Niemeierova mříž - Niemeier lattice

v matematika, a Niemeierova mříž je jedním z 24 pozitivní určitý dokonce unimodulární mřížky z hodnost 24, které byly klasifikovány podle Hans-Volker Niemeier  (1973 ). Venkov (1978) poskytl zjednodušený důkaz o klasifikaci. Witt (1941) má větu uvádějící, že našel více než 10 takových mřížek, ale neposkytuje žádné další podrobnosti. Jedním příkladem Niemeierovy mřížky je Mřížka pijavice.

Klasifikace

Niemeierovy mříže jsou obvykle označeny Dynkinův diagram Jejichkořenové systémy. Tyto Dynkinovy ​​diagramy mají hodnocení 0 nebo 24 a všechny jejich komponenty mají stejné Číslo coxeteru. (Coxeterovo číslo, alespoň v těchto případech, je počet kořenů dělený dimenzí.) Existuje přesně 24 Dynkinových diagramů s těmito vlastnostmi a pro každý z těchto Dynkinových diagramů se ukáže jedinečná Niemeierlattice.

Úplný seznam Niemeierových svazů je uveden v následující tabulce. V tabulce

G₀ je pořadí skupiny generované odrazy

G₁ je pořadí skupiny automorfismů fixujících všechny komponenty Dynkinova diagramu

G₂ je pořadí skupiny automorfismů permutací složek Dynkinova diagramu

G_∞ je index kořenové mřížky v Niemeierově mřížce, jinými slovy pořadí „lepicího kódu“. Je to druhá odmocnina diskriminátoru kořenové mřížky.

G₀×G₁×G₂ je řád skupiny automorfismu mřížky

G_∞×G₁×G₂ je pořadí skupiny automorfismu odpovídající hluboké díry.

Sousední graf Niemeierových mřížek

Li L je lichá unimodulární mřížka dimenze 8n a M její sublattice sudých vektorů M je obsažena v přesně 3 unimodulárních mřížkách, z nichž jedna je L a další dva jsou sudé. (Li L má vektor normy 1, pak jsou dvě sudé mřížky izomorfní.) Kneserův sousedský graf v 8n Dimensions má bod pro každou sudou mřížku a čáru spojující dva body pro každou lichou 8n dimenzionální mřížka bez vektorů normy 1, kde vrcholy každé linie jsou dvě sudé mřížky spojené s lichou mřížkou. Mezi stejnou dvojicí vrcholů může být několik čar a mohou existovat čáry od vrcholu k sobě samému. Kneser dokázal, že tento graf je vždy spojen. V 8 rozměrech má jeden bod a žádné čáry, v 16 rozměrech má dva body spojené jednou čarou a ve 24 rozměrech je to následující graf:

Každý bod představuje jednu z 24 Niemeierových mřížek a čáry, které je spojují, představují 24 rozměrných lichých unimodulárních mřížek bez vektorů normy 1. (Silné čáry představují více řádků.) Číslo vpravo je Coxeterovo číslo Niemeierovy mřížky.

Ve 32 rozměrech má sousední graf více než miliardu vrcholů.

Vlastnosti

Některé z Niemeierových svazů souvisí sporadické jednoduché skupiny. Na mřížku pijavice působí a dvojitý kryt z Skupina Conway a mřížky A₁²⁴ a A.₂¹²se jedná o Mathieu skupiny M₂₄ a M.₁₂.

Mřížky Niemeier, jiné než mřížka Leech, odpovídají hluboké díry mřížky Leech. To znamená, že afinní Dynkinovy ​​diagramy Niemeierových mřížek lze vidět uvnitř mřížky Leech, když jsou dva body mřížky Leech spojeny žádnými čarami, když mají vzdálenost${ displaystyle { sqrt {4}}}$, o 1 řádek, pokud mají vzdálenost ${ displaystyle { sqrt {6}}}$, a dvojitou čarou, pokud mají vzdálenost ${ displaystyle { sqrt {8}}}$.

Niemeierovy mřížky také odpovídají 24 oběžným dráhám nulových vektorů primitivní normy w dokonce unimodulární Lorentzovské mřížky II_25,1, kde Niemeierova mříž odpovídá w je w^⊥/w.

Reference

• Chenevier, Gaëtan; Lannes, Jean (2014), Vytváří automorphes et voisins de Kneser des réseaux de Niemeier, arXiv:1409.7616, Bibcode:2014arXiv1409.7616C
• Conway, J. H.; Sloane, N. J. A. (1998). Balení koule, mřížky a skupiny (3. vyd.). Springer-Verlag. ISBN  0-387-98585-9.
• Ebeling, Wolfgang (2002) [1994], Mříže a kódy, Advanced Lectures in Mathematics (revidované vydání), Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, doi:10.1007/978-3-322-90014-2, ISBN  978-3-528-16497-3, PAN  1938666
• Niemeier, Hans-Volker (1973). Msgstr "Jednoznačné čtyřčlenné Formen der Dimension 24 und Diskriminate 1". Žurnál teorie čísel (V němčině) | formát = vyžaduje | url = (Pomoc). 5 (2): 142–178. Bibcode:1973JNT ..... 5..142N. doi:10.1016 / 0022-314X (73) 90068-1. PAN  0316384.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Venkov, B. B. (1978), „O klasifikaci integrálních i unimodulárních 24rozměrných kvadratických forem“, Akademiya Nauk Soyuza Sovetskikh Sotsialisticheskikh Respublik. Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova, 148: 65–76, ISSN  0371-9685, PAN  0558941 Anglický překlad v Conway & Sloane (1998) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFConwaySloane1998 (Pomoc)
• Witt, Ernst (1941), „Eine Identität zwischen Modulformen zweiten Grades“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 14: 323–337, doi:10.1007 / BF02940750, PAN  0005508
• Witt, Ernst (1998), Shromážděné papíry. Gesammelte Abhandlungen, Springer Collected Works in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-41970-6, ISBN  978-3-540-57061-5, PAN  1643949

externí odkazy

• Katalog mřížky na univerzitě v Cáchách