Ohnisková plocha - Focal surface

Ohniskové plochy (modré, růžové) hyperbolické paraboloid (bílý)

{displaystyle z = x ^ {2} -y ^ {2} ,; 0leq x, yleq 0,5}

Ohniskové plochy (zelené a červené) a opičí sedlo (modrý). Ve středu opičího sedla Gaussovo zakřivení je 0, jinak negativní.

Pro povrch ve trojrozměrném ohnisková plocha, povrch středů nebo evoluce je tvořen převzetím středů zakřivené koule, což jsou tangenciální koule jejichž poloměry jsou reciproční jednoho z hlavní zakřivení v bodě tečnosti. Ekvivalentně je to povrch tvořený středy kruhů, které oscilovat the křivky zakřivení.^[1]^[2]

Povrch s eliptickým pupečníkem a jeho ohniskovým povrchem.

Povrch s hyperbolickým pupečníkem a jeho ohniskovým povrchem.

Jelikož hlavní zakřivení jsou vlastní čísla druhé základní formy, jsou v každém bodě dvě a ta vedou ke dvěma bodům ohniskové plochy na každém normální směr na povrch. Pryč od pupeční body, tyto dva body ohniskové plochy jsou odlišné; v pupečních bodech se oba listy spojily. Když má povrch a hřbet ohnisková plocha má a hrotová hrana, tři takové hrany procházejí eliptickým pupečníkem a pouze jeden hyperbolickým pupečníkem.^[3] V místech, kde Gaussovo zakřivení je nula, jeden list ohniskové plochy bude mít bod v nekonečnu odpovídající nulové hlavní křivce.

Li ${displaystyle {vec {p}}}$ je bod dané plochy, ${displaystyle {vec {n}}}$ jednotka normální a ${displaystyle k_ {1}, k_ {2}}$ the hlavní zakřivení na ${displaystyle {vec {p}}}$ , pak

{displaystyle {vec {b}} _ {1} ({vec {p}}) = {vec {p}} + {frac {vec {n}} {k_ {1}}} quad}

a

{displaystyle quad {vec {b}} _ {2} ({vec {p}}) = {vec {p}} + {frac {vec {n}} {k_ {2}}}}

jsou odpovídající dva body ohniskové plochy.

Speciální případy

Ohnisková plocha a koule sestává z jediného bodu, jeho středu.
Jedna část ohniskové plochy a povrch otáčení sestává z osy otáčení.
Ohnisková plocha a Torus se skládá z kružnice directrix a osy otáčení.
Ohnisková plocha a Dupin cyklid se skládá z dvojice ohniskové kuželosečky.^[4] Dupinovy cyklidy jsou jediné povrchy, jejichž ohniskové povrchy degenerují do dvou křivek.^[5]
Jedna část ohniskové plochy a povrch kanálu zdegeneruje na svou přímku.
Dva konfokální kvadrics (například elipsoid a hyperboloid jednoho listu) lze považovat za ohniskové plochy povrchu.^[6]

Viz také

Poznámky

^ David Hilbert, Stephan Cohn-Vossen: Anschauliche Geometrie, Springer-Verlag, 2011, ISBN 3642199488, str. 197.
^ Morris Kline: Matematické myšlení od starověku po moderní dobu, Band 2, Oxford University Press, 1990,ISBN 0199840423
^ Porteous, Ian R. (2001), Geometrická diferenciace, Cambridge University Press, s. 198–213, ISBN 0-521-00264-8
^ Georg Glaeser, Hellmuth Stachel, Boris Odehnal: Vesmír kuželoseček, Springer, 2016, ISBN 3662454505, str. 147.
^ D. Hilbert, S. Cohn-Vossen:Geometrie a představivost, Vydavatelství Chelsea, 1952, s. 218.
^ Hilbert Cohn-Vossen str. 197.

Reference

Chandru, V .; Dutta, D .; Hoffmann, C.M. (1988), Na geometrii Dupinových cyklidů, Purdue University e-Pubs.

[1] David Hilbert, Stephan Cohn-Vossen: Anschauliche Geometrie, Springer-Verlag, 2011, ISBN 3642199488, str. 197.

[2] Morris Kline: Matematické myšlení od starověku po moderní dobu, Band 2, Oxford University Press, 1990,ISBN 0199840423

[Port-3] Porteous, Ian R. (2001), Geometrická diferenciace, Cambridge University Press, s. 198–213, ISBN 0-521-00264-8

[4] Georg Glaeser, Hellmuth Stachel, Boris Odehnal: Vesmír kuželoseček, Springer, 2016, ISBN 3662454505, str. 147.

[5] D. Hilbert, S. Cohn-Vossen:Geometrie a představivost, Vydavatelství Chelsea, 1952, s. 218.

[6] Hilbert Cohn-Vossen str. 197.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]