + 3}}$, přičemž dolní indexy jsou považovány za modulo 4, tvoří následný čtyřúhelník ${ displaystyle Q ^ {(2)}}$. Stavba je poté iterována ${ displaystyle Q ^ {(2)}}$ k výrobě ${ displaystyle Q ^ {(3)}}$ a tak dále.

První iterace konstrukce kolmé přímky

Ekvivalentní konstrukci lze získat tak, že necháme vrcholy ${ displaystyle Q ^ {(i + 1)}}$ být cirkumcentry ze 4 trojúhelníků vytvořených výběrem kombinací 3 vrcholů ${ displaystyle Q ^ {(i)}}$.

Vlastnosti

1. Pokud ${ displaystyle Q ^ {(1)}}$ tedy není cyklický ${ displaystyle Q ^ {(2)}}$ není zdegenerovaný.^[1]

2. Čtyřstranný ${ displaystyle Q ^ {(2)}}$ nikdy není cyklický.^[1] Kombinace # 1 a # 2, ${ displaystyle Q ^ {(3)}}$ je vždy nedegenerovat.

3. Čtyřstěny ${ displaystyle Q ^ {(1)}}$ a ${ displaystyle Q ^ {(3)}}$ jsou homotetický, a zejména podobný.^[2] Čtyřúhelníky ${ displaystyle Q ^ {(2)}}$ a ${ displaystyle Q ^ {(4)}}$ jsou také homotetické.

3. Konstrukci kolmé půlové osy lze převrátit pomocí izogonální konjugace.^[3] To je dané ${ displaystyle Q ^ {(i + 1)}}$, je možné zkonstruovat ${ displaystyle Q ^ {(i)}}$.

4. Nechť ${ displaystyle alpha, beta, gamma, delta}$ být úhly ${ displaystyle Q ^ {(1)}}$. Pro každého ${ displaystyle i}$, poměr ploch ${ displaystyle Q ^ {(i)}}$ a ${ displaystyle Q ^ {(i + 1)}}$ darováno^[3]

${ displaystyle (1/4) ( cot ( alpha) + cot ( gamma)) ( cot ( beta) + cot ( delta))}$

5. Pokud ${ displaystyle Q ^ {(1)}}$ je konvexní, pak posloupnost čtyřúhelníků ${ displaystyle Q ^ {(1)}, Q ^ {(2)}, ldots}$ konverguje k izoptický bod z ${ displaystyle Q ^ {(1)}}$, což je také izoptický bod pro každého ${ displaystyle Q ^ {(i)}}$. Podobně, pokud ${ displaystyle Q ^ {(1)}}$ je konkávní, pak sekvence ${ displaystyle Q ^ {(1)}, Q ^ {(0)}, Q ^ {(- 1)}, ldots}$ získaný obrácením konstrukce konverguje k Isoptic Point of the ${ displaystyle Q ^ {(i)}}$je.^[3]

Reference

• J. Langr, problém E1050, Amer. Matematika. Měsíční, 60 (1953) 551.
• V. V. Prasolov, Problémy s rovinnou geometrií, sv. 1 (v ruštině), 1991; Problém 6.31.
• V. V. Prasolov, Problémy v rovině a geometrii těles, sv. 1 (přeložil D. Leites), k dispozici na http://students.imsa.edu/~tliu/math/planegeo.eps^{[trvalý mrtvý odkaz ]}.
• D. Bennett, Dynamická geometrie obnovuje zájem o starý problém, v Geometrie zapnuta(ed. J. King), MAA Notes 41, 1997, s. 25–28.
• J. King, Quadrilaterals tvořené kolmými půlícími čarami, in Geometrie zapnuta, (ed. J. King), MAA Notes 41, 1997, str. 29–32.
• G. C. Shephard, konstrukce kolmé přímky, Geom. Dedicata, 56 (1995) 75–84.
• A. Bogomolny, Čtyřstěny tvořené kolmými půlovými čarami, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles, http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PerpBisectQuadri.shtml.
• B. Grünbaum, O čtyřúhelnících odvozených od čtyřúhelníků - část 3, Geombinatorika 7(1998), 88–94.
• O. Radko a E. Tsukerman, The Perpendicular Bisector Construction, the Isoptic Point and the Simson Line of a Quadrilateral, Fórum Geometricorum 12: 161–189 (2012).